专题05 一元一次方程（期末复习讲义，知识必备+21大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材人教版

该初中数学讲义通过表格梳理核心考点与考情规律，构建“概念-解法-应用”知识框架，分知识点解析方程概念、等式性质、解法步骤等内容，用易错易混点标注重点，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计，18类题型含典例与变式，如“一元一次方程的新定义问题”培养抽象能力，“配套问题”强化模型意识。基础通关、重难突破、综合拓展练适配不同学生，助力教师精准分层教学。

专题05 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01 一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 方程的定义 易｜错｜点｜拨 1．方程：含有未知数的等式叫作方程； 2．方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3．方程一定是等式，等式不一定是方程. 【典例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程，根据方程的定义，判断各选项是否为含有未知数的等式即可． 【详解】解：A、是方程，故此选项符合题意； B、是代数式，不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C、是等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、表示不等关系，不是方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【答案】 ①②③⑤⑦ ②⑦ 【分析】此题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键； 根据方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案；根据一元一次方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案． 【详解】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程， 故答案为：①②③⑤⑦；②⑦． 【变式3】（2024七年级上·全国·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 题型二 方程的解 易｜错｜点｜拨 1．方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2．方程的解是通过解方程求得的. 3．方程的解可能不止一个 4．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【典例1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将分别代入各选项中方程的左边并计算，若左边右边，则是该方程的解；否则，则不是该方程的解． 【详解】解：A.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴A不符合题意； B.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴B符合题意； C.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴C不符合题意； D.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·上海青浦·期末）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 题型三 已知方程的解求参数 易｜错｜点｜拨 要将方程的解代入原方程，再求出参数的值； 【典例1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）若是方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：是方程的解， 可得：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知是关于x的方程的解，那么a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于x的方程得关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入关于x的方程得： ， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】24 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可求得a的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 则． 题型四 一元一次方程的概念 易｜错｜点｜拨 1、一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且a）. 2、一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 【典例1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：A．含有2个未知数，不是一元一次方程； B．是一元一次方程； C．等号左边不是整式，不是一元一次方程； D．未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； 故选B． 【变式1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．据此即可求解． 【详解】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 故选B． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 题型五 一元一次方程的解 易｜错｜点｜拨 将解代入原一元一次方程中，可得到原方程是成立的，一定要检验答案的正确性； 【典例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 【变式3】若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 题型六 等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 2、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，； （2）等式的对称性：若，则. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以同一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为零． 若，根据等式性质1（等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立），两边同时减可得，故A正确；根据等式性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立），两边同时乘可得，故B正确；是不为零的常数，两边同时除以可得，故C正确；若，当时，两边不能同时除以，此时不一定等于，故D错误． 【详解】解：A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去，得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘，得，此选项不符合题意； C、若，，根据等式性质2，等式两边同时除以，得，此选项不符合题意； D、若，当时，等式两边不能同时除以，此时不一定等于，此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 依据等式的性质依次作出判断即可． 【详解】解：A、若，等式两边不能同时除以0，此选项错误，故不符合题意； B、若，等式两边乘以，可得，此选项错误，故不符合题意； C、若，等式两边都加1，可得，此选项错误，故不符合题意； D、若，等式两边同时除以3，可得，此选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 那么关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键． 此题实际上是求当时，所对应的x的值． 【详解】解：根据上表中的数据值，当时，， 即一元一次方程的解是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 【答案】 【分析】本题考查根据代数式的值求方程的解，解题的关键是观察表格中两个代数式的值，找到使的值等于的值时对应的的值．先分析与的关系，再结合表格找和值相等时的值． 【详解】因为， 从表格中可知当时，，此时， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 题型七 解一元一次方程 易｜错｜点｜拨 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【典例1】（24-25七年级下·全国·期末）如果是方程 的解，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·贵州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项， 合并同类项， 方程的两边都除以即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，方程的两边都除以即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 整理、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【典例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为（）． A．10 B．-4 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了整数的定义．根据方程的解是整数，可得是4的因数，4的因数有，可得k的值，最后计算它们的和． 【详解】首先对方程进行化简： ， ， ， ， ， 因为方程的解为整数，所以为整数， 那么是4的因数，4的因数有， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 当时，； 满足条件的整数， ． 故选D． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解方程的解的定义是解题关键．将变形为，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， 根据题意可得， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】(1) (2)①2023；②2025 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及其解法，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． （1）先分别求出两个方程的解，再根据已知条件中的新定义列出关于m的方程，解方程即可； （2）①根据已知条件和新定义列出关于y的方程，解方程即可； ②先求出方程的解，再根据它与互为“阳光方程”，求出方程的解，最后把所求方程化成，从而列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； （2）解：①∵关于x的一元一次方程的解是， 结合 ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程 的解是； ②， ∴， ∴， ∵关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型九 一元一次方程解的关系 【典例1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值． 【详解】解：对于方程， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先根据题意计算的解为，将代入，即可求出答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得， 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，设，再根据题目中关于的一元一次方程的解确定出的值即可，正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 【详解】解：设，则关于的方程化为：， 根据题意可得关于的一元一次方程的解为， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 解绝对值方程时，要注意去绝对值符号有两种情况，要进行分类讨论； 【典例1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【答案】(1)4；1； (2)或－2 (3)或或或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解； （3）分两种情形，根据绝对值方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，或－2； （3）异号， ，或，， 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，则， ， 或； 若，时，则， ， ，（不符合题意舍去） 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，， 或； 若，时， ， ， （不符合题意舍去） 综上：或或或． 【变式3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数比较大小，化简绝对值，解一元一次方程，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，然后解方程即可； （）由，则，，故有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 题型十一 配套问题 易｜错｜点｜拨 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)该班女生的人数为 (2)有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解； （2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：该班女生的人数为； （2）设有名男生去支援女生， 由（1）可知，男生人数为（人）， 由题意得：， 解得：， 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）数学活动： 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的大纸板进行裁剪（如图1）；为了避免材料浪费，同学们把每张大纸板先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得5张类正方形纸板或3张类长方形纸板（如图2，单位：）． 任务（1）：每张大纸板可以裁得类正方形纸板_____张，或裁得类长方形纸板_____张． 任务（2）：现有78张大纸板全部裁剪（每张大纸板只能一种裁法），得到类与类纸板分别当底面和侧面，做成如图3所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．怎样裁剪才能使剪出的A、B类纸板恰好用完，能做多少个纸盒？ 【答案】（1）20；12；（2）18张大纸板裁A类正方形纸板，60张大纸板裁B类长方形纸板，恰好用完，能做180个纸盒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）利用每张大纸板可以裁得A类正方形纸板的张数每张纸板条可以裁得A类正方形纸板的张数及每张大纸板可以裁得B类长方形纸板的张数每张纸板条可以裁得B类长方形纸板的张数，即求出结论； （2）设用x张大纸板裁A类正方形纸板，根据剪出的A、B类纸板恰好用完（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面），可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，即可求出结论． 【详解】解：（1）， 根据题意得：每张大纸板可以裁得A类正方形纸板（张）， 每张大纸板可以裁得B类长方形纸板（张）， 故答案为：20，12； （2）设x张大纸板裁A类正方形纸板，则张大纸板裁B类正方形纸板， 由题意列方程：， 解得， ， ， 答：18张大纸板裁A类正方形纸板，60张大纸板裁B类长方形纸板，恰好用完，能做180个纸盒． 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 【答案】(1) (2)，0；， (3)按裁法裁20张，按裁法裁40张，按裁法裁40张； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、列代数式等内容，正确理解题意是解题的关键 （1）用总张数减去裁法①和裁法②的张数即可得解； （2）根据每种裁法可裁出的侧面数量和底面数量分别与张数相乘即可得解； （3）①先求出侧面数共有个，底面数共有个，再根据配套列出方程求解即可； ②先根据侧面和地面配套可知，进而得到，然后根据题意可得，将b代入化简即可． 【详解】（1）解：根据题意可得第③种方法裁剪的白板纸张， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， 裁法②侧面个数为，底面个数为0， 裁法③侧面个数为，底面个数为； 故答案为：，0；，； （3）①侧面数共有：个， 底面数共有：个， 侧面和底面恰好配套， ， ， ， 解得：， ， 答：按裁法①裁20张，按裁法②裁40张，按裁法③裁40张； ②由侧面和底面恰好配套可知， ， 整理可得， 又根据题意可知， 题型十二 工程问题 易｜错｜点｜拨 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【典例1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果由两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？ 【答案】要天可以铺好 【分析】本题考查一元一次方程的工程问题，掌握知识点是解题的关键． 设要x天可以铺好，根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设要x天可以铺好，依题意，得 解得 答：要天可以铺好． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）杭州亚运会期间，某工厂接到一批亚运会纪念品生产任务，组委会要求6天内完成．若工厂安排 10 位工人生产，则6天后剩余1200套纪念品未生产；若安排15 位工人生产，则恰好提前一天完成纪念品生产任务，问每位工人每天生产多少套纪念品(要求列方程解答)？ 【答案】80 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．设每位工人每天生产x套纪念品，根据纪念品的总量相等列方程即可． 【详解】解：设每位工人每天生产x套纪念品， 由题意得， 解得， 答：每位工人每天生产80套纪念品． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 【变式3】（24-25七年级上·山东日照·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， ①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含的式子表示） ②求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道， 方案一：全部由甲队安装； 方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）． 请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 【答案】(1)①； ②120米 (2)方案一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案所需总费用． （1）设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米，根据每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用工作时间=工作总量÷每队每天完成的工作量，可分别求出选择各方案所需时间，利用总费用=每名工人每天所需费用×该队人数×工作时间，可分别求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个排污治理点需铺设的管道长度为x米， ①则甲队共铺设管道米，乙队共铺设管道米， 故答案为：； 根据题意，得， 解得：， 所以，每个排污治理点需铺设的管道长度为120米． （2）解：每名甲队工人每天铺设管道米数：． 方案一需要天数：． 方案一需要费用：． 每名乙队工人每天铺设管道米数：． 方案二需要费用天数：． 方案二需要费用：． 因为， 所以，应选择方案一、 题型十三 销售盈亏问题 易｜错｜点｜拨 1、利润率=利润÷进价×100% 2、标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 3、实际售价＝标价×打折率 4、利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【典例1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）在国画技法学习活动上，学校以班级为单位提前购买了一批宣纸，毛笔，墨棒，砚台等绘画工具．以下是七年级申请报销时各班班长收集到的素材，请结合素材回答问题： 七年级（1）班购买墨棒和砚台共100个，每名学生领2个墨棒，每两名学生共领1个砚台，正好领完． 素材二：七年级（3）班购买的宣纸和毛笔的数量之和为145． 素材三：年级主任在打印订单时，打印机漏墨，墨水遮盖了部分数据，采购毛笔和宣纸的订单如表： 【问题解决】 问题一：七年级（1）班共有多少名学生？ 问题二：七年级（3）班购买了宣纸和毛笔各多少？ 【答案】问题一：共有40名学生；问题二：购买了毛笔45支，宣纸100张 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 问题一：设七年级（1）班共有x名学生，则墨棒有个，砚台有个，利用七年级（1）班购买墨棒和砚台共100个，再建立方程求解即可． 问题二：先求解每张宣纸6元，设每支毛笔a元，根据题意得：，可得每支毛笔20元，结合素材二，设七年级（3）班购买了毛笔m支，则购买了宣纸张，结合表格再建立方程求解即可． 【详解】解：问题一：结合素材一，设七年级（1）班共有x名学生，则墨棒有个，砚台有个，根据题意得：， 解得， 答：七年级（1）班共有40名学生；     问题二：结合素材三，七年级（2）班比七年级（1） 班多购买5张宣纸，多花费30元， （元/张）， 所以每张宣纸6元， 设每支毛笔a元， 根据题意得：， 解得：， 所以每支毛笔20元， 结合素材二，设七年级（3）班购买了毛笔m支，则购买了宣纸张， 根据题意得：， 解得：， （张）． 答：七年级（3）班购买了毛笔45支，宣纸100张． 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）中百仓储超市开展迎新春大酬宾促销活动，所有商品一律按顾客购买的商品总价打折出售，折扣方案如下表： 商品总价 低于200元 不低于200元但低于500元 不低于500元 折扣方案 按总价的九折付款 按总价的八折付款 按总价的七折付款 活动期间，小张阿姨分两次购买了一些商品，总价一共为600元，其中，第一次只购买了一百多元的商品，已知小张阿姨这两次购物一共付款498元． (1)如果小张阿姨把这两次购物合并为一次购物，在实际支付498元的基础上，还可以节省多少元？ (2)小张阿姨这两次购买的商品的总价分别为多少元？ (3)小张阿姨第三次购物，购买的商品总价为460元，付款时收银员姐姐建议她再挑选40元的商品，凑足500元后付款更划算，请你帮助小张阿姨决定，是否应该接受收银员姐姐的建议？ 【答案】(1)还可以节省 78元 (2)小张阿姨这两次购买的商品的总价分别为180元和420元． (3)小张阿姨应该接受建议，再挑选40元的商品 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据不同的优惠方式列式计算即可． （2）设小张阿姨第一次购买商品总价为x元，则她第二次购买商品总价为元，可得，再建立方程求解即可． （3）若小张阿姨不再挑选商品，则应支付元，若小张阿姨接受建议再挑选40元的商品，则应支付元，再比较即可． 【详解】（1）解：若小张阿姨把这两次购物合并为一次购物， 则只需支付（元），（元）， 所以还可以节省 78元． （2）解：设小张阿姨第一次购买商品总价为x元，则她第二次购买商品总价为元，则， 由题意， 两次购物一共需付款 元， ∴， 解得：， ∴， ∴小张阿姨这两次购买的商品的总价分别为180元和420元． （3）解：若小张阿姨不再挑选商品，则应支付（元）； 若小张阿姨接受建议再挑选40元的商品，则应支付（元）； ∵， ∴小张阿姨应该接受建议，再挑选40元的商品． 【变式3】为进一步推进“书香校园”建设，某校图书馆计划增订国学类图书100本，科学类图书本．现有甲乙两家书店参与竞标，两家书店的竞标方案如表： 甲书店 乙书店 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 优惠方案：一律打七折 优惠方案：买两本国学类图书，赠送一本科学类图书，总价在此基础上再优惠200元 (1)用含的代数式表示：到甲书店购买的费用是_____；到乙书店购买的费用是_____； (2)已知该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ①需要采购科学类图书______． ②学校计划拨出2000元经费采购这批图书，这批经费够吗？若够，应在哪家书店采购？若不够，请说明理由． 【答案】(1)元，元； (2)①，②经费够，应在甲书店采购． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）根据题意列出代数式； （2）①根据题意，进行列式计算，求得还需要科学类图书本， ②将代入（1）中的代数式，即可求解． 【详解】（1）解：购买甲书店图书的费用为：元； 购买乙书店图书的费用为：元； （2）解：∵该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ∴ 解得 还需要科学类图书本； 在甲书店采购需要的费用为：（元）， 在乙书店采购需要的费用为：（元）（元）， 答：经费够，应在甲书店采购． 题型十四 方案选择问题 【典例1】（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 【变式1】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买人的团体票，再买4张学生票 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得：， 解得， 学生人数为人，成人人数为8人， 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）解：如果买团体票，按人计算，共需费用： 元， ， ∴购团体票更省钱． （3）解：需要分三种情况， ①若成人和学生分开买票，费用：（元）， ②若购买团体票，费用：（元）， ③人全部买团体票，费用：（元）， ∵， 最省的购票方案为：买人的团体票，再买4张学生票． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为加强学生的爱国主义教育，某校组织七年级（1）班和七年级（2）班的学生到娄山关景区进行红色研学．两个班级的师生共62人，其中七年级（1）班师生人数多于七年级（2）班师生人数，且七年级（1）班师生人数不足40人．据了解，娄山关景区针对师生的门票价格如下表所示： 门票/张 61张及以上 单价/元 20 18 16 已知若两班分别单独购买门票，则一共应付1170元． (1)七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？ (2)在临近出发时，七年级（1）班有3名学生因故不能参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？ 哪种方案最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有35人，七年级（2）班有27人 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据题意列出算式． （1）设七年级（1）班有师生x人，则七年级（2）班有师生人，根据两班分别单独购买门票，一共应付1170元，列出方程，解方程即可； （2）分三种情况进行购买，方案一：各自购买门票，方案二：联合购买59张门票，方案三：联合购买61张门票，分别求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）设七年级（1）班有师生x人． ∴， ∴． （人）， 答：七年级（1）班有35人，七年级（2）班有27人； （2）解：七年级（1）班有32人参加此次活动， 方案一：各自购买门票需（元）； 方案二：联合购买59张门票需（元）； 方案三：联合购买61张门票需（元）； ∵． 故有3中购买方案，分别是方案一：各自购买门票；方案二：联合购买59张门票；方案三：联合购买61张门票；联合购买61张门票最省钱． 【变式3】（24-25七年级上·河南新乡·期末）“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳级著名旅游景区．某旅行社准备组织游客游览老君山．游览门票票价为元人，经营方为旅行社推出两种优惠方案． 方案一：所有门票一律九折； 方案二：如果人数超过人，则超出人数的票价打七折． (1)若游客为（）人，则方案一的费用为________元，方案二的费用________元； (2)旅行社准备租车送游客去老君山，如果单独租用座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用座客车，则需多租辆，且余个空座位，求该旅行社共有多少名游客游览老君山．（司机不占用客车座位数） 在的条件下，旅行社采用哪种优惠方案购买门票更省钱？ 【答案】(1)，； (2)该旅行社共有名游客游览老君山；旅行社采用方案二购买门票更省钱． 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）设旅行社租用座的客车辆，根据题意列出方程，然后求出的值，再代入求解即可； 求出两种方案的费用，比较大小即可； 本题考查了列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系，列出方程求解． 【详解】（1）解：方案一的费用为：（元），方案二的费用为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设旅行社租用座的客车辆， 由题意，得，    解得：， 所以游览老君山的游客为， 答：该旅行社共有名游客游览老君山；   在的条件下：方案一的费用为（元）， 方案二的费用为（元），    因为， 所以旅行社采用方案二购买门票更省钱． 题型十五 几何问题 【典例1】（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； (2)若，则　 　 ； (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，解绝对值方程，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴回答即可； （2）根据题意得到表示到的距离，表示到的距离，再分情况讨论求解，即可解题； 根据题意得到由数轴可知，，，进而得到，再结合绝对值性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ， 故答案为：． （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当时， 原式变形为，解得， 当时， 原式变形为，该方程无解， 当时， 原式变形为，解得， 综上所述或3， 故答案为：或3． （3）解：由数轴可知，，， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)t为4或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【答案】(1)，，2 (2)①或；②当时，点M恰好是线段的中点． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，两点间的距离，求出以及点C所对应的数即可； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可； ②根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； 故答案为：，，2； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②由题意得：点M表示的数为：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴由题意得， 解得：； 当时，点M恰好是线段的中点． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图是某学校田径运动场的平面图，最中间是长为米的长方形，两端分别由半径相等的半圆组成，最内侧的半圆半径为米，每条跑道的宽为1米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的总长度为_____米；第2跑道的总长度为_____米；第3跑道的总长度为_____米； (2)若，第1跑道的总长度为400米，请求出的值；（结果精确到个位，取3.14） (3)在（2）的条件下，若进行女子400米跑步比赛，为保证比赛公平，且终点线相同，第2跑道的起跑线要比第1跑道的起跑线向前移动多少米？（结果精确到个位，取3.14） (4)学校计划在操场中心（阴影部分）铺设人工草皮，所有跑道及两端的半圆铺设塑胶，已知人工草皮的单价为50元/平方米，塑胶的单价为100元/平方米，当，时，学校共需付多少费用？（取3） 【答案】(1)； ； (2)87米 (3)第2道起跑线比第1道向前移动约6米 (4)788800元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值： （1）根据跑道的长等于两条直道的长加上一个圆的周长，列出代数式即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）用第2跑道的总长度减去400，进行求解即可； （4）根据总费用等于人工草皮的总费用加上塑胶的总费用，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第1跑道的长度为：米； 第2跑道的半径为：米，故第1跑道的长度为：米； 第3跑道的半径为：米，故第1跑道的长度为：米； 故答案为：； ；； （2）由题意得：， ， ． ． 答：的值约为87米． （3）方法一：由（2）得，第1道总长度为． 第2道总长度为． 第2道比第1道多跑（米）． 答：第2道起跑线比第1道向前移动约6米． 方法二：由（2）得第2道总长度为． 第2道比第1道多跑（米）． 答：第2道起跑线比第1道向前移动约6米． （4）人工草皮面积为：． 所有跑道及两端半圆面积： 总费用：（元）． 答：学校需花费788800元． 题型十六 动点问题 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（   ） A． B． C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由点B表示的数点A表示的数的长度，可求出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处， 点B表示的数是 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 运动时间t的值为或 故选：D 【变式1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为13，当点移动到点时，点所对应的数为，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，设，则点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 点在数轴上表示的数为3． 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知数轴上A、B、C三个点表示的数分别是，，12．动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P运动到点B时，点Q才从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动．若点Q到达点C后不再运动，点P继续运动，则点P从开始运动后的第 秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【答案】4或7或11或17 【分析】本题的解题关键是根据点P和点Q在数轴上的运动方式进行分类讨论，分别列出方程式求解．将P、Q两点之间的距离为4的情况分为三种：点Q未运动，点Q未到达点C、点Q到达点C后点P未经过点C；假设点P开始运动时间为t秒，根据三种情况分别列出方程式，求出t的值即可． 【详解】解：根据题目可得，，，， 当点Q未运动时，（秒），，P、Q两点之间的距离为4； 当点Q未到达点C时，（秒）， ，， ，， P、Q两点之间的距离为4； 当点Q到达点C后点P未经过点C时，（秒）， ，， P、Q两点之间的距离为4； 综上所述，当点P从开始运动后的第4秒、第7秒、第11秒、第17秒时，P、Q两点之间的距离为4． 故答案为：4或7或11或17． 【变式3】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，，．．点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，停止运动．点运动的时间为秒． (1)点返回点时，共耗时______秒； (2)当时，求的长； (3)求的面积（用含的代数式表示）； (4)当把周长分成相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)2 (3)当时，；当时， (4)或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，掌握一元一次方程的求解是解题的关键，注意分类讨论的思想． （1）根据的长度和点的往返速度，求出时间相加即可求解； （2）由（1）可知，当时，点正在由运动到，即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，点从点运动到点，此时；当时，点从点返回点，此时，再利用三角形面积公式求解即可； （4）当把周长分成相等的两部分时，则有，分两种情况讨论：当时，点从点运动到点，此时，；当时，点从点返回点，此时，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：点从点运动到点所需时间为秒， 点从点返回点所需时间为秒， （秒）， 即点返回点时，共耗时6秒； 故答案为：6； （2）解：由（1）可知，当时，点正在由运动到， ； （3）解：当时，点从点运动到点，此时， 则的面积； 当时，点从点返回点，此时， 则的面积； 综上可知，当时，；当时，； （4）解：当把周长分成相等的两部分时， 则有， 当时，点从点运动到点，此时，， 则， 解得； 当时，点从点返回点，此时，， 则， 解得， 综上可知，当把周长分成相等的两部分时，的值为或． 题型十七 和差倍分问题 易｜错｜点｜拨 1基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． 2、寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【典例1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工共同搬运298箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱．已知徒手搬运工每小时搬运箱货物． (1)用含的代数式表示叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数． (2)若他们仅用半小时就把这298箱货物全部搬运完毕，求两人每小时各搬运货物的箱数． 【答案】(1) (2)徒手搬运工每小时搬运96箱货物，叉车驾驶员每小时搬运500箱货物． 【分析】题目主要考查列代数式及一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵徒手搬运工每小时搬运箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱， ∴叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 答：徒手搬运工每小时搬运96箱货物，叉车驾驶员每小时搬运500箱货物． 【变式1】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）某校七年级四班共有学生人，其中男生比女生人数的多人．劳技课上，老师组织同学们自己动手制作便携式收纳盒，要求每名学生做盒身个或盒底个． (1)七年级四班男生和女生各多少人？ (2)原计划男生做盒身，女生做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么同学们做出的盒身与盒底不能完全配套，老师决定调一部分男生去支援女生，使制作的盒身与盒底刚好配套．调去支援的男生有多少人？ 【答案】(1)七年级四班有男生24人，女生21人 (2)需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生45人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：七年级四班有男生24人，女生21人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的，获得的金牌数是铜牌数的，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？ 【答案】在这届奥运会上我国获得的金牌数是40枚． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设在这届奥运会上我国获得的铜牌数是x枚，则获得金牌枚，获得银牌，再根据一共获得奖牌91枚建立方程求解即可． 【详解】解：设在这届奥运会上我国获得的铜牌数是x枚， 由题意得，， 解得， ∴， 答：在这届奥运会上我国获得的金牌数是40枚． 【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)240人 (2)B街路：144人；C街路：216人 (3)72人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）直接将计算即可； （2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可； （3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； （2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ， ， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人， ， ， ∴参加清冰雪劳动的居民有72人． 题型十八 水电费问题 【典例1】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】(1)150 (2)180度，108元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）先判断200是否大于a，再根据计费规则列一元一次方程，即可求解； （2）设6月份共用电x度，则电费为元，根据计费规则列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：经验算：若，则， ∴，即有超过的部分， ∴， 解得：； （2）解：设6月份共用电x度， 则， 解得：， （元）， 即月份共用电180度，应交电费108元． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处 理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：该用户12月份需缴污水处理费19元；任务2：应缴水费为元；任务3：该用户5、6月份各用水、吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元，根据该用户2023年12月份所缴水费中自来水费为67元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务2：利用总价=单价×数量，结合该市“阶梯收费”的标准，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨，根据该用户2023年5、6月份共缴水费210元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该用户12月份需缴污水处理费19元； 任务2：根据题意得：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 答：应缴水费为元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴（吨）． 答：该用户5、6月份各用水、吨． 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 【答案】(1)390 (2)小亮家2023年共使用自来水190立方米 (3)小亮家2024年比2023年缴费金额少249元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯，再用用水量第一阶梯水价计算即可； （2）设小亮家2023年共使用自来水立方米，先推断出小亮家的用水量在第二阶梯，再列方程求解即可； （3）根据题意得到2024年用水130立方米，再计算出小亮家2024年的缴费金额，再作差即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯， （元）， 故答案为：； （2）解：设小亮家2023年共使用自来水立方米， 因为，， 所以， 所以， 所以小亮家的用水量在第二阶梯． 则， 解得， 答：小亮家2023年共使用自来水190立方米． （3）解：因为2024年比2023年节约用水60立方米， 所以2024年用水130立方米， （元）， 答：小亮家2024年比2023年缴费金额少249元． 【变式3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 【答案】(1)170 (2) (3)该户居民5月份用电，6月份用电 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据表格列出算式进行计算即可求解； （2）根据表格列代数式即可； （3）设该户居民5月份用电为，则6月份用电为．该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，得,分当时，当时，分类讨论，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： （元）； （2）解：根据题意： （元）； （3）解：设该户居民5月份用电为，则6月份用电为． 该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于， ∴解得, 当x小于或等于200时，根据题意，得， 解方程，得． 所以． 所以该户居民5月份用电，6月份用电． 当x大于200且小于250时， 根据题意，得， 该方程无解． 综上，该户居民5月份用电，6月份用电． 题型十九 行程问题 易｜错｜点｜拨 1、三个基本量间的关系：路程=速度×时间 2、基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3、解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【答案】(1)乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据二者速度之差时间环形跑道的长度，列出方程求解即可； （2）设经过分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和时间环形跑道长度的倍，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得：， 解得： 答：经过分钟两人恰好第五次相遇． 【变式1】（24-25七年级上·山西运城·期末）甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）小明、小亮两人相距，小明先出发，小亮再出发，小明在后，小亮在前，两人同向而行，小明的速度是，小亮的速度是/，小明出发后几小时追上小亮？ 【答案】小明出发后小时追上小亮 【分析】设小明出发后小时追上小亮，利用路程速度时间，结合小明追上小亮时小明比小亮多走了，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设小明出发后小时追上小亮， 依题意得：， 解得：． 答：小明出发后小时追上小亮． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 题型二十 日历问题 【典例1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)140 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示其它六个数． （1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，，相加即可得到答案； （2）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，得：，解得，最大的数是，而日历中没有32，故“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为． 【详解】（1）解：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）解：“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下： 设“”形框中的七个数中最中间一个数是， 根据题意得：， 解得， 此时最大的数是， 而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）解：年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列， 当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为， 故答案为：140． 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， ， ， ； (2)存在，的值为11，b的值为18，c的值为 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是用含x的代数式表示a，b， （1）根据日历中数字的规律填空即可； （2）结合（1）求出，，，由，得，解出x的值可得答案． 【详解】（1）解：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 故答案为：，；，；，； （2）解：存在这样的x，使得，理由如下： 根据题意，，，， ， ， 解得， 经检验，符合题意，此时，，， 的值为11，b的值为18，c的值为． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【答案】(1)14； (2)小明的说法不对，理由见解析 (3)66 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，由，不符合题意，可得出假设不成立，即小明的说法不对； （3）观察图形，可得出符合题意的的各值，再将其相加，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；． （2）解：小明的说法不对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， ， ，不符合题意， 假设不成立， 即小明的说法不对； （3）解：图中符合为整数即,则b是5的倍数，且不造边的位置，则仅有3个“”字形框， 其中的值分别为17，22，27， ． 故答案为：66． 【变式3】（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 【答案】(1)，， (2) (3)小亮的父亲是号出差走的． 【分析】本题考查代数式表示式，整式加减的运用，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出对应的数量关系． （1）根据题干所给日历规律直接表示出另外三个数，即可解题； （2）根据题意列式计算，即可解题； （3）设小亮的父亲是号出差走的．根据“6天的日期和为57”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可得另外三个数为：， ，； （2）解：根据题意得， 答：最大数与最小数的和减去另外两个数的和为； （3）解：设小亮的父亲是号出差走的． 根据题意得：， 整理得， 解得， 答：小亮的父亲是号出差走的． 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练进行计算是解题的关键． （1）解一元一次方程，即可得到； （2）把和的解求出，两个相加等于1，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：，解得； ，解得， 故答案为：； （2）解：， 可得； ， 可得， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查的是解一元一次方程，整式的化简求值，新定义． （1）设与是一组“白马湖数”，根据“白马湖数”的定义列式计算，得到答案； （2）根据“白马湖数”的定义得到，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与是一组“白马湖数”， ∴ 解得： （2）∵m、n是一组“白马湖数”， ∴， 则 ． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 【变式3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【答案】(1)， (2)与是关于2的关联数；详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，得到，，分别求出，即可； （2）先化简，，判断，即可得到结果； （3）由题意，得到，化简可得，讨论的取值，解方程，即可得到的值． 【详解】（1）解：设5与是关于2的关联数， ， ， 设与是关于2的关联数， ， ， 故答案为：，； （2）解：与是关于2的关联数，理由如下： ， ， ， 与是关于2的关联数； （3）解：与是关于2的关联数，，， ， ， 当时，，得， 当时，，得， 综上所述，或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程的概念列出式子即可得出且即可得出答案． 【详解】解：若方程是关于的一元一次方程， 则，且， ∴， 故选：D． 2．为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据树苗总数不变，分别列出两种情况下树苗总数的表达式，并令其相等． 【详解】解：每人植2棵树，树苗余下21棵，即共棵树苗， ∵每人植3棵树，树苗还差24棵，即共棵树苗， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若，下列等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是是掌握等式的基本性质． 根据等式的基本性质逐项进行判断即可，注意等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 【详解】解：A.根据等式的基本性质，等式两边应该同加或同减去一个整式，等式仍成立，故该选项错误，不符合题意； B. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明，所以该选项错误，不符合题意； C. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明，所以该选项错误，不符合题意； D.该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先表示两种购买方式得到的利润，再根据获得同样多的利润，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵原订购60套，每套100元，设每套课桌椅的成本为x元， ∴利润； ∵校方购了72套，每套减价3元， ∴利润； 则． 故答案为： 6．（23-24七年级上·全国·期末）关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 先解出两个方程的解，再根据两个方程的解相同进行求解即可． 【详解】解： 解得， 解得， ∵两个方程的解相同， ∴ 解得． 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？”题目大意是：“今有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，会多11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，求买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”则物价是 钱．（钱是古代货币的一种计量单位） 【答案】70 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设物价是x钱，根据“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六”，结合人数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设物价是x钱， 根据题意得：， 解得：， ∴物价是70钱． 故答案为：70． 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 10．对于任意有理数，，我们规定：．例如：． （1）计算：_______； （2）若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查新定义有理数的运算，理解题中新定义是解决问题的关键． （1）根据题干规定的新运算直接计算即可得到答案； （2）将用规定中的新运算计算，化为一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 原式可写为， 化简得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，将代入方程即可求得a的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴，解得， 故选：A． 12．（24-25七年级上·全国·期末）在“六一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，设去了个成人，则根据图中的信息，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据成人门票学生门票，可得出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系． 【详解】解：设去了个成人，则去了个学生， 由题意得：． 故选：A． 13．下面是解方程的部分步骤： ①由，变形得； ②由，变形得； ③由， 变形得； ④由，变形得， 其中变形正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由，变形得，故①不正确； ②由，变形得，故②不正确； ③由，变形得，故③不正确； ④由，变形得，故④正确； 综上所述，变形正确的有1个， 故选：． 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握“H”型框中的7个数的数字排列规律是解决问题的关键. 设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为,然后表示出这7个数的和，分别建立方程，解方程逐项分析即可得. 【详解】解：设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为, 所以这7个数的和为. A、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； B、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； C、若,解得,不是正整数，不成立，则此项符合题意； D、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； 故选：C. 15．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方．根据幻方的规则，图3中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得：即， ∴； 故答案为：． 17．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义． 根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 18．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用来表示，当时，；当时，；当时，，当时， ． 【答案】674 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．根据已知的图形中点数的变化得出规律是解题关键． 根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可． 【详解】解：∵第一个图形中有个点， 第二个图形中有个点， 第三个图形中有个点， 第四个图形中有个点， …， ∴第n个图形中有个点， 即：， 当时，，解得：． 故答案为：674． 19．（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【答案】(1)见解析 (2)甲公司的收费是：元；乙公司的收费是：元 (3)18 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）根据所给的收费标准列式计算即可； （3）根据题意结合（2）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，甲公司收费9元； 当，甲公司收费元； 当时，乙公司收费元； 当时，乙公司收费元； 填表如下： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … （2）解：由题意得，甲公司的收费为元， 乙公司的收费为元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同， 故答案为：18． 20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知关于x的多项式A、B，其中． (1)化简； (2)若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． （1）把B和A的式子代入，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由的结果与x的取值无关得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：若的结果与x的取值无关，则， 解得，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 当时， ∴ 解得：； 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 故选：A． 22．（24-25七年级上·全国·期末）夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则的值为（    ） m 2n n 8 0 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值，根据幻方的特点，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得：， ∴； 故选B． 23．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 25．（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①，；②； (2) (3)当为或时，，此时的中点表示的数分别为和 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）①根据题意解答即可得到答案；②根据题意列出代数式即可； （）当两点相遇时，两点表示的数相等，列方程求解即可； （）秒后，点表示的数，点表示的数为，然后分两种情况求解：①当点在点右侧时；②当点在点左侧时，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； ②由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ，两点相遇时，， 解得， ∴此时相遇点所表示的数为：； （3）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， 分两种情况：①当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； ②当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； 综上，当为或时，，此时的中点表示的数分别为和． 26．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． (1)求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 【答案】(1)第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果 (2)该水果店每千克售价应定为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该水果店每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买了x千克苹果，则第二次购买了千克苹果， 由题意得，， 解得， ∴， 答：第一次购买了200千克苹果，第二次购买了400千克苹果； （2）解：设该水果店每千克售价应定为m元， 由题意得， 解得， 答：该水果店每千克售价应定为8元． 27．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 28．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；请将纯循环小数化为分数：_______． 如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：_______． ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照上述方法将化成分数． 【答案】(1)，； (2)①，；② 【分析】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用等知识，认真读题，理解题意是解题关键．． （1）利用除法将分数化为小数即可； （2）①利用题干中的方法求解，对于混循环小数，将其扩大倍变成整数与纯循现小数的和求解即可； ②利用题干中的方法，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①由题意可知，； ； ②设，则，， 所以，即，     解得． 所以． 29．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校为了改善读书条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 240 0 210 20 B 300 0 250 30 (1)如果在线下购买，两种书架共个，共花费元，求，两种书架各购买了多少个？ (2)如果在线上购买，两种书架共个，若设其中种书架购买个，则用含的式子表示在线上购买所需的总费用是多少元？（要求：列出式子后，再化简） (3)在（2）的条件下，若购买种书架个，请计算线上购买比线下购买节约多少钱？ 【答案】(1)购买种书架个，种书架个 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及代数式的化简与求值，熟练掌握根据题意列方程和代数式的方法是解题的关键． （1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费元，列方程求解即可； （2）总费用买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可； （3）把代入（2）的结论求出线上购买的总费用，再计算购买6个种书架和14个种书架的线下总费用，最后将两者作差即可． 【详解】（1）解：设购买种书架个，则购买种书架个， 根据题意，得：， 解得：， ∴， 答：购买种书架个，种书架个； （2）解：根据题意，得： 总费用； （3）解：当时，， （元）， 即线上购买比线下购买节约元． 30．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）长方形的边和长方形的边均在数轴上，为原点，，点所表示的数为，点在点的左侧，这两个长方形的宽相等，即． (1)如图①所示，数轴上点表示的数为____________； (2)如图①所示，若，现将长方形沿数轴水平向右移动，当点所表示的数大于点所表示的数时停止移动，在整个移动过程中，将长方形和长方形重叠的部分叫阴影区域，那么当存在阴影区域时，阴影区域两侧长方形的面积比是时，请直接写出点所表示的数； (3)如图②所示，现将长方形沿数轴水平向右移动，当移动到时刻时，，且点恰好为的中点；当移动到时刻时，中点所表示的数与中点所表示的数恰好是互为相反数，求在时刻点所表示的数． 【答案】(1) (2)点所表示的数为或或或 (3)点所表示的数为或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得在的右侧，进而求得点表示的数； （2）根据，设表示的数为，则表示的数为，进而根据题意，分三种情况讨论，根据阴影区域两侧长方形的面积比是，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出点在时刻时表示的数为或，进而根据移动到时刻时，，且点恰好为的中点，得出点表示的数，进而设在时刻点所表示的数为，即可表示出时刻点表示的数，根据当移动到时刻时，中点所表示的数与中点所表示的数恰好是互为相反数，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点所表示的数为，，在的右侧， ∴点所表示的数为： 故答案为：． （2）解：因为，设表示的数为，则表示的数为， 当在的左侧时，，，此时， 如图， ∵阴影区域两侧长方形的面积比是，两个长方形的宽相等 ∴或 ∴或 解得：或（舍去） 当在上时，如图， 同理可得，，此时 ∵阴影区域两侧长方形的面积比是，两个长方形的宽相等 ∴或 ∴或 解得：或 当在上时，如图， 同理可得：，此时 ∵阴影区域两侧长方形的面积比是，两个长方形的宽相等 ∴或 ∴或 解得：（舍去）或 综上所述，点所表示的数为或或或； （3）解：∵点所表示的数为：，， ∴点在时刻时表示的数为或， ①当点在时刻时表示的数为时，如图， ∵点恰好为的中点， ∴ ∴点表示的数为 ∴， 设在时刻点所表示的数为，则时刻点表示的数， ∵当移动到时刻时，中点所表示的数与中点所表示的数恰好是互为相反数， ∴ 解得： ∴时刻点所表示的数为； ②当点在时刻时表示的数为时，如图， ∵点恰好为的中点， ∴ ∴点表示的数为 ∴， 设在时刻点所表示的数为，则时刻点表示的数， ∵当移动到时刻时，中点所表示的数与中点所表示的数恰好是互为相反数， ∴ 解得： ∴时刻点所表示的数为； 综上所述，点所表示的数为或 31．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“属方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出的解，再分别求出①，②，③三个方程的解，然后代入（为正数）进行逐一验证，即可得到答案； （2）先分别求出方程和方程的解，然后代入（为正数），即可求解的值； （3）先分别求出方程和方程的解，后代入（为正数），然后根据取任意正数方程都成立，即可求解的值； 【详解】（1）解：求得方程的解为， ①，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即①正确； ②，求得，将，代入：（为正数），求得，不属于“属方程”，即②不正确； ③，求得，将，代入：（为正数），求得，属于“属方程”，即③正确； 故答案为：①③； （2）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“2属方程”， ∴， 方程化简，得：， 解得：或， 为整数， ∴； （3）解：方程的解是， 方程的解是， 方程是方程的“属方程”， ∴， ， 即，或， 取任意正数方程都成立， ∴，或， 即，或， 经验证，当时，一个方程有唯一解，另一个方程无解，不满足题意， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01 一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 方程的定义 易｜错｜点｜拨 1．方程：含有未知数的等式叫作方程； 2．方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3．方程一定是等式，等式不一定是方程. 【典例1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【变式3】（2024七年级上·全国·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 方程的解 易｜错｜点｜拨 1．方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2．方程的解是通过解方程求得的. 3．方程的解可能不止一个 4．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【典例1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海青浦·期末）如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 题型三 已知方程的解求参数 易｜错｜点｜拨 要将方程的解代入原方程，再求出参数的值； 【典例1】（24-25九年级上·广东惠州·期末）若是方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知是关于x的方程的解，那么a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知是关于的方程的解，求的值． 题型四 一元一次方程的概念 易｜错｜点｜拨 1、一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且a）. 2、一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 【典例1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【变式2】（24-25七年级上·天津·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 题型五 一元一次方程的解 易｜错｜点｜拨 将解代入原一元一次方程中，可得到原方程是成立的，一定要检验答案的正确性； 【典例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山西太原·期末）整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为 ． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式3】若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 题型六 等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 2、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，； （2）等式的对称性：若，则. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 那么关于x的方程的解是 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，是关于的整式，它们的值随的变化而变化，部分对应数值如下表．根据表中信息，可得关于的方程的解为 ． … 0 1 2 ．．． … 4 10 ．．． … 5 4 3 2 ．．． 题型七 解一元一次方程 易｜错｜点｜拨 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 【典例1】（24-25七年级下·全国·期末）如果是方程 的解，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·贵州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 【典例1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为（）． A．10 B．-4 C．4 D．6 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 题型九 一元一次方程解的关系 【典例1】（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 解绝对值方程时，要注意去绝对值符号有两种情况，要进行分类讨论； 【典例1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【变式2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【变式3】（24-25七年级上·江西赣州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 题型十一 配套问题 易｜错｜点｜拨 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）数学活动： 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的大纸板进行裁剪（如图1）；为了避免材料浪费，同学们把每张大纸板先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得5张类正方形纸板或3张类长方形纸板（如图2，单位：）． 任务（1）：每张大纸板可以裁得类正方形纸板_____张，或裁得类长方形纸板_____张． 任务（2）：现有78张大纸板全部裁剪（每张大纸板只能一种裁法），得到类与类纸板分别当底面和侧面，做成如图3所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．怎样裁剪才能使剪出的A、B类纸板恰好用完，能做多少个纸盒？ 【变式3】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）问题情境数学兴趣小组的同学利用周末到某纸箱厂参加社会实践，该厂的厂长让他们用100张白板纸（如图1）制作某种型号的长方体纸箱． 研究方法如图2，每张白板纸有，，三种剪裁方法，其中第种裁法：得到2个侧面与4个底面；第种裁法：得到4个侧面；第种裁法：得到3个侧面与2个底面．问题解决数学兴趣小组的同学用三种不同的裁剪方法裁剪这100张白板纸． 设按裁法裁剪的白板纸有a张，按裁法裁剪的白板纸有b张． (1)按第种方法裁剪的白板纸有______张（用含a，b的式子表示）； (2)用含a，b的代数式填表： 裁法 裁法 裁法 侧面个数 ______ ______ 底面个数 ______ ______ (3)已知四个侧面和两个底面恰好能配套做成一个纸箱，若将这100张白板纸剪裁完后，得到的侧面和底面恰好配套： 当时，求该小组按上述裁法分别裁剪了多少张白板纸？ 小明观察不同载法的复杂程度后发现，每载一张白板纸，裁法和裁法都至少需要裁5刀，裁法至少需要裁3刀，直接写出：该小组裁剪总刀数m与a的数量关系式． 题型十二 工程问题 易｜错｜点｜拨 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【典例1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要18天，如果由两个工程队从两端同时相向施工，要多少天可以铺好？ 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）杭州亚运会期间，某工厂接到一批亚运会纪念品生产任务，组委会要求6天内完成．若工厂安排 10 位工人生产，则6天后剩余1200套纪念品未生产；若安排15 位工人生产，则恰好提前一天完成纪念品生产任务，问每位工人每天生产多少套纪念品(要求列方程解答)？ 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【变式3】（24-25七年级上·山东日照·期末）为打造安全环保的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每个治理点需安装相同长度的排污治理管道）．一天，甲队3名工人去完成5个治理点的管道铺设，但还有60米管道没有完成；同一天，乙队4名工人完成5个治理点的管道铺设后，还多铺设了40米管道．已知每名甲队工人比每名乙队工人每天多铺设20米管道． (1)若设每个排污治理点需铺设的管道长度为米， ①则甲队共铺设管道________米，乙队共铺设管道________米．（用含的式子表示） ②求每个排污治理点需铺设的管道长度； (2)已知每名甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市某处共设立27个排污治理点，现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道， 方案一：全部由甲队安装； 方案二：全部由乙队安装；（不到一天需按一天费用算）． 请通过计算说明选择哪种方案可使总费用最少？ 题型十三 销售盈亏问题 易｜错｜点｜拨 1、利润率=利润÷进价×100% 2、标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 3、实际售价＝标价×打折率 4、利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【典例1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）在国画技法学习活动上，学校以班级为单位提前购买了一批宣纸，毛笔，墨棒，砚台等绘画工具．以下是七年级申请报销时各班班长收集到的素材，请结合素材回答问题： 七年级（1）班购买墨棒和砚台共100个，每名学生领2个墨棒，每两名学生共领1个砚台，正好领完． 素材二：七年级（3）班购买的宣纸和毛笔的数量之和为145． 素材三：年级主任在打印订单时，打印机漏墨，墨水遮盖了部分数据，采购毛笔和宣纸的订单如表： 【问题解决】 问题一：七年级（1）班共有多少名学生？ 问题二：七年级（3）班购买了宣纸和毛笔各多少？ 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）中百仓储超市开展迎新春大酬宾促销活动，所有商品一律按顾客购买的商品总价打折出售，折扣方案如下表： 商品总价 低于200元 不低于200元但低于500元 不低于500元 折扣方案 按总价的九折付款 按总价的八折付款 按总价的七折付款 活动期间，小张阿姨分两次购买了一些商品，总价一共为600元，其中，第一次只购买了一百多元的商品，已知小张阿姨这两次购物一共付款498元． (1)如果小张阿姨把这两次购物合并为一次购物，在实际支付498元的基础上，还可以节省多少元？ (2)小张阿姨这两次购买的商品的总价分别为多少元？ (3)小张阿姨第三次购物，购买的商品总价为460元，付款时收银员姐姐建议她再挑选40元的商品，凑足500元后付款更划算，请你帮助小张阿姨决定，是否应该接受收银员姐姐的建议？ 【变式3】为进一步推进“书香校园”建设，某校图书馆计划增订国学类图书100本，科学类图书本．现有甲乙两家书店参与竞标，两家书店的竞标方案如表： 甲书店 乙书店 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 报价：国学类15元/本，科学类8元/本 优惠方案：一律打七折 优惠方案：买两本国学类图书，赠送一本科学类图书，总价在此基础上再优惠200元 (1)用含的代数式表示：到甲书店购买的费用是_____；到乙书店购买的费用是_____； (2)已知该校图书馆原有藏书2740本，该校有学生1500名，该校想要图书总量与学生数比达到． ①需要采购科学类图书______． ②学校计划拨出2000元经费采购这批图书，这批经费够吗？若够，应在哪家书店采购？若不够，请说明理由． 题型十四 方案选择问题 【典例1】（25-26七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【变式1】国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如下是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据信息，解答下列问题： 票价 成人：每张元 学生：按成人票五折优惠 团体票（人以上含人）：按成人票6折优惠 大人门票是每张元，学生门票是5折优惠，我们一共人，共需元 爸爸，等一下，我算算换一种方式买票是否可以省钱？ (1)明明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？ (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的个家长共人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为加强学生的爱国主义教育，某校组织七年级（1）班和七年级（2）班的学生到娄山关景区进行红色研学．两个班级的师生共62人，其中七年级（1）班师生人数多于七年级（2）班师生人数，且七年级（1）班师生人数不足40人．据了解，娄山关景区针对师生的门票价格如下表所示： 门票/张 61张及以上 单价/元 20 18 16 已知若两班分别单独购买门票，则一共应付1170元． (1)七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？ (2)在临近出发时，七年级（1）班有3名学生因故不能参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？ 哪种方案最省钱？ 【变式3】（24-25七年级上·河南新乡·期末）“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，是河南洛阳级著名旅游景区．某旅行社准备组织游客游览老君山．游览门票票价为元人，经营方为旅行社推出两种优惠方案． 方案一：所有门票一律九折； 方案二：如果人数超过人，则超出人数的票价打七折． (1)若游客为（）人，则方案一的费用为________元，方案二的费用________元； (2)旅行社准备租车送游客去老君山，如果单独租用座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用座客车，则需多租辆，且余个空座位，求该旅行社共有多少名游客游览老君山．（司机不占用客车座位数） 在的条件下，旅行社采用哪种优惠方案购买门票更省钱？ 题型十五 几何问题 【典例1】（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点A、B分别对应数a、b，那么A、B两点间的距离为． (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，则a　 　 0，b　 　 0，　 　 0； (2)若，则　 　 ； (3)已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图是某学校田径运动场的平面图，最中间是长为米的长方形，两端分别由半径相等的半圆组成，最内侧的半圆半径为米，每条跑道的宽为1米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题： (1)第1跑道的总长度为_____米；第2跑道的总长度为_____米；第3跑道的总长度为_____米； (2)若，第1跑道的总长度为400米，请求出的值；（结果精确到个位，取3.14） (3)在（2）的条件下，若进行女子400米跑步比赛，为保证比赛公平，且终点线相同，第2跑道的起跑线要比第1跑道的起跑线向前移动多少米？（结果精确到个位，取3.14） (4)学校计划在操场中心（阴影部分）铺设人工草皮，所有跑道及两端的半圆铺设塑胶，已知人工草皮的单价为50元/平方米，塑胶的单价为100元/平方米，当，时，学校共需付多少费用？（取3） 题型十六 动点问题 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（   ） A． B． C．或8 D．或8 【变式1】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为13，当点移动到点时，点所对应的数为，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知数轴上A、B、C三个点表示的数分别是，，12．动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P运动到点B时，点Q才从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动．若点Q到达点C后不再运动，点P继续运动，则点P从开始运动后的第 秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【变式3】（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，，．．点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，停止运动．点运动的时间为秒． (1)点返回点时，共耗时______秒； (2)当时，求的长； (3)求的面积（用含的代数式表示）； (4)当把周长分成相等的两部分时，直接写出的值． 题型十七 和差倍分问题 易｜错｜点｜拨 1基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． 2、寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【典例1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名叉车驾驶员和一名徒手搬运工共同搬运298箱货物，叉车驾驶员每小时搬运的货物比徒手搬运工搬运货物的5倍还多20箱．已知徒手搬运工每小时搬运箱货物． (1)用含的代数式表示叉车驾驶员每小时搬运货物的箱数． (2)若他们仅用半小时就把这298箱货物全部搬运完毕，求两人每小时各搬运货物的箱数． 【变式1】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）某校七年级四班共有学生人，其中男生比女生人数的多人．劳技课上，老师组织同学们自己动手制作便携式收纳盒，要求每名学生做盒身个或盒底个． (1)七年级四班男生和女生各多少人？ (2)原计划男生做盒身，女生做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么同学们做出的盒身与盒底不能完全配套，老师决定调一部分男生去支援女生，使制作的盒身与盒底刚好配套．调去支援的男生有多少人？ 【变式2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）2024年巴黎奥运会上，我国获得金、银、铜牌总共91枚．已知获得的银牌数是铜牌数的，获得的金牌数是铜牌数的，求在这届奥运会上我国获得的金牌数是多少枚？ 【变式3】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 题型十八 水电费问题 【典例1】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处 理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 【变式3】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 题型十九 行程问题 易｜错｜点｜拨 1、三个基本量间的关系：路程=速度×时间 2、基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3、解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【变式1】（24-25七年级上·山西运城·期末）甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）小明、小亮两人相距，小明先出发，小亮再出发，小明在后，小亮在前，两人同向而行，小明的速度是，小亮的速度是/，小明出发后几小时追上小亮？ 【变式3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型二十 日历问题 【典例1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： (1)若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； (3)用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 【变式1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【变式3】（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是一篇关于日历的相关内容，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的．现在用一个“十”字模型框住了5个数，由此可知，所框住的5个数的和是正中间的数的5倍． 任务一：勤奋小组在上面阅读的启发下，设计如图所示的框，框住日历中的4个数，如图左上角的数用表示． (1)用含的代数式分别表示出另外三个数； (2)求最大数与最小数的和减去另外两个数的和的结果． 任务二： (3)小亮说：“他的父亲12月出差6天，这6天的日期和为57．”请用方程写出小亮的父亲是哪一天出差走的． 题型二十一 一元一次方程的新定义问题 【典例1】（24-25七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“美好方程”的研究报告研究人员：博学小组 研究对象：美好方程 研究思路：利用解一元一次方程的知识解每个方程，根据“美好方程”的定义，判断两个方程是否为“美好方程”． 研究内容： 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为___▲ ，方程的解为___■ ，故这两个方程为“美好方程”． 任务： (1)材料中“▲”处应填______，“■”处应填______； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【变式3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 2．为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若，下列等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 5．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 6．（23-24七年级上·全国·期末）关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？”题目大意是：“今有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，会多11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，求买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”则物价是 钱．（钱是古代货币的一种计量单位） 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 10．对于任意有理数，，我们规定：．例如：． （1）计算：_______； （2）若，则的值为________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 12．（24-25七年级上·全国·期末）在“六一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，设去了个成人，则根据图中的信息，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 13．下面是解方程的部分步骤： ①由，变形得； ②由，变形得； ③由， 变形得； ④由，变形得， 其中变形正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 15．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方．根据幻方的规则，图3中的值为 ． 17．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 18．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用来表示，当时，；当时，；当时，，当时， ． 19．（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 20．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知关于x的多项式A、B，其中． (1)化简； (2)若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·辽宁·期末）若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 22．（24-25七年级上·全国·期末）夏禹时代的“洛书”是最早的幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图，方格中填写了一些数和字母．若它能构成一个三阶幻方，则的值为（    ） m 2n n 8 0 A．4 B．5 C．6 D．7 23．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 24．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    25．（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 26．（24-25七年级上·广西梧州·期末）某水果店以5元/千克价格购进一批苹果，由于销售良好，该店又以元/千克价格再次购进同一种苹果，这样该水果店两次购进苹果共600千克，花去2800元． (1)求该水果店两次分别购买了多少千克苹果？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的苹果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为392元，如果该水果店希望售完这些苹果共获得1400元的利润，那么该水果店每千克售价应定为多少元？ 27．（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 28．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；请将纯循环小数化为分数：_______． 如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：_______． ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照上述方法将化成分数． 29．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校为了改善读书条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） A 240 0 210 20 B 300 0 250 30 (1)如果在线下购买，两种书架共个，共花费元，求，两种书架各购买了多少个？ (2)如果在线上购买，两种书架共个，若设其中种书架购买个，则用含的式子表示在线上购买所需的总费用是多少元？（要求：列出式子后，再化简） (3)在（2）的条件下，若购买种书架个，请计算线上购买比线下购买节约多少钱？ 30．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）长方形的边和长方形的边均在数轴上，为原点，，点所表示的数为，点在点的左侧，这两个长方形的宽相等，即． (1)如图①所示，数轴上点表示的数为____________； (2)如图①所示，若，现将长方形沿数轴水平向右移动，当点所表示的数大于点所表示的数时停止移动，在整个移动过程中，将长方形和长方形重叠的部分叫阴影区域，那么当存在阴影区域时，阴影区域两侧长方形的面积比是时，请直接写出点所表示的数； (3)如图②所示，现将长方形沿数轴水平向右移动，当移动到时刻时，，且点恰好为的中点；当移动到时刻时，中点所表示的数与中点所表示的数恰好是互为相反数，求在时刻点所表示的数． 31．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）定义：已知，分别是关于，的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“属方程”． (1)下列方程是方程的“属方程”的是______（请填写正确的序号）； ①；②；③ (2)若关于的方程是关于的方程的“2属方程”，求整数的值； (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $