3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1.点P（4cos α，2sin α）（α∈R）与椭圆C：＋＝1的位置关系是（　　） A.点P在椭圆C上 B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　　） A.　　B.－　　C.±　　D.± 3.已知直线x－4y＋9＝0与椭圆＋＝1（0＜b＜4）相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C（－1，2），则△CF1F2的面积为（　　） A.2 B.4 C.2 D.4 4.（2025·龙岩月考）过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为（　　） A. B. C. D. 5.（2025·泰安质检）已知过圆锥曲线＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为（　　） A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0 C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0 6.〔多选〕已知椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0相交于两个不同的点A，B，M为线段AB的中点，则（　　） A.－＜m＜ B.m＜－或m＞ C.弦长｜AB｜的最大值为 D.M一定在直线x＋4y＝0上 7.〔多选〕（2025·宁波质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（　　） A.椭圆的焦距为 B.椭圆方程为＋y2＝1 C.弦长｜AB｜＝ D.S△OAB＝ 8.（2025·福州月考）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为　　　　. 9.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是　　　　. 10.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（2，）. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点M（2，1）且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度. 11.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为（　　） A.x＋4y＝0　　 B.x＋4y＝0（－＜x＜） C.4x＋y＝0 D.4x＋y＝0（－＜x＜） 12.〔多选〕设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.kAB·kOM＝－1 B.若点M坐标为（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 13.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是　　　　. 14.如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A，B两点. （1）当直线l倾斜角为135°时，求直线l的方程； （2）求证：△AOB的面积为定值. 15.（2025·杭州质检）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为（，－）. （1）求椭圆的方程； （2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1.D　把P（4cos α，2sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，得＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4＞1，因此点P在椭圆C外. 2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.B　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题可知＝，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则所以＝－，即＝，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2，所以＝×2c×2＝4. 4.B　椭圆x2＋2y2＝4化为标准方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝，所以左焦点为（－，0），易求直线AB的方程为y＝（x＋）.由消去y并整理得7x2＋12x＋8＝0，Δ＝（12）2－4×7×8＝64＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝2×＝. 5.B　过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，则与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－2＝0. 6.AD　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆C：＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0的方程，得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由判别式Δ＝（8m）2－4×5×4（m2－1）＞0，得m2＜5，即－＜m＜，选项A正确，选项B错误；又x1＋x2＝－，x1x2＝（m2－1），所以｜AB｜＝·＝·，当m＝0时，弦长｜AB｜取最大值，｜AB｜＝，选项C错误；由直线l：y＝x＋m，线段AB中点M的坐标为（，＋m），即M（－，），所以点M的坐标满足直线方程x＋4y＝0，选项D正确，故选A、D. 7.BC　如图，因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，解得a＝2.因为直线y＝x－过右焦点F2，所以c＝，椭圆的焦距为2，故A错误.b2＝a2－c2＝4－3＝1，椭圆方程为＋y2＝1，故B正确.设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，｜AB｜＝＝＝＝＝，故C正确.原点到直线y＝x－的距离d＝＝，所以S△OAB＝×d×｜AB｜＝××＝，故D错误.故选B、C. 8.　解析：∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，易知直线AF1的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程可得3x2＋4bx＝0，解得x＝0或x＝－b，则B（－b，－b），又F2（b，0），∴＝＝. 9.　解析：由消去y，得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x0，y0），则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝.由题意知＝，∴＝. 10.解：（1）由题意知，e＝，所以a＝c，b＝c，设椭圆E的方程为＋＝1.将点P（2，）代入得：b2＝8，a2＝16，所以椭圆E的方程为＋＝1. （2）由（1）知，椭圆E的右焦点为（2，0），上顶点为（0，2）， 所以直线m斜率为k＝＝－1，因为直线l与直线m平行， 所以直线l的斜率为－1，所以直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0， 联立可得3x2－12x＋2＝0，Δ＝120＞0，x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以｜AB｜＝＝×＝. 11.B　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＋（－）2＜1，解得－＜x＜.∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－＜x＜）. 12.BD　设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（，），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选B、D. 13.（0，］　解析：由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最小，所以b≤｜PA｜min＝，所以ab≤2b2，解得0＜e≤. 14.解：（1）因为直线l倾斜角为135°，直线l的方程为y＝－x＋b，因为椭圆C1：＋y2＝1， 直线l与椭圆C1只有一个公共点，联立方程得3y2－2by＋b2－2＝0， 所以Δ＝4b2－12（b2－2）＝0，所以b＝±，所以直线l的方程为x＋y＋＝0或x＋y－＝0. （2）证明：因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，当斜率存在时，设直线l为y＝kx＋b，由得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－2＝0，所以Δ＝16k2b2－4（2k2＋1）（2b2－2）＝0，所以2k2－b2＋1＝0， 又因为直线与椭圆C2交于A，B两点得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－4＝0， 所以 因为直线l与y轴交于点（0，b），所以S△AOB＝｜b｜×｜x1－x2｜＝｜b｜·＝｜b｜· ＝｜b｜＝｜b｜·＝. 当直线l的斜率不存在时，l：x＝±.代入椭圆C2的方程得，y＝±1，所以S△AOB＝××2＝. 综上所述，△AOB的面积为定值. 15.解：（1）依题意知A（a，0），B（0，－b）， 因为△AOB为直角三角形， 所以过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，所以＝，－＝－， 即a＝，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1. （2）由（1）知B（0，－1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0， 设直线BN的方程为y＝kx－1（k＜0），则直线BM的方程为y＝－x－1， 由消去y得（1＋3k2）·x2－6kx＝0，解得xN＝，yN＝kxN－1， 所以｜BN｜＝＝＝｜xN｜， 所以｜BN｜＝·，在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k， 即M（－k，0），所以｜BM｜＝，在Rt△MBN中，因为∠BMN＝60°， 所以｜BN｜＝｜BM｜，即·＝·，整理得3k2－2｜k｜＋1＝0， 解得｜k｜＝，因为k＜0，所以k＝－，所以点M的坐标为（，0）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $