4.5.3 函数模型的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

4.5.3　函数模型的应用 1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y满足（　　） A.y＝a（1＋5%x） B.y＝a＋5% C.y＝a（1＋5% D.y＝a（1＋5%）x 2.某商场2025年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示， 时间t 1 2 3 4 利润y（千元） 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（　　） A.y＝log2t B.y＝2t C.y＝t2 D.y＝2t 3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈（　　） A.16 B.20 C.32 D.90 4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48）（　　） A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 6.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（　　） A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 7.〔多选〕氡（Radon）又名氭，是一种化学元素，符号是Rn，氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性.已知放射性元素的半衰期是3.82天，经x天衰变后变为原来的ax（a＞0且a≠1），取0.8347.64＝.则（　　） A.经过7.64天以后，氡元素会全部消失 B.经过15.28天以后，氡元素变为原来的 C.a＝0.834 D.经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的 8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为　　　　. 9.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度（J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a的值为　　　　.（取lg 2≈0.3进行计算） 10.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量. （1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式； （2）当人们低声说话时，声音能量为10－13 W/cm2，声音强度为30分贝；当人们正常说话时，声音能量为 10－12 W/cm2，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪. 11.一渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼将很快失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分钟）满足的函数关系式为h（t）＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后失去全部新鲜度？（取lg 2≈0.3，结果取整数）（　　） A.33分钟 B.40分钟 C.43分钟 D.50分钟 12.〔多选〕几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p（x）＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100%.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（　　） A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率 B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润 C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元 D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元 13.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　　　　年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30） 14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q（x）/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k的值； （2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）求该小物品的日销售收入（单位：元）f（x）的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.3　函数模型的应用 1.D　经过1年，y＝a（1＋5%），经过2年，y＝a（1＋5%）2，…，经过x年，y＝a（1＋5%）x. 2.B　作出散点图如图所示.由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B. 3.C　因为r＝0.6lg I，所以I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1.所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32. 4.D　由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093. 5.D　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即nlg ≤－lg 20，即n（lg 2－ln 3）≤－（1＋lg 2），即n≥≈7.4，故选D. 6.D　对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈（lg 102，lg 103），即lg P∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈（lg 102，lg 103），即lg P＝lg 729∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故D正确. 7.BC　因为7.64＝2×3.82，所以经过7.64天以后，氡元素变为原来的，A错误；经过3.82天以后剩下的氡元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素是原来的，所以经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的2倍，D错误；要使得氡元素变为原来的＝，需要经过4×3.82＝15.28天，B正确；因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以a3.82＝，因为0.8347.64＝（0.8343.82）2＝，所以0.8343.82＝，所以a＝0.834，C正确.故选B、C. 8.5　解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得 n＝ln ，若k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故 m＝10－5＝5. 9.　解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2. 则两式相减得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝. 10.解：（1）∵D1＋2D2＝3D3， ∴alg I1＋b＋2（alg I2＋b）＝3（alg I3＋b）， ∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3， ∴I1·＝. （2）由题意得 解得 ∴100＜10lg I＋160＜120， ∴10－6＜I＜10－4. 故当声音能量I∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪. 11.C　由题意得解得a＝，m＝0.05，故h（t）＝0.05×，令h（t）＝0.05×＝1，得＝20，故t＝＝≈≈43（分钟），故选C. 12.BC　由p（x）＝－x2＋6x－20＝－（x－15）2＋25，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，故B正确，D错误；研发利润率y＝×100%＝－x＋6－＝－＋6，又＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝10时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，故A错误，C正确.故选B、C. 13.2027　解析：设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.由130（1＋12%）n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，所以n＞≈＝3.8，又n∈N*，所以n≥4，所以从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 14.解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1. （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）. （3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜ ＝ 所以f（x）＝P（x）·Q（x） ＝ 当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124. 综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $