3.2.2 培优课 函数性质的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

培优课　函数性质的综合问题 1.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x＜0时，f（x）＝，则f（）＝（　　） A.－2 B.－ C. D.2 2.已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（　　） A.（－∞，1） B.（－1，＋∞） C.[－1，＋∞） D.（－∞，1] 3.已知定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点对称，且当x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋，则f＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D. 4.已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于（1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　） A.f（0）＝0 B.f＝0 C.f（2）＝0 D.f（3）＝0 5.若函数y＝f（x）是奇函数，且函数g（x）＝af（x）＋b＋2在（0，＋∞）上有最大值10，则函数y＝g（x）在（－∞，0）上有（　　） A.最大值－8 B.最小值－8 C.最小值－6 D.最小值－4 6.〔多选〕若函数f（x）是定义域为R的偶函数，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是（　　） A.3个交点的横坐标之和为0 B.3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C.f（0）＝0 D.f（0）的值与函数解析式有关 7.〔多选〕设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－1，0]上单调递增，给出下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（　　） A.f（x＋2）＝f（x） B.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 C.y＝f（x）在[0，1]上单调递增 D.f＝0 8.已知函数f（x）＝若f（x－1）＜f（2x＋1），则x的取值范围为　　　　. 9.已知定义域为R的函数f（x）在（－∞，－1）上单调递增，且f（x－1）为偶函数，给出下列结论：①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）在（－1，＋∞）上单调递减；③f（－1）为f（x）的最大值；④f（－3）＜f（0）＜f.正确的为　　　（填序号）. 10.定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，且函数y＝g（2x－1）＋1为奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称中心是　　　　. 11.已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）＝f（x）－f（a－x）. （1）用函数单调性的定义证明F（x）是R上的增函数； （2）证明：函数y＝F（x）的图象是关于点成中心对称的图形. 12.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数y＝f（x）满足f（xy）＝f（x）－f，且函数f（x）在（－∞，0）上单调递减. （1）求f（－1），并证明函数y＝f（x）是偶函数； （2）若f（2）＝1，解不等式f－f≤1. 13.设a为实数，函数f（x）＝x2＋｜x－a｜＋1. （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求f（x）的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　函数性质的综合问题 1.D　∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（）＝f（）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（）＝－f（－）＝－（－2）＝2，即f（）＝2. 2.C　因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1. 3.B　∵y＝f（x）的图象关于点对称，∴f＋f＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f＝－f＝0. 4.D　f（x）的图象关于（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋2）①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f（x）的图象关于x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）②；令x＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3）＝0. 5.C　由题意知f（x）为奇函数，所以af（x）＋b为奇函数.因为g（x）＝af（x）＋b＋2在（0，＋∞）上有最大值10，即af（x）＋b在（0，＋∞）上有最大值8，则af（x）＋b在（－∞，0）上有最小值－8，故函数y＝g（x）在（－∞，0）上有最小值－6，故选C. 6.AC　因为函数f（x）是定义域为R的偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以当函数图象与x轴的交点有3个时，则必有一个交点是原点，另两个交点关于y轴对称，所以3个交点的横坐标之和为0，且f（0）＝0，故A、C正确，B、D错误. 7.ABD　因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），f（x＋2）＝f（x＋1＋1）＝－f（x＋1）＝－（－f（x））＝f（x），所以A正确；因为f（－x）＝f（x），所以f（－x）＝f（x＋2），所以对称轴x＝＝1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又在[－1，0]上单调递增，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x＋1）＝－f（x），令x＝－可得f（）＝－f（－），即f（）＝－f（），所以f（）＝0，所以D正确.故选A、B、D. 8.（－∞，－2）∪（0，＋∞）　解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2. 9.②④　解析：因为f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且f（x）在（－1，＋∞）上单调递减，①错误，②正确；因为f（x）在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减，但没有明确函数是否连续，不能确定f（－1）的值，所以③错误；因为f（0）＝f（－2），f＝f，且f（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以f（－3）＜f（－2）＜f，即f（－3）＜f（0）＜f，所以④正确. 10.（3，－1）　解析：因为y＝g（2x－1）＋1为奇函数，所以g（－2x－1）＋1＝－g（2x－1）－1，即g（－2x－1）＋g（2x－1）＝－2，故g（x）的对称中心为，即（－1，－1），由于函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对称，且（－1，－1）关于x＝1的对称点为（3，－1），故y＝f（x）的对称中心为（3，－1）. 11.证明：（1）∀x1，x2∈R，且x1＜x2， 则F（x1）－F（x2） ＝[f（x1）－f（a－x1）]－[f（x2）－f（a－x2）] ＝[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]. ∵函数f（x）是R上的增函数，x1＜x2， ∴a－x2＜a－x1， ∴f（x1）＜f（x2），f（a－x2）＜f（a－x1）， ∴[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]＜0， ∴F（x1）＜F（x2）， ∴F（x）是R上的增函数. （2）设点M（x0，F（x0））是函数F（x）图象上的任意一点，则点M（x0，F（x0））关于点对称的点为M'（a－x0，－F（x0））. ∵F（a－x0）＝f（a－x0）－f[a－（a－x0）] ＝f（a－x0）－f（x0） ＝－[f（x0）－f（a－x0）] ＝－F（x0）， ∴点M'（a－x0，－F（x0））也在函数F（x）的图象上. 又∵点M（x0，F（x0））是函数F（x）的图象上任意一点， ∴函数y＝F（x）的图象是关于点成中心对称的图形. 12.解：（1）令y＝≠0，则f＝f（x）－f（x），得f（1）＝0， 再令x＝1，y＝－1，可得f（－1）＝f（1）－f（－1）， 得2f（－1）＝f（1）＝0，所以f（－1）＝0， 令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＝f（x）， 又该函数的定义域关于原点对称，所以f（x）是偶函数. （2）因为f（2）＝1，又该函数为偶函数，所以f（－2）＝1. 因为函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 又f－f＝f＝f（2x－4）， 所以f（｜2x－4｜）≤f（2），即 解得1≤x＜2或2＜x≤3. 所以不等式f－f≤1的解集为[1，2）∪（2，3]. 13.解：（1）当a＝0时，函数f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＋1＝f（x），此时f（x）为偶函数； 当a≠0时，f（a）＝a2＋1，f（－a）＝a2＋2｜a｜＋1， 则f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）， 此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x＜a时，f（x）＝x2－x＋a＋1＝（x－）2＋a＋. 若a≤，则函数f（x）在（－∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（a）＝a2＋1； 若a＞，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）＝＋a，且f（）＜f（a）. ②当x≥a时，f（x）＝x2＋x－a＋1＝（x＋）2－a＋. 若a≤－，则函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（－）＝－a，且f（－）≤f（a）； 若a＞－，则函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（a）＝a2＋1. 综上所述，当a≤－时，函数f（x）的最小值是－a； 当－＜a≤时，函数f（x）的最小值是a2＋1； 当a＞时，函数f（x）的最小值是a＋. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $