专题07 数列的通项与求和14类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题07 数列的通项与求和14类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 公式法求通项（共5小题） 1.（24-25高二上·江苏宿迁·月考）已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由已知可得数列是公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可求得. 【详解】因为，所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 故选：D. 2.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质及等比数列列出方程求解即可. 【详解】等差数列中， 设公差为d，，∴， 解得或（舍），∴．故答案为： 3.（2025·河北石家庄·一模）已知数列满足，设，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，即有，从而得数列是等差数列，公差为2，首项，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以数列是等差数列，公差为2，首项， 所以. 故答案为： 4.（24-25高二上·广东·期末）正项数列满足，则=_________. 【答案】 【分析】先对变形得到，设，求出，得到为等比数列，求出答案. 【详解】因为，所以， 即，设，则， 解得：或， 因为为正项数列，所以，故， 所以为等比数列，首项为2，公比为2， 所以 故答案为： 5.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先利用题给条件求得，则数列是公比为的等比数列，再由题意求得其首项的值，进而求得数列的通项公式即可. 【详解】由题意，. 又，所以，，， 数列是公比为的等比数列. 又，，. 故答案为：. 题型二 Sn与an间的关系求通项（共5小题） 6.（24-25高二上·江苏南京·期末）数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目条件利用Sn与an间递推关系求通项 【详解】因为，所以，时，， 两式相减得，，即，， 因为，即， 所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列， 则．故选：B． 7.（24-25高二上·湖北·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为 8.（24-25高二上·福建福州·月考）已知数列的前项和，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式，由，能够求出数列的通项公式． 【详解】解：， ，． 当时，，，故选：A 9.（24-25高二上·广东广州·月考）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 10.（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知各项均为正数的数列的前项和为， (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可，由为等差数列，先求出，然后求解的通项公式即可； 【详解】（1）证明：因为，则当时，， 即， 而，有，即， 所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. 题型三 累加法求通项（共7小题） 11.已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【分析】对条件进行变形利用累加法求通项 【详解】数列中，，， 则. 故选：B 12.已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 13.（24-25高二上·广东汕头·月考）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 14.（24-25高二上·湖南长沙·月考）若数列满足，（，），则的最小值是 . 【答案】6 【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数. 【详解】由已知，，…，，， 所以，， 又也满足上式，所以， 设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增， 因此在时递减，在时递增， 又，， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 15.（24-25高二上·河南信阳·月考）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由题意结合累加法求出即可求解. 【详解】由题得 ， 当时，符合题意， 所以， 故答案为：. 16.（24-25高二上·江苏连云港·月考）在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】先根据条件进行构造，然后利用累加法求通项 【详解】由，可得 又，， 所以． 所以首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以． 又满足上式，所以 17（24-25高二上·安徽合肥·期末）.已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论结合等比数列通项公式，再利用累加法求解即得. 【详解】（1）数列中，，则， 由，，得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是. 题型四 累乘法求通项（共5小题） 18.（24-25高二上·江苏镇江·月考）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 19.（24-25高二上·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 20.（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【详解】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 21.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 22.（24-25高二上·浙江杭州·期中）数列中，若，，则 . 【答案】/1.9 【分析】依题意可得，再利用累乘法求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因为，所以，所以，，，，，累乘可得 即，因为，所以，所以 故答案为： 题型五 构造法求通项（共7小题） 23.（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】令可得，又，解得，又， 则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，. 故选：B. 24.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 25.（24-25高二上·湖北·期末）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 26.（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【详解】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 27.（24-25高二上·江苏徐州·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 28.（24-25高二上·河南郑州·月考）已知：，时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】利用待定系数法构造等比数列求解 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 29.（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】(1) 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 题型六 倒数法求通项（共4小题） 30.（24-25高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 31.（24-25高二上·湖南·期末）已知数列中，，若，则正整数的值为 . 【答案】8 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解 【详解】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 32.（24-25高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值． 【详解】解： ， 数列是以10为首项，1为公差的等差数列 在上单调递减，在上单调递增 时，取得最小值为 故答案为： 33.（24-25高二上·广东深圳·期末）数列中，则 . 【答案】 【分析】对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】因为，所以，即，又， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 题型七 奇偶型/隔项型求通项（共6小题） 34.（24-25高二上·江苏·期末）数列满足，前16项和为540，则 【答案】 【分析】根据题目条件进行奇偶项的分类讨论 【详解】因为数列满足， 当为奇数时，， 所以，，，， 则， 当为偶数时，， 所以，，，，，，， 故，，，，，，， 因为前16项和为540， 所以， 所以，解得． 故答案为：． 35.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，，记，则________ 【答案】 【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可判断A、B，依题意可得，即，从而求出数列的通项公式，即可判断C、D. 【详解】因为，，且， 所以，， 所以，故A错误；，故B错误； 又， 故，即， 所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误 36.（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式； 【详解】由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . 37（24-25高二上·江苏徐州·月考）.数列满足，前16项和为508，则 ． 【答案】3 【分析】根据条件进行奇偶项的分析与讨论 【详解】解：由， 当为奇数时，有， 可得， ， 累加可得； 当为偶数时，， 可得，，，． 可得． ． ， ，即． 故答案为：3． 38.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知数列满足. (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将和代入已知直接求解. （2）分奇数项和偶数项讨论，得到分别都是等差数列，根据等差数列通项公式求解. 【详解】（1）由 可得， （2）由已知可得 则， 则数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 即， 当n为奇数时， 则 当n为偶数时， 则， 故 39. （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 【答案】(1)； 【分析】（1）由题可得的奇数项和偶数项分别是等比数列，利用等比数列的通项公式即得； （2）由题可得，然后根据裂项相消法即得. 【详解】（1）由，可得， 两式相除得， 所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列， 由，，可得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 题型八 公式法求和（共3小题） 40.（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 41.（25-26高二上·江苏连云港·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 42.（25-26高二上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【详解】（1）由题意得：，， 解得，， 所以，. （2）由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 题型九 分组法求和（共5小题） 43.（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 44.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． （2）因为，所以， 则. 45.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据给定的递推关系式，令得，再令得. （2）根据给定的递推关系式得，从而根据等比数列定义即可证明. （3）先利用累加法求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. 46.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 因为，可得，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知：，可得， 则 . 47.（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【答案】(1)证明见解析，． (2) 【分析】（1）通过已知条件和联立方程组可求出和，进而得到的通项公式. 对于数列，根据，通过变形得到，可证明是等比数列，进而求出的通项公式. （2）根据的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出. 【详解】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以         所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，              所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 题型十 并项法求和（共4小题） 48.（24-25高二上·江苏·期末）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式. （2）求出，利用分组求和公式得到答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，，得， 解得，则 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以 . 49.（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式进行计算即可. （3）根据数列的性质分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得或 依题意得，则，所以． （2）由（1）知，， 所以． （3）因为， 所以. 50.（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 51.（2025·江苏苏州·二模）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式，并分段表示出. （2）根据（1）的结论，利用并项求和法及等比数列前项和公式求解即得. 【详解】（1）依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， . 题型十一 裂项相消法求和（共5小题） 52.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 【答案】(1)； (2)49； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求得其通项公式. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值. （3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在等差数列中，由，得数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此等差数列的前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，数列前项和取得最大值. （3）由（1）知， 所以. 53.（25-26高三上·江西·月考）已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件，即可求解公差，进而根据等差通项公式即可求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）由题意可得． 则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2． 故． （2）由（1）得． 故． 则． 54.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 55.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 【答案】(1)证明见解析， (2)选择，；选择， 【分析】（1）构造数列等式作差可以判断等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）设， 选条件①：则，利用错位相差法求和进行判断即可； 选条件②：则，利用裂项相消法求和进行判断． 【详解】（1）由，① 当时，得，得， 当时，得，② 由①－②得， 得， 得，即， 而，故， 得数列为等比数列，首项为，公比为3， 得， 得． （2）设， 选条件①：则， 令， 则， 两式相减，得， 得， 则， 显然数列单调递增， 得，， 故满足条件的最大整数； 选条件②：则， 则， 显然数列单调递增， 得， 故满足条件的最大整数． 56.（24-25高二上·江苏无锡·期末）在数列中，， (1)求证是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据给定条件结合等比数列的定义判断即可. （2）利用给定条件求出数列通项公式，再结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 且，， 故数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 可得，即. （2）由上问知， 所以 题型十二 错位相减法求和（共5小题） 57.（25-26高三上·广东·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，，又， 所以，解得， 所以； （2）因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 58.（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 59.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对递推式合理变形，再利用等差数列的定义证明等差数列，再求解通项公式即可. （2）结合题意并利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 两侧同时除以，可得，得到数列是公差为1的等差数列， 而，可得，故，解得， 则，故. （2）由题意得， ， 两式相减可得， 则， 得到， 可得， 则， 故. 60.（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）把当时，当时，代入，化简求出，再根据等比数列的通项公式求出； （2）由（1）和条件求出，利用错位相减法求出数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 61.（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 所以. 由数列满足，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1），得， 则， 则， 两式作差，得 所以. 题型十三 倒序相加法求和（共4小题） 62.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 63.（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数 (1)解不等式： (2)求证: 为定值，并求的值； (3)若满足 满足，求 的值. 【答案】(1)不等式的解集为； (2)； (3). 【分析】(1)根据对数运算法则化简不等式，再通过换元法求解； (2)先对进行化简证明其为定值，再利用该定值计算所给式子的值； (3)通过构造函数，利用函数的单调性求解的值. 【详解】（1）解：已知，则， 所以不等式可化为，令,则不等式变为， 即，解得或，当时，，当时，， 所以，不等式的解集为. （2）证明：已知，则，, 所以为定值， 令， 则， 两式相加得，所以， 即的值为. （3）解：已知满足，即， 已知满足，即， 令,则原方程组可化为和， 而可化为 设，则， 所以，即， 所以. 64.（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 65.（2025·江苏·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 题型十四 数列求和与不等式恒成立求参数（共8小题） 66.（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【详解】（1）①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. （2），，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 67.（25-26高三上·湖北·月考）已知数列满足，，，． (1)求的通项公式； (2)的前项和记为，试求； (3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）通过对已知条件变形，构成新的数列，利用累加法求出新的数列通项，进而得到的通项公式. （2）根据的奇偶性，分别计算前项和. （3）先求出的表达式，再将不等式变形，通过数列的最大值来确定的范围. 【详解】（1）已知数列满足． 当时，，两式相减得：，即． 则，，且时，. ，，且时，. 经检验，也符合通式． 综上． （2）依题意，当，，且时. ，也符合通式. 当，，且时，． 综上． （3）由（2）中结论，. 则时，原式等价于，恒成立，即恒成立. 记. 则时，. 即在时，单调递减． 可知，可得． 68.（25-26高二上·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）当时，有， 所以，得， 当时，有， 即，而， 两式作差，得，即， 化简得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 69.（25-26高二上·浙江金华·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式； （2）由（1），利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）由（1）求，，条件可转化为对任意的恒成立，利用不等式法求数列的最小值，由此可得结论. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 由， 可得，解得（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，可得， 则， 所以数列的前项和． （3）由（1），， 由，，则，即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值，则 解得，而，则，此时取得最小值， 由于，则数列在时取最小值， 所以，则实数的最大值为． 70.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 【答案】(1)； (2)； (3)存在. 【分析】（1）由已知条件求，进而求得；由裂项相消法求； （2）分离参数，分奇偶讨论求范围； （3）假设存在，由三项成等比列等式，分离，讨论取值. 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 所以， 所以， （2）由可得， 若为奇数，则恒成立， 因为函数与函数在单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，所以； 若为偶数，则恒成立， 因为函数在满足，当且仅当时取等号， 所以，所以， 综上，实数的取值范围为. （3）假设存在正整数，使得成等比数列， 则，整理得， 当时，；当时，，不合题意. 所以存在满足条件. 71.（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 72.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. （3）因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 73.（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据二次函数的导函数及所过的点可得，进而有，应用的关系求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法得，根据数列不等式能成立，讨论的奇偶性求参数范围. 【详解】（1）设二次函数且，则，故， 所以，又函数经过坐标原点，则，故， 又点均在函数的图象上，所以， 当，则，故，显然也满足， 所以； （2）由（1）， 所以， 由在上能成立， 当为奇数时，因为，所以； 当为偶数时，因为，所以； 存在，使能成立，只需或， 即. $专题07 数列的通项与求和14类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 公式法求通项（共5小题） 1.（24-25高二上·江苏宿迁·月考）已知数列满足：，，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知正项等差数列的前n项和为，且，若成等比数列，则等差数列的通项公式________． 3.（2025·河北石家庄·一模）已知数列满足，设，，则 ． 4.（24-25高二上·广东·期末）正项数列满足，则=_________. 5.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，则数列的通项公式为 . 题型二 Sn与an间的关系求通项（共5小题） 6.（24-25高二上·江苏南京·期末）数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·湖北·期末）已知数列的前项和为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8.（24-25高二上·福建福州·月考）已知数列的前项和，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9.（24-25高二上·广东广州·月考）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 10.（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知各项均为正数的数列的前项和为， (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 题型三 累加法求通项（共7小题） 11.已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 12.已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 13.（24-25高二上·广东汕头·月考）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 14.（24-25高二上·湖南长沙·月考）若数列满足，（，），则的最小值是 . 15.（24-25高二上·河南信阳·月考）已知数列满足，且，则 . 16.（24-25高二上·江苏连云港·月考）在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 17（24-25高二上·安徽合肥·期末）.已知数列满足，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 题型四 累乘法求通项（共5小题） 18.（24-25高二上·江苏镇江·月考）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 19.（24-25高二上·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 20.（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 21.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，则的最小值为 ． 22.（24-25高二上·浙江杭州·期中）数列中，若，，则 . 题型五 构造法求通项（共7小题） 23.（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 24.（24-25高二上·江苏扬州·月考）已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 25.（24-25高二上·湖北·期末）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 26.（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 27.（24-25高二上·江苏徐州·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 28.（24-25高二上·河南郑州·月考）已知：，时，，则的通项公式为 29.（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 题型六 倒数法求通项（共4小题） 30.（24-25高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 31.（24-25高二上·湖南·期末）已知数列中，，若，则正整数的值为 . 32.（24-25高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则的最小值为 . 33.（24-25高二上·广东深圳·期末）数列中，则 . 题型七 奇偶型/隔项型求通项（共6小题） 34.（24-25高二上·江苏·期末）数列满足，前16项和为540，则 35.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，，记，则________ 36.（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）已知数列满足，，，，则数列的通项公式为 37（24-25高二上·江苏徐州·月考）.数列满足，前16项和为508，则 ． 38.（24-25高二上·云南昆明·期末）已知数列满足. (1)求； (2)求数列的通项公式． 39.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 题型八 公式法求和（共3小题） 40.（25-26高二上·江苏宿迁·月考）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 41.（25-26高二上·江苏连云港·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 42.（25-26高二上·江苏·月考）已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 题型九 分组法求和（共5小题） 43.（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 44.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， (1)求和的通项公式； (2)设求数列的前n项和. 45.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 46.（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 47.（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 题型十 并项法求和（共4小题） 48.（24-25高二上·江苏·期末）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 49.（25-26高三上·江西·月考）已知正项等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)设数列的前项和为，求． 50.（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 51.（2025·江苏苏州·二模）在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 题型十一 裂项相消法求和（共5小题） 52.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 53.（25-26高三上·江西·月考）已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 54.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 55.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 56.（24-25高二上·江苏无锡·期末）在数列中，， (1)求证是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 题型十二 错位相减法求和（共5小题） 57.（25-26高三上·广东·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 58.（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 59.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 60.（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 61.（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型十三 倒序相加法求和（共4小题） 62.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 63.（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数 (1)解不等式： (2)求证: 为定值，并求的值； (3)若满足 满足，求 的值. 64.（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 65.（2025·江苏·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 题型十四 数列求和与不等式恒成立求参数（共8小题） 66.（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 67.（25-26高三上·湖北·月考）已知数列满足，，，． (1)求的通项公式； (2)的前项和记为，试求； (3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 68.（25-26高二上·福建厦门·月考）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.数列满足，其前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 69.（25-26高二上·浙江金华·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和． (1)求与的通项公式； (2)若，求数列的前n项和； (3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 70.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知递增的等差数列满足，，令，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. (3)是否存在正整数，（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有，的值. 71.（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 72.（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 73.（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. $