专题08 导数与函数单调性、极值、最值13类综合问题（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题08 导数与函数单调性、极值、最值13类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数与原函数图像间的关系（共5小题） 1．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A．B．C．D． 4.（多选）（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 5.（24-25高三上·江苏·月考）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ） A．B．C． D． 题型二 利用导数判断函数的单调性（共6小题） 6.（24-25高二下·北京西城·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7.（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 8.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 10.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)当 时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值. 11.（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 题型三 利用导数求函数单调区间（含参）（共6小题） 12.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 13.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 14.（24-25高二上·江苏南通·月考）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 15.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 16.（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 17.（24-25高二上·江苏南京·月考）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 题型四 根据函数单调性求参数（共9小题） 18.（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19.（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20.（24-25高三上·福建泉州·月考）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21.（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 22.（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 23.（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 24.（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 25.（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 26.（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 题型五 利用函数单调性解不等式（共5小题） 27.（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 28.（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30.（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 31.（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为 . 题型六 导数中的构造函数问题（共10小题） 32.（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 ． 33.（24-25高二下·四川阿坝·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（   ）． A． B． C． D． 34.（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 35.（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37.（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38.（23-24高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 39.（24-25高二下·安徽六安·期末）已知实数满足则 ． 40.（24-25高二下·吉林长春·期末）已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是 ． 41.（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为 ． 题型七 利用导数求函数极值（共6小题） 42.（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 43.（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 44.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 45.（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 46.（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 47.（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 题型八 利用函数极值点或极值求参数（共4小题） 48.（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 49.（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50.（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的两个极值点为，且，则实数的取值范围为 ． 51.（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 题型九 利用导数求函数最值（共5小题） 52.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 53.（24-25高二下·天津和平·期末）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 54.（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 55.（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 56.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 题型十 利用导数研究函数的零点个数问题（共6小题） 57.（24-25高二下·吉林·期末）设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 58.（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知， (1)若，试证明：，恒成立 (2)若，讨论的零点个数 59.（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 60.（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 61.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 62.（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． 题型十一 利用导数研究不等式恒成立问题（共4小题） 63.（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 64.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 65.（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 66.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若是的极大值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围. 题型十二 导数中的隐零点问题（共4小题） 67.（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 68.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 69.（24-25高二上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 70.（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 题型十三 导数中的极值点偏移问题（共7小题） 71.（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 72.（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 73.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 74.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 75.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． 76.（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 77.（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. $专题08 导数与函数单调性、极值、最值13类综合问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数与原函数图像间的关系（共5小题） 1．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 2．（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义即可判断. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数， 所以， 即. 故选：B. 3.（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案. 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 4.（多选）（24-25高二上·湖南株洲·期末）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案. 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 5.（24-25高三上·江苏·月考）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为，则，则的图象为抛物线， 对于A选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，A错； 对于B选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 不合乎题意，B错； 对于C选项，由图可知，，，则函数在上为增函数， 合乎题意，C对； 对于D选项，如下图所示： 当或时，，则函数在区间、上均为减函数， 不合乎题意，D错. 故选：C. 题型二 利用导数判断函数的单调性（共6小题） 6.（24-25高二下·北京西城·期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义分别判断函数的奇偶性，利用导数分别判断函数的单调性，再根据函数是否为是奇函数，且是否在上单调递增判断即可. 【详解】选项A：函数定义域为 ，，函数是奇函数， ，当时，，在上单调递减，不合题意； 选项B：函数定义域为 ，，函数不是奇函数，不合题意； 选项C：函数定义域为, 是奇函数 ，因为，所以，函数在上单调递增，符合题意； 选项D：定义域为 ，不是奇函数，不合题意. 故选：C. 7.（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D 8.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 9.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 10.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)当 时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）当时，求出导函数，由导函数大于0解不等式，即得递增区间； （2）先求出，再利用导数的几何意义，由即可求得实数 a 的值. 【详解】（1）当时，，则， 由可得或， 故函数 的单调递增区间为和； （2）由求导得，， 依题意，，解得. 11.（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 题型三 利用导数求函数单调区间（含参）（共6小题） 12.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 13.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 14.（24-25高二上·江苏南通·月考）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，与联立，由解得； （2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可. 【详解】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 15.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 16.（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数． (1)若在点处的切线方程为，求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把点代入构建关于的方程，求解得到的值，对求导，将代入导函数得切线斜率，再把点和代入切线方程求，即可得的值； （2）对求导并因式分解，令导函数为0，得到两根和，分、、三种情况，根据导函数正负判断的单调区间． 【详解】（1）因为，所以， 因为过点，所以解得， 又因为，在点处的切线方程为， 所以，， 所以. （2）因为，令， 解得，， ①当即时， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数； ②当即时，， 在上为增函数； ③当即时， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 综上：当时，的单调递增区间为和，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，递减区间为. 17.（24-25高二上·江苏南京·月考）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 题型四 根据函数单调性求参数（共9小题） 18.（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 19.（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 20.（24-25高三上·福建泉州·月考）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 21.（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 22.（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 23.（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数有三个单调区间，分析导函数恰有两个零点，根据导函数方程的根的情况即可求出参数范围. 【详解】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 24.（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 25.（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 26.（24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 题型五 利用函数单调性解不等式（共5小题） 27.（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 28.（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 29.（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 30.（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数的定义域为R，且图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性得的解，然后分类讨论可得. 【详解】由已知时，，时，或， 所以或， 综上不等式的解集为， 故选：D. 31.（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】结合题意构造函数，判断其单调性，将化为，利用函数的单调性，即可求得答案. 【详解】设，则， 由于，故， 即，则在R上单调递减， 又，即为， 即，故， 则不等式的解集为， 故答案为： 题型六 导数中的同构问题（共10小题） 32.（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 33.（24-25高二下·四川阿坝·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】令，则， 由，即， 所以当时，，即在上单调递增， 对于A，由，则，所以，即，故A正确； 对于B，由，则，所以，即，故B正确； 对于C，由，则，所以，即，故C正确； 对于D，由，则，所以，即，故D错误. 故选：D. 34.（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由， 即，得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 35.（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数，说明在上单调递增，得，换元并求导即可求解最小值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 令，求导得， 所以在上单调递增， 而，即， 从而，所以， 令，， 求导得，，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：C. 36.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造函数法，结合导数求得的最小值. 【详解】依题意，正数满足， 所以，即， 所以， 令， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 令， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增， 所以的最小值是， 所以的最小值为. 故选：B 37.（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】构造函数，该函数的定义域为， 则， 所以，函数在上为增函数，且， 由可得，即，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 38.（23-24高二上·江苏南京·期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，根据题意可知为偶函数且在上单调递减，根据函数性质解不等式即可. 【详解】设函数，可知的定义域为， 求导得， 因为当时，有恒成立，则， 所以在上单调递减， 且，可知， 当时，；当时，； 又因为是定义在上的奇函数， 则，所以是偶函数， 可得：当时，；当时，； 所以不等式解集为； 注意到不等式等价于， 所以不等式解集为. 故选：B. 39.（24-25高二下·安徽六安·期末）已知实数满足则 ． 【答案】1 【分析】根据指数对数的运算性质化简后，构造函数，结合函数单调性及得解. 【详解】因为 所以，且，，即， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以，即. 故答案为：1 40.（24-25高二下·吉林长春·期末）已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题设得，且，构造且并应用导数研究其单调性得，再将问题化为求直线（为参数）上的点到原点距离的平方的最小值，即求且的最小值，应用导数研究其最小值即可. 【详解】由题设，则，， 由，可得，即， 令且，则，故在上单调递减， 由上，故，依题意即在区间上有解， 所以表示直线（为参数）上的点到原点距离的平方， 由原点到直线的距离，故， 令且，则， 所以在上单调递增，则，即的最小值为. 故答案为： 41.（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由，可构造函数，结合导数可得在上单调递减，由的性质及，结合所求不等式，可转化为且解，结合单调性即可得. 【详解】由，即， 令，则， 故在上单调递减， 由为偶函数，故， 又为奇函数，故， 故有， 即有，则， 即，故为周期为的周期函数， 由，故， 由，故， 即，故， 即有，则， 对，有，即有， 由在上单调递减，故， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型七 利用导数求函数极值（共6小题） 42.（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 43.（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 44.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值． 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）对函数求导，由导数大于零和小于零求出单调区间； （2）列表，由单调性求出极值． 【详解】（1）因为函数， 所以， 由得或，由得， 则函数的增区间为：和，减区间为：. （2）由（1）可得 -2 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 则函数的极大值为，极小值为． 45.（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 46.（24-25高二下·北京通州·期末）已知函数为偶函数． (1)求实数a的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求出的值. （2）对函数求导，分别讨论情况下函数的单调性和极值. 【详解】（1）因为函数（）是偶函数， 所以， 所以，即. （2）由（1）知函数的解析式为（）. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递增，在上单调递减. 令，因为，所以，根据单调性可知函数在处取极小值，无极大值. 当时，，求导得. 令，；令，. 此时函数在上单调递减,在上单调递增.此时函数在处取极小值，无极大值. 47.（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 题型八 利用函数极值点或极值求参数（共4小题） 48.（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 【答案】D 【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案. 【详解】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设， 所以. 故选：D 49.（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 50.（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知函数的两个极值点为，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，为方程的两根，列出韦达定理，将不等式变形为关于实数的不等式，即可解得实数的最小值. 【详解】函数定义域为，且， 因为函数有两个极值点，则，可得， 由题意可知，为方程的两根， 由韦达定理可得， 所以 ，解得，所以， 因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 51.（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 题型九 利用导数求函数最值（共5小题） 52.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 53.（24-25高二下·天津和平·期末）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 54.（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间； （2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值. 【详解】（1）由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 55.（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求的单调区间及最值； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间和最值即可； （2）根据（1）得到函数大致图象，数形结合并讨论参数判断解的个数. 【详解】（1）由题设，故时有，时有， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当趋向时趋向，趋向时趋向，故， 综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值； （2）由（1）分析，可得的大致图象如下： 当时，无解； 当时，有两个不同解； 当或时，有且仅有一个解. 56.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求，即可写出切线方程； （2）利用导数判断单调性，进而根据极值、端点值确定区间值域. 【详解】（1）由， 因此在处的切线是. （2）由，列表如下 1 3 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 从上表可知，在上的值域是. 题型十 利用导数研究函数的零点个数问题（共6小题） 57.（24-25高二下·吉林·期末）设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】(1)函数的极大值点为，函数没有极小值点； (2). 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【详解】（1）， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 58.（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知， (1)若，试证明：，恒成立 (2)若，讨论的零点个数 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过等价变形，转化为证明，当时，恒成立，构造函数，借助导数求出函数最大值即可得证； （2）分和讨论，即分别进行正零点和负零点的讨论，即可得解. 【详解】（1）证明： 要证明，恒成立，即证明恒成立 又 即只需要证明当时，恒成立， 令，则， 令解得，所以在上单调递增； 令解得，所以在上单调递减； 所以，当时，取得极大值，也是在上的最大值， 即， 所以，当时，恒成立，即当时，恒成立， 所以，恒成立. （2） 当时， （i）当时，，所以恒成立，即无零点； （i i）当时恒成立，即在上单调递增； 又，， 由零点存在性定理可得，在上存在唯一的零点，且零点小于0； 当时， 令，即， 又， 因此零点个数问题转化为了与图象的交点个数问题， 由（1）知，令，在上单调递增；在上单调递减； 当时，，当时，，如图所示； 当，即时，又，即此时，与图象没有交点，所以没有零点； 当，即时，又，即此时，与图象有两个交点，所以有2个正零点； 综上所述，当时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点； 59.（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 60.（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为，没有最大值. (2)答案见解析 【分析】（1）求导，判断的单调性求出最值； （2）由（1），可知在上递增，且，根据k的不同取值，分情况讨论，得解. 【详解】（1），令，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值为，没有最大值. 所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值. （2），由（1），可知在上递增，而，. 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点. ②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点. ③当时，由，即恒成立，故没有零点. 综上，当时，在上没有零点. 当时，在上有1个零点. 61.（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 62.（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式，求出的值，再利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合函数极值的定义可得结果； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出函数的零点个数，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，所以，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，令，解得，列表得： ＋ 单调递减 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （3）因为，则， ①当时，由得，此时函数只有一个零点，不合乎题意； ②当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数的极小值为，且， 当时，由零点存在定理可知，使得， 当时，，，所以， 所以， 取，所以，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 此时函数有两个零点； ③当时，，令得或. （i）当时，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数的极大值为， 故当时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （ii）当时，即当时，对任意的，恒成立， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （iii）当时，即当时，列表如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当且时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 所以函数在上至多一个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 题型十一 利用导数研究不等式恒成立问题（共4小题） 63.（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用极小值点的定义求解即可； （2）原不等式可转化为对任意，恒成立，令，则在上单调递减，利用导数求的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 64.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数 (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，求证：恰有个极值点； (3)若，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)e 【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间，结合极值的概念与计算，即可求解； （2）求得，结合，得到方程有两个不同的根，结合极值点的定义，即可求解； （3）根据题意转化为，不等式恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】（1）由函数 ，可得 ， 令 ，可得 ， 则 的关系，如图下表： 2 (-2,1) (1,2) f(-2)= 极大值 f(1)=e f(2)=0 综上可得，函数 ． （2）由函数 ， 可得 ， 因为 ， 所以方程 有两个不同的根，设为 且 ，则有 极小值 极大值 综上可得，函数 恰有个极值点． （3）因为 ，所以 ，不等式 恒成立， 设 ，可得 ， 所以 的关系，如图下表： (-3,-1) (-1,2) 2 h(-3)= 极大值h(-1)=e h(2)= ， ， ， 所以 ，所以实数 的最小值为． 65.（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）通过对函数求导，根据导函数的符号即可判断函数的单调性； （2）设函数，利用求导判断得到，设，求导判断函数单调性得到，故可得，从而得证； （3）先就恒成立，取，结合条件推出，在时，设，通过求导推得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值. 【详解】（1）当时， ，其定义域为，且， 由可得，由可得， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，函数的定义域为， 且， 因，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 即当时，，则，故有. （3）不等式恒成立等价于恒成立， 则，即，又因是整数，则. 当时，设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故， 即在上恒成立， 下证当时，. 证明：设，则，故函数在上单调递增， 则，即. 故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意. 故整数a的最小值为1. 66.（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若是的极大值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性，分类讨论由函数的极值求解参数的取值范围即可； （3）函数不等式恒成立，分离参数求最值，构造函数利用导数分析单调性求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，则，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为. 又，故切点为（1,1）. 故曲线在点处的切线方程为. （2）由题意，得. 的定义域为， ，，所以， 所以. 当时，在区间上，，单调递减， 在区间和上，，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，，单调递减， 在区间和上，，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 题型十二 导数中的隐零点问题（共4小题） 67.（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； （2）由题设在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. 68.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【详解】（1）， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 当当， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，， 故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 （3）由，得， 令，所以， 由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数， 故函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即 所以的取值范围是 69.（24-25高二上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）（方法一）由等价于，得出是极小值点，再由可得答案；（方法二）由等价于，求出．时由不合题意．当时只需可得答案； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【详解】（1）（方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； （2）由（1）可知时，， 记，则， 令，解得：， 当时，时， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以在区间上有唯一零点且， 在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 70.（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 题型十三 导数中的极值点偏移问题（共7小题） 71.（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 72.（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 73.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解； （2）方法一：利用导数求函数的最小值； 方法二：分离参数法，等价于恒成立； 方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立； （3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明； 方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【详解】（1）当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. （2）方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. （3）方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 74.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 75.（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果； （2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨论即可求出结果； （3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不同实根，满足，，两式化简得到，不妨设，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【详解】（1）当时，函数． ， 令，得或 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极大值，在处取得极小值． 极大值为，极小值为． （2）函数的定义域是， ． 当时，令有两个解，或． 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是． 综上，． （3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， 得，令，， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图象如下： ． 即当时，有两个不同实根． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得． 不妨设，要证：， 只需证：， 即证， 设，令， 则， 函数在上单调递增，且． ，即，． 76.（24-25高二下·山东烟台·期末）已知函数． (1)当时，求曲线切线斜率的最小值； (2)若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断； （2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可. 【详解】（1）当时，，． 令，则， 令，解得． 当时，，单减；当时，，单增． 所以，当时，取得极小值也是最小值， 所以，曲线切线斜率的最小值为． （2）（i），则， 若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点． 令． 当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去． 当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值． 令，则，所以时，，单减， 当时，单增，所以存在极小值也是最小值． 所以，对，恒有的极大值． 当时，，的图象在连续不断， 由零点存在定理，存在，使得．当时，， 同理，存在，使得． 所以，对，在上存在两个不同的变号零点． 综上，a的取值范围为． （ii）不妨设，是的两个零点，且， 则，， 两式相减得：，两式相加得：， 于是要证，只需证，只需证， 即证，即证（*）． 事实上，令，，， 所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立． 77.（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出，讨论的取值范围可得的单调性. （2）根据条件可得恒成立，分离参数，构造函数，通过导数求函数的最值可得结果. （3）分析条件可得，通过构造函数、分析函数单调性可证明结论. 【详解】（1）因为，所以. 当时，，所以在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则.令，则在上单调递增. 因为，所以，即. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. ， ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不恒成立. ②当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 因为函数在上单调递增，且， 所以当时，恒成立. （3）设，由（2）得，， 当时，，此时. 因为，，当时，， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根，，且. 由得，， 因为函数在上单调递增，且，所以， 所以，故. 又，所以. 令，则. 要证，只要证，即证. 方法一：要证，即证. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 所以，即成立，故. 方法二：要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，故. $