16.3 角的平分线 课件 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线”，核心内容包括角平分线的性质定理、逆定理及尺规作图。课堂导入通过类比线段垂直平分线的探究脉络，以“轴对称性-性质定理-逆定理-作图”为学习支架，引导学生迁移方法，建立前后知识联系。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合折纸实验让学生直观感知垂线段相等，培养数学眼光（几何直观），通过性质定理的严谨证明发展数学思维（推理能力），尺规作图环节强化几何语言表达（模型意识）。例如从折纸发现PD=PE到推理证明定理，体现从直观到抽象，分层作业与知识结构图帮助学生系统梳理，教师可直接利用完整活动设计提升教学效率。

冀教版八年级数学上册 第十六章 轴对称和中心对称 16.3 角的平分线 前面比较系统地探究了最简单的轴对称图形——线段，通过对线段具有轴对称性的认识，进一步探究了线段的对称轴，通过折一折、猜想、证明猜想得到了线段垂直平分线的性质定理，又通过验证性质定理的逆命题的真假，得到了性质定理的逆定理，最后用尺规作出了线段的垂直平分线及过给定一点的直线的垂线. 这一过程也是对图形探究的常用步骤，那么今天将类比对线段垂直平分线的探究，对角进行研究. 导入新课 3 活动一：一起探究 问题1：角是轴对称图形吗？如果是，怎么验证？对称轴是哪条线？ 可以在一张半透明的纸上画出一个角，将纸对折，使角的两边完全重合，所以角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴. 高效课堂 4 高效课堂 问题2：角与线段都是轴对称图形，那么根据以往经验，接下来可以对角的哪些方面进行探究？ 类比对线段垂直平分线性质定理及逆定理的探究，可以对角平分线上的点进行探索，如果角平分线也有性质定理，再看它的逆命题是否为真命题，再探索用尺规如何画出一个角的平分线. 5 高效课堂 问题3：接下来以角平分线上的点为研究对象，类比线段垂直平分线的性质定理，请通过折纸的方式，尝试寻找两条线段相等，并且两条线段的公共点在角平分线上，同时相等的线段又与角有关. 如图，将画出的∠AOB对折，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；最后将纸展开铺平.如图，PD＝PE. 6 高效课堂 问题4：根据刚才的折纸，PD和PE重合，得到PD＝PE，这组相等线段的长度是受到折痕影响的，请思考，这组相等线段的长度有没有范围？ 当折痕垂直边OB时，PD和PE的长度是最短的，当折痕与OB的交点无限靠右时PD和PE的长度可以无限大，所以这组相等的线段有最小值. 7 高效课堂 通过折纸可以获得很多组相等的线段，其中最特殊的就是当PE⊥OB，PD⊥OA时，垂线段PE＝PD. 8 高效课堂 问题5：如果抛开折纸的辅助，只看图中的角，哪一组线段相等能够用简洁的数学语言描述出来？请尝试用文字表达并用示意图表示出来. 当折痕与OB垂直时，最容易描述，可以描述为角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 问题6：这个结论，对任意角的角平分线都成立吗？请尝试用严谨的推理证明结论，在开始推理之前，先写出已知和求证，并画好示意图. 9 高效课堂 证明：角平分线线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. 10 高效课堂 证明：∵OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1＝∠2(角平分线的概念). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的概念). 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等). 11 高效课堂 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 角平分线性质定理为证明两条线段相等提供了新方法. 12 活动二：做一做 问题： 请类比线段垂直平分线的性质定理及逆定理，解决下面的4个问题. (1)写出角平分线的性质定理的逆命题. (2)根据这个逆命题的内容，画出图形. (3)结合图形，提出对这个逆命题是否正确的猜想. (4)试着验证猜想. 高效课堂 13 高效课堂 逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 如下图.通过量角器测量，能够发现OC平分∠AOB，因此能够猜想角平分线的性质定理的逆命题是真命题. 14 高效课堂 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴OP平分∠AOB. 角平分线性质定理的逆定理为证明角平分线或者角相等提供了新方法. 15 活动三：尺规作图 问题1：用尺规可以作出线段的垂直平分线，用尺规能作出角的平分线吗？ 例 如图，已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 高效课堂 16 再次观察下面的折纸，通过对折可知：OC就是∠AOB的平分线，再沿着折痕折叠，能够知道OD＝OE，PD＝PE. 如果已知OD＝OE，PD＝PE，能推理出OC平分∠AOB吗？ 根据三条边分别相等的两个三角形全等，可以得出△POD≌△POE，进而得到∠POD＝∠POE，OC平分∠AOB. 高效课堂 17 高效课堂 这个活动能为作出角平分线提供什么思路吗？ 可以作到角的两边长度相等的线段，进而确定角平分线上的点. 问题2：能用尺规在∠AOB上作出OD＝OE，PD＝PE，并且平分∠AOB的线OP吗？动手尝试作图. 18 高效课堂 作法：如图. (1)以点O为圆心、适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E. (2)分别以点D和点E为圆心，以适当长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. (3)作射线OC. 射线OC即为所求. 19 高效课堂 问题3：OC平分∠AOB，能说明理由吗？ ∵以O为圆心、适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E， ∴OD＝OE. ∵分别以点D，E为圆心，以适当长为半径画弧，两弧相交于点C， ∴CD＝CE. 连接CD，CE. 20 高效课堂 在△COD和 △COE中， ∴△COD≌△COE(SSS). ∴∠COD＝∠COE(全等三角形的对应角相等) ∴OC平分∠AOB(角平分线的意义). 21 高效课堂 小结： 通过类比线段垂直平分线的探究过程，得到了角平分线的性质定理及其逆定理，并且能够用尺规作出已知角的平分线，这样的探究过程，以后在学习新的特殊图形时还会用到. 22 课堂评价 23 课堂评价 24 1.本节课你学会了什么？ 2.在学习本节知识时你都用到了哪些数学思想？ 课堂总结 25 基础性作业：教材习题第1~3题. 提高性作业：教材习题第4，5题. 拓展性作业：将角的平分线有关知识、数学方法进行梳理，整理成知识结构图. 作业设计 26 感 谢 观 看 $