精品解析：浙江省义乌中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性测试（12月）数学试题

2025学年上学期高二年级第二次阶段性测试 数学试题 命题：王鑫 审校：汪金蕾 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角和在轴上的截距分别为（ ） A. 0，1 B. 不存在，1 C. 不存在， D. ， 2. 与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 11. 已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ） A. 若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B. 若点恰为的垂心，则的周长为 C. 若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D. 若，则点纵坐标的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是__________. 13. 若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______． 14. 已知数列{an}满足，记数列的前项和为，则＝________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求过且与圆相切的直线方程. 16. 已知数列的首项，且满足 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 记，求数列的前项和为． 17. 如图，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为. （1）证明：平面平面； （2）是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 18. 已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和，求证：； （3）若对，恒有成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. （1）设、分别为直线、的斜率，求的值； （2）若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年上学期高二年级第二次阶段性测试 数学试题 命题：王鑫 审校：汪金蕾 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角和在轴上的截距分别为（ ） A. 0，1 B. 不存在，1 C. 不存在， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角和截距的定义求解即可. 【详解】由于直线与轴垂直， 则倾斜角为，在轴上的截距为. 故选：D 2. 与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的焦点，可得椭圆的焦点，再由，结合，求出，从而可求得椭圆方程. 【详解】对双曲线，可得其焦点在轴上，其坐标为. 设椭圆方程为，， 由题意，，所以. 所以椭圆方程为. 故选：B 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D. 4. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 5. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案. 【详解】依题意，直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A 6. 已知抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线相交于点P，Q（点P在第一象限），若，则直线l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出准线，过作准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【详解】设是准线，过作于，过作于，过作于，如图， 则，又，所以， 所以，所以， 所以 直线斜率为. 故选：D. 7. 已知等比数列的前项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案. 【详解】当时，，故，， 当时，，分以下几种情况， 当时，，此时； 当时，，此时， 当时，，此时； 当时，，此时； 故当时，与可正可负，故排除A、C. 当时， ，故， ； 当时，，由于与同号，故， 所以符号随正负变化，故D不正确，B正确； 故选：B 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率. 【详解】 因为，所以∽， 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由 得，所以，即是等边三角形， 所以． 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的加减法则，以为基底可得，可得A错误；由计算可得，可知B正确；分别表示出可得不为零，可得C错误；利用C中结论，分别求出，即可得，即D正确. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得 ， 即，可知A错误； 对于B，由（1）知，所以 ， 所以，即可知B正确； 对于C，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ，即； 所以可得，即D正确. 故选：BD 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（ ） A. 若中点纵坐标为2，则的斜率为2 B. 若点恰为的垂心，则的周长为 C. 若与的倾斜角互补，则的斜率恒为 D. 若，则点纵坐标的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】使用抛物线的性质解题，结合斜率的运算公式可以排除选项A；利用垂心的性质，选项B正确；利用斜率的二级结论，排除选项C；利用，选项D正确。 【详解】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，， 所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误； 对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以， 则，，又由可得，所以， 则，，所以，，则的周长为，B正确； 对于选项C，若与倾斜角互补，则，即， 所以，则，故C错误； 对于选项D，若，由可得，即， 即（，与2互不相等）， 将看作关于的一元二次方程，令，解得， 又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确， 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程求出，写出渐近线方程即可. 【详解】由双曲线，则. 故渐近线方程为. 故答案为：. 13. 若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得． 故答案为：． 14. 已知数列{an}满足，记数列的前项和为，则＝________． 【答案】930 【解析】 【分析】分别令换成得到两个等式相减得到新的规律，分别令换成得到两个式子相加得到新规律，然后根据新规律求和. 【详解】因为，，两式相减，则，即的相邻两个奇数项之和恒为1；又，，两式相加，则，所以 故答案为：930 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求过且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）或； 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，再结合圆的性质建立方程，求解参数，进而得到圆的方程即可. （2）对直线斜率是否存在分类讨论，再结合直线与圆的位置关系求解直线方程即可. 【小问1详解】 设圆心，由圆的性质得， 由得，，解得， 圆心，半径， 圆的方程为. 【小问2详解】 当过的直线斜率不存在时，直线为时， 圆心到直线的距离为，与圆的半径相等， 故直线与圆相切，符合题意； 当过的直线斜率存在时， 设与圆相切的直线为，即， 圆心到直线的距离，解得， 该切线为，即； 综上，过且与圆相切的直线方程为或. 16. 已知数列的首项，且满足 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 记，求数列的前项和为． 【答案】 （1）由，得， 又， 为等差数列，首项为1，公差为2， ， ． （2） 【解析】 【分析】由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到;求出，利用错位相减法可求． 【详解】略 ， ， ， 得， ， ． 【点睛】该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 17. 如图，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为. （1）证明：平面平面； （2）是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，点为的中点，∴， 又，∴，而， ∴≌，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）连接，通过线面垂直的判定定理证明平面，再通过面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）建立空间直角坐标系，根据条件先计算出二面角的余弦值，然后根据两个平面法向量夹角的余弦值和二面角的余弦值的关系，计算出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则， ∴、、、、、， 设平面的法向量，∵，， 又，∴， 设，则，，∴ 设平面法向量，∵，， 又，∴， 设，则，，∴， ∵，∴为锐角，， ∴， 化简得，∴或(舍去)， ∴存在使. 【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤： （1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可） （3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 18. 已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，记数列的前项和，求证：； （3）若对，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 证明：由， 则， 由于在上单调递增，则，即. （3） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而得到，即可求得等比数列的公比为2，进而求得，结合的关系根据题设可得，，进而利用累乘法求解即可； （2）先求得，利用裂项相消法求得，进而根据其单调性求证即可； （3）由题设可得，记，进而结合数列的单调性求解即可. 【小问1详解】 由，，成等差数列，则， 即，则， 设等比数列的公比为，则，又，所以. 又，则时，， 两式相减得，，即，， 又，则，， 显然满足上式，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，，， 由，则，记， 则， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 故，则. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为是上异于的两点. （1）设、分别为直线、的斜率，求的值； （2）若直线和直线相交于点，且点在直线上， （i）证明:直线过定点； （ii）若和的外接圆面积分别为，求的最大值. 【答案】（1）; （2）（i）设，，则 直线的方程为，直线的方程为， 由，消去，整理得：， 则，， ∴ 由，消去，整理得：, 则，， ∴ 所以 直线的方程为， 即 故直线PQ恒过定点. （ii）. 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，表示出，并计算，根据点在椭圆上，化简即可得结果； （2）（i）设，表示出直线、的方程，求出点的坐标，进而表示出直线的方程即可得证； （ii）设和的外接圆半径分别为，根据结合正弦定理得到，根据（i）中求得的的坐标通过代数方法求出 PQ 的最小值即得. 【小问1详解】 由题意可得，． 设，则，，所以． 因为在椭圆上，所以，所以． 故； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知， 令，则， , 当时，取得最小值， 因为，所以. 设和的外接圆半径分别为， 由正弦定理得，所以. . 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $