5.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦正弦、余弦函数的单调性与最值核心知识点，前承函数图象与基本性质，通过问题链引导观察图象抽象单调区间，结合知识梳理表格、例题解析及规律总结，构建从直观到抽象的学习支架，系统讲解单调区间求法、函数值比较及最值求解。 资料以过山车等生活情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题驱动和换元法等策略，发展逻辑推理与数学运算核心素养。课中助力教师分层教学，课后练习题与小结帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

第二课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 课标要求 1.了解正弦函数与余弦函数的单调性（直观想象）. 2.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期变化的规律，会求单调区间（逻辑推理）. 3.会比较三角函数值的大小，会求正弦函数与余弦函数的最值、值域等问题（数学运算）. 　　 情境导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.如图一个过山车的轨道是一条正（余）弦曲线的一部分，其行进方式为从起点爬升、滑落，再爬升，再滑落循环开往终点.人坐在车内，离地面的高度一会增加，一会减少，一会儿到达最高处，一会儿又滑落到最低处，类似这种现象生活中的实例很多，如冲浪运动、无线电波的传输等，为此，我们今天将其抽象为正弦、余弦函数，研究它的单调性及最值问题. 知识点一｜正弦、余弦函数的单调性 问题1　（1）观察正弦（余弦）曲线，研究正弦（余弦）函数的单调性时，我们是否需要画出它们在R上的图象？ 提示：不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来. （2）如图，观察正弦函数图象，描述正弦函数在区间［－，］内的单调性. 提示：正弦函数y＝sin x在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减. （3）根据函数单调性的定义，如何描述整个定义域上的正弦函数的单调性呢？ 提示：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递增；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递减. 【知识梳理】 正弦函数 余弦函数 图象 单调性 增区间 　［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z　 　[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z　 减区间 　［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z　 　[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z　 　　提醒：（1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. 角度1　求正弦、余弦型函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间： （1）y＝cos（＋）； 解：当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间是［4kπ－，4kπ－］（k∈Z）. 当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减， 故函数的单调递减区间是［4kπ－，4kπ＋］（k∈Z）. （2）y＝3sin（－2x）. 解：y＝3sin（－2x）＝－3sin（2x－）， 要求y＝－3sin（2x－）的单调递增区间即求y＝sin（2x－）的单调递减区间， 即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin（－2x）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 要求y＝－3sin（2x－）的单调递减区间即求y＝sin（2x－）的单调递增区间， 即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函数y＝3sin（－2x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 【规律方法】 求正、余弦函数的单调区间的策略 （1）结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； （2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，方法亦如此. 训练1　（1）在区间[0，2π]中，使y＝sin x与y＝cos x都单调递减的区间是（　　） A.［0，］ B.［，π］ C.［π，］ D.［，2π］ 解析：B　在区间[0，2π]中，y＝sin x的减区间是［，］，y＝cos x的减区间是[0，π]；∴y＝sin x和y＝cos x的公共减区间是［，］∩[0，π]＝［，π］，故选B. （2）求函数y＝2cos（2x－）的单调区间. 解：令2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z）， 即2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z）， ∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）. ∴函数的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z）， 即2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z）， ∴kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）， ∴函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. ∴函数y＝2cos（2x－）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z），单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 角度2　利用单调性比较大小 【例2】　比较下列各组数的大小. （1）sin（－）与sin（）； 解：sin（－）＝sin（－6π－）＝sin（－）， sin（）＝sin（16π＋）＝sin. 因为y＝sin x在［－，］上单调递增， 所以sin（－）＜sin， 即sin（－）＜sin. （2）cos 870°与sin 980°. 解：cos 870°＝cos（720°＋150°）＝cos 150°， sin 980°＝sin（720°＋260°）＝sin 260°＝sin（90°＋170°）＝cos 170°. 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y＝cos x在[0°，180°]上单调递减， 所以cos 150°＞cos 170°， 即cos 870°＞sin 980°. 【规律方法】 比较三角函数值大小的方法 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较； （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上. 训练2　三个数cos，sin，sin的大小关系是cos＜sin＜sin. 解析：cos＝sin（－），sin＝sin（π－）.因为－≈0.07，＝0.1，π－≈1.39，所以＞π－＞＞－＞0.又因为y＝sin x在（0，）上单调递增，所以cos＜sin＜sin. 知识点二｜正弦、余弦函数的最值（值域） 问题2　（1）观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 提示：正弦、余弦函数存在最大值和最小值，它们的最大值和最小值都分别是1和－1. （2）当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sin x，x∈R取得最大值1和最小值－1？ 提示：对于正弦函数y＝sin x，x∈R，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1. 【知识梳理】 正弦函数 余弦函数 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z 【例3】　（1）函数f（x）＝－cos（x＋），x∈［－，］的值域为（　　） A.［－，］　　　　B.［－，］ C.［－1，］ D.［－，1］ （2）函数f（x）＝sin 3x在[0，x0）上没有最小值，则x0的取值范围是（　　） A.（0，）　B.（0，） C.（，］　D.（，） 答案：（1）C　（2）C 解析：（1）因为x∈［－，］，所以x＋∈［－，］，则cos（x＋）∈［－，1］，故f（x）的值域为［－1，］.故选C. （2）函数f（x）＝sin 3x中，当x∈[0，x0）时，3x∈[0，3x0），由f（x）＝sin 3x在[0，x0）上没有最小值，得π＜3x0≤，解得＜x0≤，所以x0的取值范围是（，］，故选C. 【规律方法】 三角函数最值问题的求解方法 （1）y＝asin x（或y＝acos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a进行正负的讨论； （2）y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b）型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin（ωx＋φ）（或cos（ωx＋φ））的范围，最后求得最值. 训练3　函数y＝2cos（2x＋），x∈［－，］的值域为　[－1，2] 解析：因为x∈［－，］，所以2x＋∈［－，］，所以cos（2x＋）∈［－，1］，所以函数的值域为[－1，2]. 1.函数y＝－cos x在区间［－，］上（　　） A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.先增后减 解析：C　因为y＝cos x在区间［－，］上先增后减，所以y＝－cos x在区间［－，］上先减后增. 2.设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则（　　） A.a＞c＞b B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：A　b＝sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，c＝cos＝cos＝cos＝cos.因为y＝cos x在上单调递减，且0＜＜＜＜，所以cos＞cos＞cos，即a＞c＞b. 3.函数y＝3－4cos（2x＋）的最大值为7，此时自变量的取值集合为{x｜x＝＋kπ，k∈Z}. 解析：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f（x）max＝3＋4＝7. 4.函数y＝2sin（2x－）在区间[0，a]上的值域为[－，2]，求实数a的取值范围. 解：当x＝0时，y＝2sin（2x－）＝－， 由x∈[0，a]，可得2x－∈［－，2a－］，函数y＝2sin（2x－）在区间[0，a]上的值域为[－，2]， 根据正弦函数的图象知，≤2a－≤，解得≤a≤， 所以实数a的取值范围是［，］. 课堂小结 1.理清单 （1）正弦、余弦函数的单调区间； （2）比较三角函数值的大小； （3）正弦、余弦函数的最值（值域）. 2.应体会 确定函数的单调区间注意整体代换、运用换元法求函数最值. 3.避易错 单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围. 1.y＝2sin（3x＋）的值域是（　　） A.[－2，2] B.[0，2] C.[－2，0] D.[－1，1] 解析：A　因为sin（3x＋）∈[－1，1]，所以y∈[－2，2]. 2.下列命题中正确的是（　　） A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减 B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增 C.y＝cos x在［－，］上单调递减 D.y＝sin x在［－，］上单调递增 解析：D　对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z，故B错误，D正确. 3.已知函数f（x）＝sin（x＋）在x0处取得最大值，则x0可能为（　　） A. B. C. D. 解析：C　当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值. 4.函数y＝2sin（x－），x∈[－π，0]的单调递增区间为（　　） A.［－π，－］ B.［－，－］ C.［－，0］ D.［－，0］ 解析：D　法一　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为［－，0］. 法二　当x＝时，函数y＝2sin（x－），x∈R取得最大值，且易知最小正周期为2π，则函数y＝2sin（x－）的一个单调递增区间为［－π，］，即［－，］.所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为［－，0］. 5.〔多选〕对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（　　） A.f（x）在（，）上单调递减 B.f（x）的图象关于原点对称 C.f（x）的最小正周期为2π D.f（x）的最大值为2 解析：AB　因为函数y＝sin x在（，π）上单调递减，所以f（x）＝sin 2x在（，）上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误. 6.〔多选〕下列各式正确的是（　　） A.sin＜sin B.sin（－）＜sin（－） C.cos（－）＞cos（－） D.cos（－）＞cos 解析：ACD　由诱导公式可得sin＝sin（6π＋）＝sin，sin＝sin（6π＋）＝sin＝sin，因为正弦函数y＝sin x在（0，）上单调递增，且0＜＜＜，所以sin＜sin，即sin＜sin，A正确；因为y＝sin x在（－，0）上单调递增，且0＞－＞－＞－，所以sin（－）＞sin（－），B错误；cos（－π）＝cos（－4π－）＝cos（－）＝cos，cos（－π）＝cos（－4π－）＝cos（－）＝cos，因为y＝cos x在（0，π）上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos（－π）＞cos（－π），C正确；因为cos（－）＝cos，cos＝cos（2π－）＝cos（－）＝cos，0＜＜＜，且函数y＝cos x在（0，）上单调递减，所以cos＞cos，所以cos（－）＞cos，D正确.故选A、C、D. 7.若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是[0，2]. 解析：因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，需有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2. 8.函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为[0，2]. 解析：∵y＝｜sin x｜＋sin x＝又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]. 9.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是（－π，0]. 解析：∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有当－π＜a≤0时，满足条件.故a的取值范围是（－π，0]. 10.求函数y＝3－4cos（2x＋），x∈［－，］的最大值、最小值及相应的x的值. 解：因为x∈［－，］，所以2x＋∈［－，］， 从而－≤cos（2x＋）≤1. 所以当cos（2x＋）＝1，即2x＋＝0，x＝－时， ymin＝3－4＝－1. 当cos（2x＋）＝－，即2x＋＝，x＝时， ymax＝3－4×（－）＝5. 综上所述，当x＝－时，ymin＝－1； 当x＝时，ymax＝5. 11.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为［－1，］，则b－a的最大值和最小值之和等于（　　） A. B. C.2π D.4π 解析：C　如图，当定义域为[a1，b]时，值域为［－1，］，且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为［－1，］，且b－a最小.∴最大值与最小值之和为（b－a1）＋（b－a2）＝2b－（a1＋a2）＝2×＋＋＝2π. 12.已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－，）时，f（x）＝x＋sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（　　） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 解析：D　由已知得，函数f（x）在（－，）上单调递增.因为π－2∈（－，），π－3∈（－，），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D. 13.函数f（x）＝的单调递减区间是［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. 解析：函数f（x）＝，则sin（2x－）≥0，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.又由正弦函数的性质可得2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.由可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f（x）＝的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. 14.设函数f（x）＝sin（2x－），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间［，］上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：（1）最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数f（x）的单调递增区间是［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，所以当t＝，即x＝时，f（x）min＝×（－）＝－1，当t＝，即x＝时，f（x）max＝×1＝. 15.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（sin α）＞f（cos β）. 证明：由f（x＋1）＝－f（x）， 得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x）， 所以函数f（x）是周期函数，且2是它的一个周期. 因为函数f（x）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增. 又α，β是锐角三角形的两个内角， 则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0， 因为y＝sin x在［0，］上单调递增， 所以sin α＞sin（－β）＝cos β， 且sin α∈（0，1），cos β∈（0，1）， 所以f（sin α）＞f（cos β）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $