22-5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-课后达标 检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用Word(人教A版)

本讲义聚焦高中数学函数的单调性、值域、周期性、最值及不等式比较等核心知识点，从基础性质（如函数单调区间、值域求解）到综合应用（含参数函数最值、周期性问题），再到素养拓展（新定义函数分析），构建由易到难的递进学习支架。 资料采用分层检测设计（基础达标、能力提升、素养拓展），题型多样（选择含多选、填空、解答），通过具体问题（如比较三角函数值、求含参函数最值）培养数学眼光（抽象函数属性）和数学思维（逻辑推理），课中助教师检测学情，课后辅助学生查漏补缺，强化核心素养。

课后达标 检测 A 基础达标 1．函数，的值域是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为，则，故. 2．函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】选.因为，且 的单调递增区间为，，所以函数 的单调递减区间为，. 3．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为 的值域为，所以函数 的最大值，最小值,故. 4．设函数，若对任意的实数都成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由 对任意的实数 都成立，得 在 处取得最大值，则 ，,解得，，所以 的最小值是. 5．已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】选.因为函数 的最小正周期为，所以，解得，所以，当 时，，由正弦函数的图象和性质可知当，即 时，取最小值，故 的最小值为. 6．（多选）下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.在 上单调递增，又, 所以,故 不成立； 在 上单调递减，又 ，所以,故 成立； 在，上单调递减， 又,所以,故 不成立； , . 因为,且 在 上单调递增，所以,所以, 即,故 成立. 7．函数在区间上单调递增,则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为 在 上单调递增,在 上单调递减,所以当 时,满足条件.故 的取值范围是. 8．函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】令，可得，则，． 由于 在 上单调递增，在 上单调递减，则，， 故函数 的值域为． 9．设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，所以， 依题意可得，解得， 所以 的最小值为. 10．（13分）已知函数. （1） 求函数的单调递增区间；（6分） （2） 当时，求的值域.（7分） 【答案】 （1） 解：由， 得， 所以函数 的单调递增区间是 . （2） 由， 可得， 从而， 所以， 所以当 时，的值域为. B 能力提升 11．已知函数在，上单调递增，在，上单调递减，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由 在，上单调递增，且，，得，解得，即；在，上单调递减，且，，只需，解得，综上， 的取值范围为. 12．（多选）已知函数，则（ ） A. 函数的最大值为3 B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】选 选项，当 时，，当 时，，又函数 的一个周期为 ，可得函数 的最大值为3，故 正确； 选项，由 的定义域为，关于原点对称，且，知 为偶函数，故 正确； 选项，，故函数 的图象关于直线 对称，故 正确； 选项，由 选项得，当 时，不单调，故 错误. 13．（15分）已知函数的最大值为，最小值为,. （1） 求，的值；（4分） （2） 求函数的最小值，并求出对应的的值；（5分） （3） 求函数的单调递增区间.（6分） 【答案】 （1） 解：因为函数 的最大值为，最小值为，所以 解得 （2） 由（1）知 ， 当 ，，即 ，时，取得最小值， 所以 的最小值为，对应的 的值为. （3） 令 ，，解得 ，， 故函数 的单调递增区间为，. 14．（15分）已知函数，. （1） 求函数的最大值；（7分） （2） 求函数的最小值.（8分） 【答案】 （1） 解：依题意，函数，，令，则函数为，，当对称轴 时， 函数 在 上单调递减，所以最大值在 处取到，； 当对称轴 时， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以最大值在 处取到，； 当对称轴 时， 函数 在 上单调递增，所以最大值在 处取到，. 综上， （2） 作出 的大致图象，如图所示， 当 时，函数 单调递减，最小值； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 最小值； 当 时，函数 单调递增，最小值. 综上所述，的最小值为， 此时. C 素养拓展 15．定义函数给出下列四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以 为最小正周期的周期函数； ④当且仅当时，. 上述命题中正确的序号是_ _ _ _ . 【答案】④ 【解析】因为 对于③，当 时，， 当 时，，所以函数 为周期函数， 作出函数 的图象（图中实线）如图所示： 由图可知，函数 的最小正周期为 ，③错误； 对于①，由图可知，函数 的值域为，①错误； 对于②，由图可知，当且仅当 或 时，函数 取得最大值1，②错误； 对于④，由图可知，当且仅当 时，，④正确. 学科网（北京）股份有限公司 $