3.1.2 第2课时 分段函数（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第二课时　分段函数 课标要求 1.了解分段函数的概念（数学抽象）. 2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象并能应用（数学运算、直观想象）. 3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题（数学建模）. 情境导入 　　某地区的电费依据不同的时间段来收取，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些.反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用.生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等.这些都与我们今天要研究的分段函数有关. 知识点一｜分段函数 问题1　某市公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5千米以内，票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）有11个汽车站. （1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y有函数关系吗？ 提示：有函数关系. （2）函数的表达式是什么？ 提示：y＝ （3）上述函数是两个函数吗？ 提示：是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 【知识梳理】 1.定义：函数y＝f（x）在定义域内不同部分上，有不同的　解析式　，像这样的函数称为分段函数. 2.本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的　对应关系　. 【例1】　已知函数f（x）＝ （1）求f（－2），f（3），f（f（－））； 解：由－2∈（－∞，－1]，3∈[1，＋∞），－∈（－1，1），知f（－2）＝4＋1＝5， f（3）＝，f（－）＝3×（－）＋5＝， f（f（－））＝f（）＝. （2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围. 解：①当x≤－1时，x2＋1＞3，解得x＜－或x＞， 又x≤－1，所以x＜－； ②当－1＜x＜1时，3x＋5＞3得x＞－， 又－1＜x＜1，所以－＜x＜1； ③当x≥1时，＞3，得x＜， 又x≥1，所以x∈⌀， 综上x的取值范围是（－∞，－）∪. 变式　本例条件不变，若f（a）＝4，求实数a的值. 解：当a≤－1时，f（a）＝a2＋1＝4，a＝－或a＝（舍）， 当－1＜a＜1时，f（a）＝3a＋5＝4，a＝－，符合题意. a≥1时，f（a）＝＝4，a＝，不符合题意，舍去. 综上当f（a）＝4时，a的值为－或－. 【规律方法】 1.分段函数求函数值的方法 （1）确定要求值的自变量属于哪一段区间； （2）代入该段的解析式求值，当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知函数值求参数取值的步骤 （1）先对参数的取值范围分类讨论； （2）然后代入不同的解析式中； （3）通过解方程求出参数的值； （4）检验所求的值是否在所讨论的区间内. 训练1　已知函数f（x）＝ （1）求f（f（））的值； 解：因为f（）＝｜－1｜－2＝－， 所以f（f（））＝f（－）＝＝. （2）若f（a）＝，求a的值. 解：f（a）＝，若｜a｜≤1，则｜a－1｜－2＝， 得a＝或a＝－. 因为｜a｜≤1，所以a的值不存在； 若｜a｜＞1，则＝，得a＝±，符合｜a｜＞1. 所以若f（a）＝，则a的值为±. 知识点二｜分段函数的图象及应用 问题2　如图所示的函数图象，你能写出该函数的解析式吗？函数的定义域和值域呢？ 提示：由于f（x）的图象由两条线段组成，因此可设f（x）＝ 将点（－1，0），（0，1）代入f（x）＝ax＋b， 点（1，－1）代入f（x）＝cx可得f（x）＝ 由图可知函数f（x）的定义域为[－1，1]，值域为[－1，1）. 【例2】　已知函数f（x）＝－x2＋2，g（x）＝x，令φ（x）＝min{f（x），g（x）}（即f（x）和g（x）中的最小者）. （1）分别用图象和解析式表示φ（x）； 解：在同一个坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数φ（x）的定义，可得函数φ（x）的图象如图2. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图2，得出φ（x）的解析式为 φ（x）＝ （2）求函数φ（x）的定义域和值域. 解：由图2知，φ（x）的定义域为R，φ（1）＝1，　 ∴φ（x）的值域为（－∞，1]. 【规律方法】 分段函数图象的画法 （1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏； （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 训练2　已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）. （1）用分段函数的形式表示函数f（x）； 解：当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x. 所以f（x）＝ （2）画出函数f（x）的图象. 解：函数f（x）的图象如图所示. 知识点三｜分段函数在实际问题中的应用 【例3】　《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元. （1）请写出y关于x的函数关系式； 解：由题意，得y＝ （2）有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 解：∵该职工八月份缴纳了54元的税款， ∴5 000＜x≤8 000，（x－5 000）×3%＝54， 解得x＝6 800. 故这名职工八月份的工资是6 800元. 【规律方法】 分段函数的实际应用 （1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 训练3　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）关于用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解决下列问题. （1）求y关于x的函数关系式； 解：当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx（k≠0）. 将x＝100，y＝65代入， 得k＝0.65，所以y＝0.65x. 当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）. 将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入， 得解得 所以y＝0.8x－15. 综上可得，y＝ （2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准； 解：由（1）知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元. （3）若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？ 解：当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3（元）； 当y＝105时， 因为0.65×100＝65＜105，故x＞100， 所以105＝0.8x－15，解得x＝150. 即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电. 1.已知函数f（x）＝则f（5）的值是（　　） A.3 B.7 C.10 D.9 解析：C　∵5≥4，∴f（5）＝5＋5＝10. 2.函数y＝｜x－1｜的图象是（　　） 解析：B　函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B. 3.函数y＝f（x）的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f（x）的定义域、值域分别是（　　） A.[－5，0]∪[2，6），[0，5] B.[－5，6），[0，＋∞） C.[－5，0]∪[2，6），[0，＋∞） D.[－5，＋∞），[2，5] 解析：C　由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5，0]∪[2，6），值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞）. 4.已知函数f（x）＝若f（x0）＝5，则x0＝－2. 解析：若x0≤0，可得＋1＝5，解得x0＝－2或x0＝2（舍去）；若x0＞0，可得－2x0＝5，解得x0＝－，与x0＞0矛盾，故舍去.综上可得x0＝－2. 课堂小结 1.理清单 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的求值； （3）分段函数的图象及应用； （4）分段函数的实际应用. 2.应体会 分段函数的求值及在实际问题中的应用用到分类讨论思想，分段函数的图象及应用运用数形结合思想. 3.避易错 （1）作分段函数图象时要注意衔接点的虚实； （2）求分段函数的函数值（或已知函数值求参数的值）时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式； （3）误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集. 1.著名的Dirichlet函数D（x）＝则D（D（x））＝（　　） A.0　　　　　　　　　 B.1 C. D. 解析：B　∵D（x）∈{0，1}，∴D（x）为有理数，∴D（D（x））＝1. 2.已知函数f（x）＝则函数y＝f（x）的图象是（　　） 解析：A　当x＝－1时，y＝0，即图象过点（－1，0），故D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点（0，1），故C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点（1，2），故B错.故选A. 3.已知函数f（x）＝若f（x）＝1，则x＝（　　） A.1或－5 B.－1或－5 C.－1或5 D.1或5 解析：A　当x≥－1时，由3－2x＝1，得x＝1；当x＜－1时，由x＋6＝1，得x＝－5；综上，x＝1或x＝－5. 4.已知函数f（x）＝若f（m）＋f（1）＝0，则实数m＝（　　） A.－6 B.－4 C.6 D.4 解析：A　∵f（m）＋f（1）＝0，∴f（m）＝－f（1）＝－4，当m＞0时，4m＝－4，∴m＝－1（舍去），当m≤0时，m＋2＝－4，∴m＝－6. 5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为（　　） A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 解析：A　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 6.〔多选〕函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝－｜x｜＋1 D.f（x）＝｜x＋1｜ 解析：AC　通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C. 7.〔多选〕已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为（－∞，4） C.f（1）＝3 D.若f（x）＝3，则x的值是 解析：BD　由题意知函数f（x）的定义域为（－∞，2），故A错误；当x≤－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1]，当－1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（－∞，4），故B正确；当x＝1时，f（1）＝12＝1，故C错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1（舍去），当－1＜x＜2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－（舍去），故D正确. 8.函数y＝的值域是{y｜0≤y≤2或y＝3}. 解析：值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3}. 9.某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km（含3 km），3 km后到10 km（含10 km）每多走1 km（不足1 km按1 km计）加价0.5元，10 km后每多走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了13 km，他应交费　　　　元. 答案：11.9 解析：结合已知条件可知，某人坐出租车走了13 km应交费6＋（10－3）×0.5＋（13－10）×0.8＝11.9（元）.　 10.某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/（kW·h）计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（kW·h）计费. （1）设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式； （2）小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 月份 1 2 3 合计 计费金额/元 114 75 45.6 234.6 问：小赵家第一季度共用电多少？ 解：（1）当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x； 当x＞100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×（x－100）＝1.5x－93. 所以y＝ （2）由（1）可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100 kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h. 因此用电量应使用函数的不同关系式来计算. 因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算， 有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h. 因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h. 11.已知f（x）＝则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　） A.{x｜x≤1} B.{x｜x≤2} C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜x＜0} 解析：A　因为当x≥0时，f（x）＝1，所以xf（x）＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；因为当x＜0时，f（x）＝0，所以xf（x）＋x≤2⇔x≤2，所以x＜0.综上，x≤1. 12.设函数f（x）＝若f（f（））＝4，则b＝（　　） A. B. C. D.1 解析：A　由题可知f（）＝3×－b＝－b，①⇒则b∈⌀， ②⇒⇒b＝，综上可知，b＝. 13.〔多选〕设x∈R，定义符号函数sgn x＝则下列各式不正确的是（　　） A.x＝－x｜sgn x｜ B.x＝－xsgn｜x｜ C.｜x｜＝｜x｜sgn x D.｜x｜＝xsgn x 解析：ABC　对于选项A，右边＝－x｜sgn x｜＝而左边＝x，显然不正确；对于选项B，右边＝－xsgn｜x｜＝而左边＝x，显然不正确；对于选项C，右边＝｜x｜sgn x＝＝x，x∈R，而左边＝｜x｜＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝｜x｜＝显然正确. 14.已知函数f（x）＝的值域为R，求实数a的取值范围. 解：当x≥4时，f（x）＝＋2≥4. 因为函数f（x）＝的值域为R， 所以当x＜4时，f（x）＝（3－a）x＋5a满足解得－8≤a＜3. 故实数a的取值范围是[－8，3）. 15.设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如当x＝3.14时，[x]＝[3.14]＝3；当x＝－3.14时，[x]＝[－3.14]＝－4.于是，我们把y＝[x]叫做取整函数.请画出取整函数y＝[x]的图象. 解：依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是Z.它的图象如图. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $