3.1.2 第1课时 函数的表示法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第一课时　函数的表示法 课标要求 1.掌握函数的三种表示方法（数学抽象、数学运算）. 2.掌握函数图象的作法和应用（直观想象）. 3.会求函数的解析式（数学运算）. 情境导入 　　本章第一节学习函数概念时列举了以下三个函数： 　　（1）某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后匀速运行了半小时，此时列车行进的路程s与时间t的关系可以表示为s＝350t（0≤t≤0.5）（解析式表示）； 　　（2）某市某日的空气质量指数I与这一天内任意一时刻t h的关系可用一条曲线表示（图象表示）； 　　（3）国际上反映人民生活质量高低的通用标准：恩格尔系数，该函数是以列表形式给出了年份与对应恩格尔系数的值（列表表示）； 　　以上三种表示方法就是今天要学习的函数的表示法：解析法、图象法、列表法. 知识点一｜函数的表示方法 问题1　已建成的京沪高速铁路总长约1 317千米，设计速度目标值为380千米/时.若火车速度按300千米/时计算，行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x，x∈[0，4.39]叫做该函数的解析式. （1）上述函数的表示方法是什么？ 提示：解析法. （2）还有其他形式的函数表示法吗？ 提示：图象法、列表法. 【知识梳理】 【例1】　购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出这个函数的值域. 解：（1）解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}，值域y∈{2，4，6，8}. （2）列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 （3）图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示. 【规律方法】 理解函数表示法的三个关注点 （1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义； （2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数； （3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 训练1　某答题游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系y＝f（x）. 解：（1）用列表法可将函数y＝f（x）表示为 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 （2）用图象法可将函数y＝f（x）表示为 （3）用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}. 知识点二｜函数的图象 问题2　y＝x＋2与y＝x＋2，x∈[2，＋∞），以及y＝x＋2，x∈2，3，的图象一样吗？为什么？ 提示：不一样，y＝x＋2的图象是一条直线；y＝x＋2，x∈[2，＋∞）是一条射线；y＝x＋2，x∈{1，2，3，4}是四个点；图象不同的原因是定义域不同. 【知识梳理】 描点法作图的步骤： （1）明确函数的　定义域　； （2）化简函数　解析式　； （3）列表； （4）描点； （5）根据实际情况选择是否　连线　. 【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域. （1）y＝－x，x∈{0，1，－2，3}； 解：列表 x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象是四个点（0，0），（1，－1），（－2，2），（3，－3），其值域为{0，－1，2，－3}. （2）y＝，x∈[2，＋∞）； 解：列表 x 2 3 4 5 … y 1 … 画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为（0，1]. （3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2）. 解：列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分. 由图可得函数的值域为[－1，8）. 【规律方法】 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 　　提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 训练2　作出下列函数的图象： （1）y＝1－x（x∈Z）； （2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]. 解：（1）因为x∈Z，描点（－3，4），（－2，3），（－1，2），（0，1），（1，0），…， 所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示. （2）y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，用平滑曲线连接得其图象如图2所示. 提能点｜求函数的解析式 角度1　待定系数法求函数解析式 【例3】　已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）. 解：设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴∴或 ∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋. 【规律方法】 待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可根据题意设出f（x）的解析式（含待定的系数），再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式. 角度2　换元法（配凑法）求函数解析式 【例4】　求下列函数的解析式： （1）已知f（＋1）＝x＋2，求f（x）； 解：法一（换元法）　令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1， 所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1. 因为＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. （2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）. 解：f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1， 所以f（x）＝2x－1. 【规律方法】 已知f（g（x））＝h（x）求f（x）常用的两种方法 （1）换元法，即令t＝g（x）解出x，代入h（x）中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围； （2）配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 角度3　方程组法（消元法）求函数解析式 【例5】　已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f（x）. 解：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－x）－2f（x）＝1－2x， 联立可得 消去f（－x）可得f（x）＝x－1. 【规律方法】 　　方程组法（消元法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数（f（x），f（）），互为相反数（f（－x），f（x））的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可.在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可. 训练3　（1）已知函数f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）； 解：法一（换元法）　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1， ∴f（x）＝3x－1. 法二（配凑法）　f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1， ∴f（x）＝3x－1. （2）已知f（x）＋2f（）＝x（x≠0），求f（x）. 解：∵f（x）＋2f（）＝x， 用代替x得f（）＋2f（x）＝， 消去f（）得f（x）＝－（x≠0）， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－（x≠0）. 1.由下表给出的函数y＝f（x），则f（f（1））＝（　　） x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B.2 C.4 D.5 解析：B　由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4）＝2.故选B. 2.已知函数f（1－x）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　） A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝－3x＋1 C.f（x）＝3x＋2 D.f（x）＝－3x＋5 解析：D　令1－x＝t，则x＝1－t，∴f（t）＝3（1－t）＋2＝－3t＋5.∴f（x）＝－3x＋5. 3.已知f（x）的图象恒过点（1，－1），则函数f（x－3）的图象恒过点（　　） A.（－2，－1） B.（4，－1） C.（1，－4） D.（1，－2） 解析：B　因为f（x）的图象恒过点（1，－1），所以当x－3＝1时，f（x－3）＝－1，即函数f（x－3）的图象恒过点（4，－1）. 4.如果一次函数f（x）的图象过点（1，0）及点（0，1），则f（3）＝－2. 解析：设一次函数的解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），因为其图象过点（1，0），（0，1），所以解得k＝－1，b＝1，所以f（x）＝－x＋1，所以f（3）＝－3＋1＝－2. 课堂小结 1.理清单 （1）函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法； （2）求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法（方程组法）； （3）函数图象的作法. 2.应体会 （1）明确函数类型用待定系数法； （2）求解自变量具有对称规律的函数表达式用到函数与方程思想. 3.避易错 （1）求函数解析式时标注函数的定义域； （2）画函数图象时易忽略定义域，同时要注意是连续曲线还是离散的点. 1.如果f（）＝，则当x≠0，1时，f（x）＝（　　） A. B. C. D.－1 解析：B　令＝t，则x＝，代入f（）＝，则有f（t）＝＝，则f（x）＝，x≠0，1. 2.若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，则f（x）＝（　　） A.3x＋2 B.2x－3 C.2x＋3 D.3x－2 解析：D　设f（x）＝ax＋b（a≠0），由题设有解得所以f（x）＝3x－2. 3.某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一（1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v（单位：m/s）关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能的是（　　） 解析：C　甲在接棒前要进行助跑，接棒后要进行快跑加速，达到最大速度后需要保持匀速到送出棒，之后减速直到送出棒给下一位同学.所以，函数图象先上升，再水平，最后下降. 4.若f（x）对于任意实数x恒有3f（x）－2 f（－x）＝5x＋1，则f（x）＝（　　） A.x＋1 B.x－1 C.2x＋1 D.－3x－1 解析：A　3f（x）－2f（－x）＝5x＋1，所以3f（－x）－2f（x）＝－5x＋1，解得f（x）＝x＋1. 5.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（f（2））＝（　　） A.49 B.92 C.82 D.104 解析：B　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（2）＝8－2＋1＝7，所以f（f（2））＝f（7）＝2×49－7＋1＝92. 6.〔多选〕已知f（2x－1）＝4x2，则下列结论正确的是（　　） A.f（3）＝9 B.f（x）＝x2 C.f（－3）＝4 D.f（x）＝（x＋1）2 解析：CD　令t＝2x－1，则x＝，∴f（t）＝4＝（t＋1）2.∴f（3）＝16，f（－3）＝4，f（x）＝（x＋1）2. 7.〔多选〕矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，则下列正确的是（　　） A.l＝2x＋（x＞0） B.y＝（x＞0） C.l＝2（d＞0） D.d＝（x＞0） 解析：ABD　对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝，所以矩形的周长为l＝2x＋（x＞0），所以A正确；对于B，由选项A，可知y＝（x＞0），所以B正确；对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，（x＋y）2＝d2＋20，因为x＋y＞0，所以x＋y＝，所以矩形的周长为l＝2（d≥2），所以C错误；对于D，由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋，因为d＞0，所以d＝（x＞0），所以D正确，故选A、B、D. 8.已知f（x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝－. 解析：令x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f（m）＝2（2m＋2）＋3＝4m＋7，因为f（t）＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－. 9.已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且F（）＝16，F（1）＝8，则F（x）的解析式为F（x）＝3x＋. 解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝（m≠0），则F（x）＝kx＋.由F（）＝16，F（1）＝8，得解得所以F（x）＝3x＋. 10.画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝－4x＋5； （3）y＝x2－6x＋7. 解：（1）反比例函数y＝的图象如图1所示，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. （2）一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R. （3）二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞）. 11.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），若f（1）＝－2，则f（3）＝（　　） A.－6 B.－4 C.－2 D.0 解析：A　由题意得，f（3）＝f（1）＋f（2）＝3f（1）＝－6. 12.如图，平面图形中阴影部分的面积S是关于h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（　　） 解析：D　由平面图形，可知S随着h的增加而减少，并且减少的趋势在减小，当h＝时，阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，故选D. 13.已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，则f（5）＝22. 解析：因为函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝10，解得t＝2，所以f（x）＝4x＋2，所以f（5）＝4×5＋2＝22. 14.已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式. 解：由f（x）＝x，得＝x，即ax2＋（b－1）x＝0. ∵方程f（x）＝x有唯一解， ∴Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1. ∵f（2）＝1，∴＝1.∴a＝. ∴f（x）＝＝. 15.已知函数f（x）对任意实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b）成立. （1）求f（0）与f（1）的值； （2）求证：f（）＝－f（x）； （3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值. 解：（1）令a＝b＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），解得f（0）＝0； 令a＝1，b＝0，得f（0）＝f（1）＋f（0），解得f（1）＝0. （2）证明：令a＝，b＝x， 得f（1）＝f（）＋f（x）＝0， ∴f（）＝－f（x）. （3）令a＝b＝2，得f（4）＝f（2）＋f（2）＝2p， 令a＝b＝3，得f（9）＝f（3）＋f（3）＝2q. 令a＝4，b＝9，得f（36）＝f（4）＋f（9）＝2p＋2q. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $