第1章 章末整合提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

一、集合的基本概念 　　理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法，元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 【例1】　（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　C　） A.1 B.3 C.5 D.9 解析：①当x＝0，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. （2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为（　A　） A.－2 B.2 C.2或4 D.4 解析：由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 【反思感悟】 解决集合的概念问题应关注两点 （1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么； （2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 二、集合的基本关系 　　能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）. 【例2】　（1）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，则下列关系正确的是（　C　） A.A＝B B.A⊆B C.B⊆A D.A∩B＝⌀ 解析：由集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，得B＝{－1，0，1}，所以B⊆A.故选C. （2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　C　） A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4} C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4} 解析：在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4. 【反思感悟】 处理集合间关系问题的关键点 （1）判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素； （2）利用集合间的关系求参数的取值范围时要注意数形结合与分类讨论思想的活用. 三、集合的基本运算（考教衔接） 　　集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 教材原题　（链接教材P14习题2题）设A＝{x｜x是小于9的正整数}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}.求A∩B，A∩C，A∩（B∪C），A∪（B∩C）. 【例3】　（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　） A.{－1，0}　　　　　B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 解析：A　法一　因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. 变式1　已知全集U＝Z，集合A＝{x｜－5＜x3＜5，x∈Z}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则（∁UA）∩B＝（　　） A.{－1，0} B.{－3，2，3} C.{－3，2} D.{－1，0，3} 解析：B　易知A＝{－1，0，1}，所以∁UA＝{…，－3，－2，2，3，…}，故（∁UA）∩B＝{－3，2，3}.故选B. 变式2　已知集合A＝{x｜x＝n－1，n∈N}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则（　　） A.A∪B＝A B.A∩B＝{－1，0，2，3} C.A⊆B D.B⊆A 解析：B　因为A＝{－1，0，1，2，3，…}，所以A∩B＝{－1，0，2，3}.故选B. 变式3　已知集合A＝{x｜2m≤x≤m＋1}，B＝{－3，－1，0，2，3}，若A∩B＝{－1}，则实数m的取值范围为{m｜－＜m＜－1}. 解析：由题意知，解得－＜m＜－1，故实数m的取值范围为{m｜－＜m＜－1}. 变式4　已知集合A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，B＝{x｜－3＜x＜3}，若A∪B＝B，则实数m的取值范围为　　. 答案：{m｜m≥－} 解析：∵B＝{x｜－3＜x＜3}，A＝{x｜2m＜x＜m＋1}，由A∪B＝B，得A⊆B.①当A＝⌀时，满足A⊆B，此时2m≥m＋1，即m≥1；②当A≠⌀时，∵A⊆B，则即－≤m＜1.综上，m的取值范围为{m｜m≥－}. 【反思感悟】 求解集合基本运算的方法步骤 四、充分条件与必要条件 　　若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 【例4】　（1）设a∈R，则“a2＝a”成立的一个　　条件是“a＝1”（　A　） A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解析：问题可转化为“a＝1”是“a2＝a”的什么条件？由a＝1可得a2＝a，但a2＝a得到的却是a＝1或a＝0，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件.故选A. （2）若“x＞a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是{a｜a≥3}. 解析：∵“x＞a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件，∴{x｜x＞a}⫋{x｜x≤2或x≥3}，∴a≥3. 【反思感悟】 充分、必要、充要条件的常用判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. 五、全称量词与存在量词 1.含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，只对结论进行否定，还要注意更改量词. 2.判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断. 【例5】　〔多选〕下列命题的否定正确的是（　　） A.命题p：∀x∈R，x＞0，p的否定：∃x∈R，x≤0 B.命题p：∃x∈R，x2≤－1，p的否定：∃x∈R，x2＞－1 C.命题p：∃x，y∈N*，2x＋6y≥10，p的否定：∀x，y∈N*，2x＋6y＜10 D.命题p：∀x∈R，x2＋1≠0，p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 解析：ACD　对于B，p的否定：∀x∈R，x2＞－1，B错误.A、C、D正确. 【反思感悟】 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 （1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论； （2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $