专题07 解直角三角形模型之背靠背模型与解直角三角形模型之叠合模型（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦解直角三角形核心模型，针对背靠背模型与叠合模型两大中考高频考点，构建“模型特征-解题步骤-典型场景”知识架构，通过考点梳理明确公共边/角关联逻辑，方法指导提炼三角函数转化策略，真题训练融入广东中考原题及模拟题，助力学生系统突破高度、距离等实际问题与几何计算难点。 亮点在于“模型化拆解+分层突破”教学创新，通过图形标注培养几何直观，总结等量关系强化模型观念，设计“标注条件-建立关系-联立求解”三步法训练推理意识。例题覆盖基础应用到综合探究，配合即时反馈机制，能在有限时间内提升学生转化能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现高效备考。

专题07解直角三角形模型之背靠背模型与解直角三角形模型之叠合模型 背靠背模型与叠合模型是解直角三角形的核心实用模型，均以转化为直角三角形、借助三角函数求解为核心。背靠背模型是两个直角三角形共用一条直角边（或共顶点），呈 “背靠背” 结构，通过公共边建立边长关联；叠合模型是两个直角三角形部分叠合，共享某条边或某个角，需拆分叠合部分，明确已知与未知边的对应关系。解题关键是找准公共边 / 角，利用三角函数（sin/cos/tan）建立等式，转化未知量。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1解直角三角形模型之背靠背模型 5 模型2解直角三角形模型之叠合模型 9 16 这两个解直角三角形模型，是针对含公共边与叠合边的直角三角形组合问题归纳的实用模型，核心依托勾股定理、三角函数定义，专为解决高度、距离等实际问题或几何计算设计。背靠背模型以 “两个直角三角形共用一条公共直角边（或斜边），呈‘背向贴合’分布” 为特征，常见于测山高、建筑物高度等场景，通过公共边建立两个三角形的三角函数关联，实现未知边的转化计算；叠合模型则是两个直角三角形部分边或角叠合，共享某条非公共边（如一条直角边重叠、斜边交叉叠合），多出现于复杂图形的边长推导、角度计算中，核心是拆分叠合部分，利用重叠边的长度关系或公共角的三角函数值，搭建计算桥梁。二者均通过整合多个直角三角形的关联条件，简化多步计算流程，是解直角三角形综合题的核心工具。 1.（广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 解直角三角形模型之背靠背模型 核心结论：解直角三角形的背靠背模型，核心是 “两个直角三角形共用一条水平公共边（底边），顶点分别在公共边两侧（呈‘背靠背’分布）”，解题关键是抓住公共边，通过三角函数分别建立两个直角三角形的边角关系，再联立求解未知量。 一、模型核心特征 结构特点：两个直角三角形（Rt△ABC 和 Rt△ADC）共用水平公共边 AC，直角顶点分别为 B、D，且 B、D 在 AC 两侧（形成 “背靠背” 形态）。 核心纽带：公共边 AC 是连接两个直角三角形的关键，通常作为 “中间桥梁”，先通过一个三角形求出公共边，再代入另一个三角形计算。 常见场景：多为两次测高或测距（如从河两岸测对岸建筑物高度、从平地上两点测山顶高度），含仰角、俯角或已知边长条件。 二、解题通用步骤 标注条件：明确两个直角三角形的直角、已知角（仰角或俯角）、已知边长，设公共边为 x（或目标量为 x）。 建立关系：对每个直角三角形，根据已知角和边，选择合适的三角函数（sin/cos/tan），列出关于公共边的等式。 联立求解：若公共边未知，先求公共边；若公共边已知，直接代入求目标量；复杂情况列方程求解。 验证结果：检查三角函数选用是否正确、特殊角值是否准确、结果是否符合实际（长度为正、角度合理）。 3、 典型应用场景 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 解直角三角形模型之叠合模型 核心结论：解直角三角形的叠合模型，核心是 “两个直角三角形部分重叠（共用一条非水平或竖直的公共边，或一个三角形的边落在另一个三角形内部）”，解题关键是 “拆分重叠部分→锁定公共边或重叠边→用三角函数 + 线段和差或勾股定理联立求解”。 1、 模型核心特征 结构特点：两个直角三角形（Rt△ABC 和 Rt△ADE）存在重叠区域，共用一条倾斜公共边（如 AD=AB），或一个三角形的顶点落在另一个三角形的边上（如 E 在 BC 上）。 核心纽带：重叠边（或公共边）是关键，需通过它建立两个直角三角形的边角关联，常涉及 “线段和差”（如 BC=BE+EC）。 常见场景：折叠问题、直角三角形嵌套、零件截面计算，含特殊角（30°/45°/60°）或已知边长比例。 2、 解题通用步骤 拆分重叠图形：将叠合的两个直角三角形分开分析，标注各自的直角、已知角、已知边，明确重叠部分（边或角）。 锁定关联条件：找出公共边、相等边（如折叠后对应边相等）或相等角（重叠角、对顶角），设未知量（优先设重叠边或目标边为 x）。 建立边角关系：对每个直角三角形，选合适的三角函数（tan 优先，避免斜边），结合线段和差列方程。 求解验证：解方程得未知量，检查结果是否符合图形逻辑（如边长为正、重叠部分长度合理）。 三、典型应用场景 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 例1（广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    例2（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    例3（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算； (2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 例4（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 例5（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 例1（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 例2（广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接， ①若，过作交于点，求证：； ②若时，则______．    （2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．    （3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．    例3（2024·广东广州·模拟预测）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 例4如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 例5（2024·广东·模拟预测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 1．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 2．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 3．（2025·模拟预测）小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，） 4．（2025·二模）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 5．（2025·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 6.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 7．（二模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5， ，求的长． 8.（2024·广东·模拟预测）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是 ． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 10．（2025·广东·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 11．（2025·广东清远·二模）综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 12．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07解直角三角形模型之背靠背模型与解直角三角形模型之叠合模型 背靠背模型与叠合模型是解直角三角形的核心实用模型，均以转化为直角三角形、借助三角函数求解为核心。背靠背模型是两个直角三角形共用一条直角边（或共顶点），呈 “背靠背” 结构，通过公共边建立边长关联；叠合模型是两个直角三角形部分叠合，共享某条边或某个角，需拆分叠合部分，明确已知与未知边的对应关系。解题关键是找准公共边 / 角，利用三角函数（sin/cos/tan）建立等式，转化未知量。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1解直角三角形模型之背靠背模型 5 模型2解直角三角形模型之叠合模型 9 16 这两个解直角三角形模型，是针对含公共边与叠合边的直角三角形组合问题归纳的实用模型，核心依托勾股定理、三角函数定义，专为解决高度、距离等实际问题或几何计算设计。背靠背模型以 “两个直角三角形共用一条公共直角边（或斜边），呈‘背向贴合’分布” 为特征，常见于测山高、建筑物高度等场景，通过公共边建立两个三角形的三角函数关联，实现未知边的转化计算；叠合模型则是两个直角三角形部分边或角叠合，共享某条非公共边（如一条直角边重叠、斜边交叉叠合），多出现于复杂图形的边长推导、角度计算中，核心是拆分叠合部分，利用重叠边的长度关系或公共角的三角函数值，搭建计算桥梁。二者均通过整合多个直角三角形的关联条件，简化多步计算流程，是解直角三角形综合题的核心工具。 1.（广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 解直角三角形模型之背靠背模型 核心结论：解直角三角形的背靠背模型，核心是 “两个直角三角形共用一条水平公共边（底边），顶点分别在公共边两侧（呈‘背靠背’分布）”，解题关键是抓住公共边，通过三角函数分别建立两个直角三角形的边角关系，再联立求解未知量。 一、模型核心特征 结构特点：两个直角三角形（Rt△ABC 和 Rt△ADC）共用水平公共边 AC，直角顶点分别为 B、D，且 B、D 在 AC 两侧（形成 “背靠背” 形态）。 核心纽带：公共边 AC 是连接两个直角三角形的关键，通常作为 “中间桥梁”，先通过一个三角形求出公共边，再代入另一个三角形计算。 常见场景：多为两次测高或测距（如从河两岸测对岸建筑物高度、从平地上两点测山顶高度），含仰角、俯角或已知边长条件。 二、解题通用步骤 标注条件：明确两个直角三角形的直角、已知角（仰角或俯角）、已知边长，设公共边为 x（或目标量为 x）。 建立关系：对每个直角三角形，根据已知角和边，选择合适的三角函数（sin/cos/tan），列出关于公共边的等式。 联立求解：若公共边未知，先求公共边；若公共边已知，直接代入求目标量；复杂情况列方程求解。 验证结果：检查三角函数选用是否正确、特殊角值是否准确、结果是否符合实际（长度为正、角度合理）。 3、 典型应用场景 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 解直角三角形模型之叠合模型 核心结论：解直角三角形的叠合模型，核心是 “两个直角三角形部分重叠（共用一条非水平或竖直的公共边，或一个三角形的边落在另一个三角形内部）”，解题关键是 “拆分重叠部分→锁定公共边或重叠边→用三角函数 + 线段和差或勾股定理联立求解”。 1、 模型核心特征 结构特点：两个直角三角形（Rt△ABC 和 Rt△ADE）存在重叠区域，共用一条倾斜公共边（如 AD=AB），或一个三角形的顶点落在另一个三角形的边上（如 E 在 BC 上）。 核心纽带：重叠边（或公共边）是关键，需通过它建立两个直角三角形的边角关联，常涉及 “线段和差”（如 BC=BE+EC）。 常见场景：折叠问题、直角三角形嵌套、零件截面计算，含特殊角（30°/45°/60°）或已知边长比例。 2、 解题通用步骤 拆分重叠图形：将叠合的两个直角三角形分开分析，标注各自的直角、已知角、已知边，明确重叠部分（边或角）。 锁定关联条件：找出公共边、相等边（如折叠后对应边相等）或相等角（重叠角、对顶角），设未知量（优先设重叠边或目标边为 x）。 建立边角关系：对每个直角三角形，选合适的三角函数（tan 优先，避免斜边），结合线段和差列方程。 求解验证：解方程得未知量，检查结果是否符合图形逻辑（如边长为正、重叠部分长度合理）。 三、典型应用场景 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 例1（广东·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)    【答案】 【知识点】三线合一、其他问题（解直角三角形的应用） 【详解】解：连接，作于D，    ∵，， ∴是边边上的中线，也是的角平分线， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ∴ 答：A，B两点间的距离为． 例2（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则 ．    【答案】 【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：． 作于点M，于点N，则， 过点G作于点P，    ∵于点M， ∴， 设，则，， 又∵，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 在中，，， 设，则 ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 化简得：， ∴， ∴ 故答案是：． 例3（2024·广东汕头·一模）如图，是一条东西走向的海岸线，码头和码头相距30海里，在码头南偏东的海岛处有一艘轮船正向码头正南方向的海岛行驶，轮船到达海岛后测得海岛在海岛的北偏东75°方向上，而码头在海岛的北偏西30°方向上． (1)已知关于两角和的公式，请利用公式计算； (2)利用（1）的结论，求码头与海岛之间的距离．（参考数据，，，，结果精确到海里）． 【答案】(1) (2)码头与海岛之间的距离为海里 【详解】（1）解： = = （2）如图，作于点 ∵，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形 设，， 在中 ∴ 解得： ∴． 答：码头与海岛之间的距离为海里． 例4（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】(1)海里 (2)时 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∴， 根据题意得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴海里； （2）解：根据题意得，， ∴是直角三角形， 又， 在中，， ∴海里， ∴该船到达海岛D处所用的时间时． 例5（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图（a）所示，作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）如图（b），连接，作的角平分线，即为所求； （3）如图（c）， 根据题意得：，， ∴ 答：乙船运动的最远距离长为． 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 例1（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：延长交于一点， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 同理得四边形是矩形 依题意，得， ∴， ∴ ∴设，则 在 ∴ 即 在 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 例2（广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接， ①若，过作交于点，求证：； ②若时，则______．    （2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．    （3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．    【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或 【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②由①可得， ∴ ∴， 又∵ ∴, 故答案为：． （2）∵在菱形中，， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，    ∵平行四边形中，，， ∴，, ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， 则，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则，，， ∴ 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示，    连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形， 设，则，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 过点作于点， 在中，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， ， ∴ ∴， 即， ∴ 即 解得：（舍去） 即； ③当点在边上时，如图所示，    过点作于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点不可能在边上， 综上所述，的长为或或． 例3（2024·广东广州·模拟预测）如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 例4如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 例5（2024·广东·模拟预测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 【答案】问题导入：； 实际应用：； 拓展延伸：． 【详解】解：问题导入： 在中，，延长至使，连接．设，如图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 实际应用： 平分，， ， ，， ， 由问题导入可知，， ， ∴， ； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 2．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 【答案】处距离处有140海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 3．（2025·模拟预测）小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处． (1)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） (2)小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为80米/分，小红步行的速度为60米/分，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)小红先到达景点B 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于F， 由题意得，，， 在中，米，， 在中，米， ∴米， 答：景点与景点之间的距离为米； （2）解：如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形， ∴米， 在中，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， ∵，，且， ∴小红先到达景点B． 4．（2025·二模）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 【答案】(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 5．（2025·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里， 由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图： 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴海里， 又∵， ∴， 由题意知， ∴， 由题意可得：， ∴海里． 6.（2025·广东深圳·模拟预测）如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 7．（二模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 8.（2024·广东·模拟预测）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【详解】解：．四边形是菱形， ， 由圆周角定理得：， 即， 与、分别相切于点、， ，， ∴ ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 则， ， ， 故答案为：． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【详解】（1）解：连接，，如图：    ∵， ∴， ∵四边形内接于，为的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， 即是的切线； （2）解：连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）解：令与交于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∴． 10．（2025·广东·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）；（2）点C，点D，点F三点共线，理由见解析；（3）或 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）点C，点D，点F三点共线，理由如下： 连接交于O，过点F作的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C，点D，点F三点共线； （3）如图，过点A作于G，过点E作于H，则， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴C、D、F在同一条直线上， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， 设，则，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 综上所述，的长度为或． 11．（2025·广东清远·二模）综合应用 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）的值为； （3）的长为或． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴，， ∴， 由是直角三角形，可得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 当在线段上时，， ∵， ∴， ∴ ∴或（不合题意，舍去）， 当在延长线上时， ，，， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 12．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，，米， ∴， ∵由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $