专题09 对角互补造辅助圆（四点共圆）、定角定高构造辅助圆与点圆最值构造辅助圆（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“辅助圆构造”专题，覆盖对角互补四点共圆、定角定高轨迹、点圆最值三大中考核心模型。资料以“模型来源-真题提炼-核心结论-构造步骤-例题运用”为架构，通过考点梳理建立知识联系，结合方法指导（如四点共圆判定、轨迹分析）和真题训练（2024广州中考题等），帮助学生突破辅助圆构造难点，体现复习系统性和针对性。 亮点在于“三步教学法”（模型识别-构造步骤-性质转化），如对角互补模型中用反证法证明四点共圆（2024东莞三模题），培养推理意识与几何直观。设分层练习（基础例题、真题拔高）和限时训练，确保学生掌握构造逻辑，提升问题解决能力。教师可依托此框架精准把控复习节奏，助力学生高效备战中考。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09对角互补造辅助圆（四点共圆）、定角定高构造辅助圆与点圆 最值构造辅助圆 这三个模型均通过构造辅助圆转化几何条件，核心利用圆的性质解题。对角互补模型以“对角互补”为 判定，构造四点共圆，借助圆周角相等转化角关系；定角定高模型中，定角对定高的三角形，其顶点轨迹 为定圆（圆心在定高的平行线）；点圆最值模型则构造定圆，利用“点到圆心距离与半径的和差”求最值。 解题关键是精准把握构造条件，用圆的性质转化未知。 目录导航 例题讲模型 模型来源、 真题现模型 提炼模型… 3 模型运用… 5 模型1对角互补造辅助圆（四点共圆） 模型2定角定高构造辅助圆 模型3点圆最值构造辅助圆 …9 习题练模型 16 例题讲模型 模型来源 对角互补造辅助圆（四点共圆）、定角定高构造辅助圆与点圆最值构造辅助圆，其来源均依托圆的核 心定义与性质（圆周角定理、点与圆位置关系等），是数学教学与解题实践中对高频题型的归纳总结，无 单一独创文献，而是理论应用与解题需求结合的共识性模型。对角互补造辅助圆源于圆周角定理逆定理与 圆内接四边形性质，古希腊《几何原本》已奠定理论基础，后经解题实践提炼，成为转化对角互补条件的 1/56 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高效工具；定角定高构造辅助圆基于“同弧所对圆周角相等”与圆的轨迹定义，是对“定角定高”约束下顶点轨 迹的精准刻画，适配线段最值与定值问题；点圆最值构造辅助圆则直接应用圆的定义与点圆位置关系性质， 通过明确动点的圆轨迹，简化定点到动点的最值求解。三者均是将零散几何性质系统化、模型化的产物， 为复杂角度、轨迹、最值问题提供“化繁为简”的解题思路，成为初中几何核心解题工具。 真题现模型 1.(2024广东广州中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠C=120°.点E在射线BC上运动（不与点B,点 C重合)，aAEB关于AE的轴对称图形为△AEF. (I)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由： (2)若AB=6+6√5，⊙0为△AEF的外接圆，设00的半径为r. ①求r的取值范围； ②连接FD,直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由. 【答案】（①AF=AD,AF⊥AD (2)①r≥3+3V5且r≠2V5+6;②能，BE=12 【详解】(1)解：AF=AD,AF⊥AD;理由如下： :在菱形ABCD中，∠C=120°， ∠BAD=∠C=120°，AB=AD, ∠BAF=30°， .∠FAD=120°-30°=90°， .AF⊥AD, 由对折可得：AB=AF, AF=AD; (2)解：①如图，设△AEF的外接圆为⊙0，连接AC交BD于H,连接OA,OE,OF,OC, 2/56 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD为菱形，∠BCD=120°， AC⊥BD,∠BCA=60°，BA=BC, .ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠AFE=60°=∠ACB, A,E,F,C共圆，∠A0E=2∠AFE=120°，O在BD上， A0=0E, .∠AE0=∠EA0=30°， 过0作OJ⊥AE于J, W=,40=2 _AJ, 3 40=5 AE, 3 当AE⊥BC时，AE最小，则AO最小， :AB=6+6V5,∠ABC=60°， AE=AB-sin60=6+65x5=35+9, ÷A0=5 35+9=3+35: :点E不与B、C重合， AE≥9+3V5,且AE≠6+65， .r的取值范围为r≥3+3√3且r≠2√3+6； ②DF能为OO的切线，理由如下： 如图，以A为圆心，AC为半径画圆， .AB=AC=AF=AD, B,C,F,D在0A上， 延长CA与OA交于L,连接DL, 3/56 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M D 同理可得△ACD为等边三角形， ∠CAD=60°， .∠CLD=30°， .∠CFD=180°-30°=150°， :DF为O0的切线， ∠0FD=90°， ∠0FC=60°， :0C=0F, “.△OC℉为等边三角形， .∠C0F=60°， 1 :∠CAF=5∠COF=30°， 2 ∠DAF=60°-30°=30°， ∠BAF=120°-30°=90°， 由对折可得：LBAE=LFAE=45°，BE=EF, 过E作EM⊥AF于M, .设AM=EM=x, ∠EFM=60°， 4/56 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FM= EM= 3, x=6+6V5, 解得：x=6√5， ÷FM= 2×63=6, .BE EF =2FM =12. 2.(2024广东东莞·三模)综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助 圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件，小明同学已经 学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下 是小明同学的探究过程，请你补充完整， (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为： 如果 该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据： (②)【验证】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，请在图1中作出过点A、B、C三点的O0, 并直接判断点D与O0的位置关系.（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°， 求证：点A、B、C、D四点共圆. 证明：过A、B、C三点作⊙0，假设点D不在⊙0上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3)· 假设点D在OO内时，如图2，延长CD交⊙0于点E,连结AE, :∠ADC是△DEA的外角，∠ADC>∠AEC, :四边形ABCE是OO的内接四边形，∠ABC+∠AEC=180°， 又：∠ABC+∠ADC=180°，：∠ADC=∠AEC. 这与∠ADC>∠AEC相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在O0内. 请仿照以上证明，用反证法证明假设点D在⊙0外”（如图3)的情形 5/56 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 0 B 图1 图2 图3 【答案】()对角互补的四边形能内接于圆.（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形） (2)图见解析，点D在O0上 (3)详见解析 【详解】(1)解：对角互补的四边形能内接于圆。（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）· (2)解：如图1，⊙0为所求. 点D在O0上. 图1 (3)证明：假设点D在⊙0外时，如图3， CD交OO于点E,连结AE, 图3 :LAEC是△DEA的外角， ∠AEC>LADC. “四边形ABCE是OO的内接四边形， .∠ABC+∠AEC=180 又∠ABC+∠ADC=180°， :ZAEC ZADC. 这与∠AEC>∠ADC相矛盾，所以假设不成立， 所以点D不可能在O0外. 6/56 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提炼模型 对角互补造辅助圆（四点共圆） 核心结论：对角互补的四边形（或四点中两组对角分别互补），四个顶点必共圆（即“对角互补→四点共圆”）， 构造辅助圆后可利用圆周角定理（同弧所对圆周角相等）转化角关系，快速解决角度计算、线段证明等问题， 核心是“角的转化工具”。 一、模型核心定义 对角互补：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°（或∠B+∠D=180°），两组对角中任意一组互补即可。 四点共圆：四个点在同一个圆上，该圆称为“辅助圆”，是连接对角互补与角转化的关键桥梁。 核心逻辑：对角互补是四点共圆的充要条件，构造辅助圆后，分散的角可通过“同弧所对圆周角相等”转移 到同一弧上，简化证明或计算。 二、核心判定定理（四点共圆的关键依据） 基本判定：四边形一组对角互补→四个顶点共圆（逆定理同样成立：四点共圆一四边形对角互补）。 衍生判定：若四边形的一个外角等于其内对角（如∠DCE=∠A,E在BC延长线上），则四点共圆（本 质是∠A+∠BCD=180°，外角与内角互补)。 三、构造辅助圆的实操步骤 识别对角互补：从图形中找出四边形，验证一组对角之和是否为180°（已知条件或角度推导）。 确定共圆四点：明确四边形的四个顶点（记为A、B、C、D),这四个点即为辅助圆上的点。 构造辅助圆：无需精准作图，只需在脑海中或草稿纸上标记“四点共圆”，明确各点在圆上的位置关系（如 哪两点在同弧两端)。 转化角关系：利用圆周角定理，将待求角或需证明的角，转化为同弧所对的己知角。 四、常见模型分类（按互补角类型） 模型 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O,连接OC,OD,根据直角三角形斜边 描述 上的中线等于斜边的一半，可得OC=OD=OA=OB: 如图③，在四边形ABCD中，∠A十∠C=180°（或∠B十∠D=180) 模型 呈现 ② ③ 模型 (I)A,B,C,D四点共圆； 7156 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论 (②)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此 模型是证明角相等的重要途径之一 定角定高构造辅助圆 核心结论：定角定高模型的核心是“固定顶角（定角）+顶点到对边的距离（定高）”，构造辅助圆（定角 为圆周角，对边为弦)后，利用圆的性质可快速求对边最小值、三角形面积最小值，核心逻辑是“弦长与 圆心到弦的距离成反比，定高决定圆的半径下限”。 一、模型核心定义 定角：三角形ABC中，顶角∠BAC=(a为固定角度，0°<<180°)。 定高：顶点A到对边BC的垂线段AD=h(h为固定长度，AD⊥BC,D为垂足)。 辅助圆：A、B、C三点共圆(：∠BAC=a为固定圆周角)，BC为圆内的一条弦，C为弦BC所对的圆 周角。 二、模型核心三要素 定角：唯一固定的角度，决定辅助圆中弦BC所对的圆周角大小。 定高：顶点到弦BC的垂直距离，是连接三角形与圆的关键纽带。 辅助圆：圆心O在BC的垂直平分线上，半径R满足“圆心到BC的距离+定高≤R”(A在圆上，AD 为A到BC的距离) 三、定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路 图示 (定高) 定) 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 D B 作法 定角) 0· 定高作△4BC的外接圆 B 结论 当构成等腰三角形(AC=BC时，①AB的长最小：②MABC的周长最小，③△ABC的面积最小 8/56 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点圆最值构造铺助圆 核心结论：点圆最值的本质是“平面内定点到圆上点的距离极值”，构造辅助圆的核心是明确圆的圆心O和 半径r,通过“定点与圆心的距离d”结合半径推导最值，最终最大距离为d+r,最小距离为|d-(关键 条件：定点、圆心、圆上极值点三点共线)。 一、模型核心定义 点圆最值：求平面内定点P到圆O上任意一点Q的距离PQ的最大值和最小值。 辅助圆：题目中明确给出或隐含的圆（若为隐含圆，需先构造辅助圆，确定其圆心O和半径)。 核心逻辑：圆上点到定点的距离极值，必然在“定点P与圆心O的连线”上（三点共线时，距离叠加或 抵消半径，形成极值)。 二、模型核心三要素 定点P:平面内固定不变的点（非圆上点，圆上点无最值差异）。 辅助圆O:明确的圆心O和半径r(若未直接给出，需通过条件构造，如“定角对定边一外接圆“到定点 距离为定值→圆”)。 圆心距d:定点P到圆心O的距离(d=PO,用两点间距离公式计算)。 模型 己知平面内一定点D和口O,E是口O上一动点，设点O与点D之间的距离为d,口O的半径为r, 描述 当D,O,E三点共线时，线段DE有最大（小）值 点D在口O内 点D在口O上 点D在DO外 模型 E 0拒 D(E) E 呈现 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 模型 如图①，DE的最大值为d十r; 如图③，DE的最大值为2r;如图如图⑤，DE的最大值为d十r; 结论 如图②，DE的最小值为r一d ④，DE的最小值为O 如图⑥，DE的最小值为d一r 三、模型描述及呈现 9156 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型运用 模型1.对角互补造辅助圆（四点共圆） 例13.(2025广东广州模拟预测)如图，AB是O0的直径，D是AC上的点，弦BD和CE交于点F,且 DF=DC,EH是OO的切线，EH∥AB,连结AC,AE,BE, D H 分 E 备用图 (I)求证：EB=EF; (2)求证：F是ABC的内心： (3)若CE=7√2，BC=6,求直径AB的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)10 【详解】(1)证明：：DF=DC, :∠DCF=LDFC, ∴.∠DCF=∠BFE, DEDE, .∠DCF=LFBE, .∠BFE=LFBE, .EB EF. (2)证明：如图①，连结OE, D B:EH是⊙0的切线， E 图① 10/56 专题09对角互补造辅助圆（四点共圆）、定角定高构造辅助圆与点圆最值构造辅助圆 这三个模型均通过构造辅助圆转化几何条件，核心利用圆的性质解题。对角互补模型以 “对角互补” 为判定，构造四点共圆，借助圆周角相等转化角关系；定角定高模型中，定角对定高的三角形，其顶点轨迹为定圆（圆心在定高的平行线）；点圆最值模型则构造定圆，利用 “点到圆心距离与半径的和差” 求最值。解题关键是精准把握构造条件，用圆的性质转化未知。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1对角互补造辅助圆（四点共圆） 5 模型2定角定高构造辅助圆 9 模型3点圆最值构造辅助圆 9 16 对角互补造辅助圆（四点共圆）、定角定高构造辅助圆与点圆最值构造辅助圆，其来源均依托圆的核心定义与性质（圆周角定理、点与圆位置关系等），是数学教学与解题实践中对高频题型的归纳总结，无单一独创文献，而是理论应用与解题需求结合的共识性模型。对角互补造辅助圆源于圆周角定理逆定理与圆内接四边形性质，古希腊《几何原本》已奠定理论基础，后经解题实践提炼，成为转化对角互补条件的高效工具；定角定高构造辅助圆基于“同弧所对圆周角相等”与圆的轨迹定义，是对“定角定高”约束下顶点轨迹的精准刻画，适配线段最值与定值问题；点圆最值构造辅助圆则直接应用圆的定义与点圆位置关系性质，通过明确动点的圆轨迹，简化定点到动点的最值求解。三者均是将零散几何性质系统化、模型化的产物，为复杂角度、轨迹、最值问题提供“化繁为简”的解题思路，成为初中几何核心解题工具。 1.（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为． (1)当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由； (2)若，为的外接圆，设的半径为． ①求的取值范围； ②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由． 2.（2024·广东东莞·三模）综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据． (2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，， 求证：点四点共圆． 证明：过三点作，假设点D不在上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）． 假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE， 是的外角，， 四边形ABCE是的内接四边形，， 又，． 这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形 对角互补造辅助圆（四点共圆） 核心结论：对角互补的四边形（或四点中两组对角分别互补），四个顶点必共圆（即 “对角互补→四点共圆”），构造辅助圆后可利用圆周角定理（同弧所对圆周角相等）转化角关系，快速解决角度计算、线段证明等问题，核心是 “角的转化工具”。 一、模型核心定义 对角互补：四边形 ABCD 中，∠A + ∠C = 180°（或∠B + ∠D = 180°），两组对角中任意一组互补即可。 四点共圆：四个点在同一个圆上，该圆称为 “辅助圆”，是连接对角互补与角转化的关键桥梁。 核心逻辑：对角互补是四点共圆的充要条件，构造辅助圆后，分散的角可通过 “同弧所对圆周角相等” 转移到同一弧上，简化证明或计算。 二、核心判定定理（四点共圆的关键依据） 基本判定：四边形一组对角互补→四个顶点共圆（逆定理同样成立：四点共圆→四边形对角互补）。 衍生判定：若四边形的一个外角等于其内对角（如∠DCE = ∠A，E 在 BC 延长线上），则四点共圆（本质是∠A + ∠BCD = 180°，外角与内角互补）。 三、构造辅助圆的实操步骤 识别对角互补：从图形中找出四边形，验证一组对角之和是否为 180°（已知条件或角度推导）。 确定共圆四点：明确四边形的四个顶点（记为 A、B、C、D），这四个点即为辅助圆上的点。 构造辅助圆：无需精准作图，只需在脑海中或草稿纸上标记 “四点共圆”，明确各点在圆上的位置关系（如哪两点在同弧两端）。 转化角关系：利用圆周角定理，将待求角或需证明的角，转化为同弧所对的已知角。 四、常见模型分类（按互补角类型） 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 定角定高构造辅助圆 核心结论：定角定高模型的核心是 “固定顶角（定角）+ 顶点到对边的距离（定高）”，构造辅助圆（定角为圆周角，对边为弦）后，利用圆的性质可快速求对边最小值、三角形面积最小值，核心逻辑是 “弦长与圆心到弦的距离成反比，定高决定圆的半径下限”。 一、模型核心定义 定角：三角形 ABC 中，顶角∠BAC=α（α 为固定角度，0°<α<180°）。 定高：顶点 A 到对边 BC 的垂线段 AD=h（h 为固定长度，AD⊥BC，D 为垂足）。 辅助圆：A、B、C 三点共圆（∵∠BAC=α 为固定圆周角），BC 为圆内的一条弦，α 为弦 BC 所对的圆周角。 二、模型核心三要素 定角 α：唯一固定的角度，决定辅助圆中弦 BC 所对的圆周角大小。 定高 h：顶点到弦 BC 的垂直距离，是连接三角形与圆的关键纽带。 辅助圆：圆心 O 在 BC 的垂直平分线上，半径 R 满足 “圆心到 BC 的距离 + 定高≤R”（A 在圆上，AD 为 A 到 BC 的距离） 3、 定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路 图示 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 作法 作△ABC的外接圆 结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小 点圆最值构造辅助圆 核心结论：点圆最值的本质是 “平面内定点到圆上点的距离极值”，构造辅助圆的核心是明确圆的圆心 O和半径 r，通过 “定点与圆心的距离 d” 结合半径推导最值，最终最大距离为 d+r，最小距离为 | d−r|（关键条件：定点、圆心、圆上极值点三点共线）。 一、模型核心定义 点圆最值：求平面内定点 P到圆 O 上任意一点 Q的距离 PQ 的最大值和最小值。 辅助圆：题目中明确给出或隐含的圆（若为隐含圆，需先构造辅助圆，确定其圆心 O 和半径 r）。 核心逻辑：圆上点到定点的距离极值，必然在 “定点 P 与圆心 O 的连线” 上（三点共线时，距离叠加或抵消半径，形成极值）。 二、模型核心三要素 定点 P：平面内固定不变的点（非圆上点，圆上点无最值差异）。 辅助圆 O：明确的圆心 O 和半径 r（若未直接给出，需通过条件构造，如 “定角对定边→外接圆”“到定点距离为定值→圆”）。 圆心距 d：定点 P 到圆心 O 的距离（d=PO，用两点间距离公式计算）。 三、模型描述及呈现 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r， 当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ①                  ② ③                ④ ⑤                      ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 模型1.对角互补造辅助圆（四点共圆） 例13.（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，是上的点，弦和交于点，且是的切线，，连结． (1)求证：； (2)求证：是的内心； (3)若，求直径的长． 例2（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 例3如图，⊙是的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长度； (3)若是的中点，如图，求． 例4已知的半径为是其内接三角形，． (1)如图1，求； (2)如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 例5（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．      (1)求证：； (2)若，，求． 模型2.定角定高构造辅助圆 例1（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，C，D分别是上弦两侧的点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（2024·广东·模拟预测）如图，C，D在上，是直径，，则（    ） A． B． C． D． 例3（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 例4如图，为的直径，过点作的切线，是半圆上一点（不与点、重合），连结，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 例5某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 模型3.点圆最值构造辅助圆 例1（2024·广东惠州·模拟预测）如图，是的直径，点是圆上一点（不与，重合），的平分线交于点，交于点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)如图，连接交于点． ①若，求的值； ②若，求的最大值． 例2（2025·广东广州·二模）已知，．是的外接圆，点D在上（），连接． (1)如图，，点D在优弧上． ①证明：平分； ②若的半径为，求四边形面积的最大值． (2)若，，判断之间的数量关系并说明理由． 例3（广东汕头·二模）如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是 ． 例4如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 1．（2025·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数图像上的一点，以点P为圆心，长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接． (1)求证：P为线段的中点； (2)若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移若干个单位长度后与相切，求平移后的直线的表达式． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ． 3．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式． 4．（2025·广东广州·二模）已知线段，． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，作，与交于点D，求的最小值； (3)如图3，当时，点E是线段上，关于对称线段为，延长交的延长线于点G，求当点E线段上运动时，点G的运动路径长． 5．（2025·广东清远·一模）如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，求四边形面积的最大值． 6．（2024·广东·模拟预测）如图①，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图②，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，． (1)求的长和关于的函数解析式； (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值； (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴与抛物线交于点M ． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与轴的交点是D，在线段上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线于点F，试判断的形状，并说明理由； 8．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5， ，求的长． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． (1)尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)点P是弧上一点，连接，，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点D作于点F，交于点G，延长交于点H． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，求的值． 11.如图，是圆O的直径，，所对的圆心角为，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $