专题10 定点定长构造辅助圆与定弦定角构造辅助圆（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“定点定长与定弦定角构造辅助圆”专题，覆盖中考几何轨迹、最值问题等核心考点，以“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”为架构，系统整合圆的定义、圆周角定理等知识。通过“考点梳理-方法指导-真题训练”环节，助力学生突破辅助圆构造难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“模型分类+真题驱动”策略，如用表格对比定点定长的旋转作圆、折叠作圆等类型，定弦定角的锐角/钝角轨迹差异，培养几何直观与推理能力。结合2025广州中考真题例析最值问题，配合分层练习与5分钟模型识别训练，高效提升学生应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

专题10定点定长构造辅助圆与定弦定角构造辅助圆 定点定长与定弦定角是构造辅助圆的核心模型，均借助圆的定义与性质转化几何条件。定点定长模型以 “一个定点 + 到定点距离为定值的动点” 为特征，动点轨迹为以定点为圆心、定长为半径的圆；定弦定角模型以 “一条定弦 + 对定弦张定角的动点” 为特征，动点轨迹为定弦所对的两段弧（不与弦端点重合）。解题关键是识别两类模型特征，构造辅助圆后，利用圆周角、弧长等性质转化角或线段关系。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1定点定长构造辅助圆 5 模型2定弦定角构造辅助圆 9 16 定点定长构造辅助圆与定弦定角构造辅助圆，均是初中几何中依托圆的核心定义与性质，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。定点定长模型的核心来源是圆的定义 —— 平面内到定点距离等于定长的点的集合为圆，当题目中出现 “动点到某定点距离为定值” 时，直接套用定义构造辅助圆，将动点轨迹可视化，这是圆的基础性质在轨迹问题中的直接应用；定弦定角模型则源于圆周角定理及其逆定理，定长线段（定弦）所对的圆周角为定值，反之定值角的顶点轨迹为以定弦为弦的圆（不包含弦的端点），其理论根基可追溯至古希腊《几何原本》中的圆周角相关论述，后经教学实践提炼，成为解决轨迹、最值问题的标准化模型。二者均是将抽象几何条件转化为具体圆轨迹的工具，通过 “建模” 简化动点、角度、长度的关联推导，是初中几何解决轨迹与最值问题的核心辅助手段。 1.（2025·广东广州·一模）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，． (1)求点的坐标； (2)如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围； (3)过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由． 2.（2024·广东湛江·一模）如图，为的内接三角形，为延长线上一点，，为的直径，过作交于，交于，交于． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 3.（广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点 （1）求A、B两点的坐标； （2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围； （3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径． 4.（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 定点定长构造辅助圆 核心结论：定点定长构造辅助圆的核心是 “到定点的距离等于定长的所有点，必在以该定点为圆心、定长为半径的圆上”，通过构造这个辅助圆，可将 “线段长度固定” 的条件转化为 “圆上点的位置关系”，进而利用圆的性质（如圆周角定理、点圆最值）解决角度计算、线段证明、最值求解等问题。 一、模型核心定义 定点：平面内固定不变的点（记为 O），作为辅助圆的圆心。 定长：固定不变的线段长度（记为 r），作为辅助圆的半径。 辅助圆：以定点 O 为圆心、定长 r 为半径作圆，所有满足 “到 O 的距离 = r” 的点，均在该圆上（圆的定义直接推导）。 二、模型核心三要素 圆心 O：明确的定点（题目直接给出或通过条件推导，如线段中点、角平分线交点）。 半径 r：明确的定长（题目直接给出或通过计算得出，如已知线段长度、全等 / 相似推导的固定长度）。 圆上点：满足 “到 O 的距离 = r” 的动点（记为 P），P 的轨迹即为辅助圆。 3、 常见模型分类 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 特点 平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G 作法 结论 点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动 点A,B,C均在上 点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆 点G的运动轨迹是以点 E为圆心,BE 长为半径 的一段圆弧 定弦定角构造辅助圆 核心结论：定弦定角构造辅助圆的核心是 “固定弦长（定弦）+ 弦所对的固定圆周角（定角）”，满足条件的圆周角顶点必在辅助圆上（定弦为圆内弦，定角为圆周角），通过构造外接圆可利用圆周角定理、弦长公式解决角度计算、轨迹判定、最值求解等问题，核心逻辑是 “定弦定角→定圆（半径、圆心固定）”。 一、模型核心定义 定弦：平面内长度固定的线段（记为 AB，长度为 a）。 定角：弦 AB 所对的圆周角为固定角度 α（∠ACB=α，C 为动点，α 为定值，0°<α<180°）。 辅助圆：△ABC 的外接圆（A、B、C 三点共圆），AB 为圆内定弦，α 为弦 AB 所对的圆周角，圆心 O 在 AB 的垂直平分线上。 二、模型核心三要素 定弦 AB：长度 a 固定，是辅助圆的核心弦，决定圆的大小范围。 定角 α：弦 AB 所对的圆周角固定，决定辅助圆的圆心位置（圆心角∠AOB=2α）。 辅助圆 O：半径 R 固定（R=a/(2sinα)），圆心在 AB 的垂直平分线上，到 A、B、C 三点距离均为 R。 三、常见模型分类 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 特点 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90° 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角) 在△ABC中,已知AB的长,点C 为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角) 动点运动轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动 点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧) 点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧) 模型1.定点定长构造辅助圆 例1（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（    ） A． B． C． D． 例2如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是 ． 例3数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 例4（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 例5（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 模型2.定弦定角构造辅助圆 例1（2024·广东汕头·一模）如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（   ） A．6.4 B． C． D． 例2如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例3如图，矩形内接于， 分别以为直径向外作半圆，若，则阴影部分的面积为 ． 例4【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 例5（2024·广东·模拟预测）综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． (1)小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 1.（广东深圳·模拟预测）如图，点，，和点，，分别在同一条直线上，和都是等腰直角三角形，，将绕着点顺时针旋转得到，直线，交于点，当点落在上时，点经过的路径长是 ．    2．（广东广州·模拟预测）“鹿鸣·博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠）这一课题研究．已知矩形，点、分别是、边上的动点．    (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为，连接，试说明． (2)若，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为_________．    (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点，以为直径作圆，该圆与交于点和点，将沿翻折，若点的对应点刚好落在边上，求此时的长度．    3．（2025·广东深圳·二模）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（2024·广东汕头·一模）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·二模）如图，在四边形中，，，对角线与交于点E，若，，则 ． 6．（2025·广东广州·二模）如图1，已知四边形中， (1)点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）； (2)当时， ①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度； ②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值． 7．（2025·广东深圳·二模）四边形为正方形，以点A为旋转中心，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接线段，． (1)如图1，当旋转角时，的度数为______度； (2)如图2，当旋转角由小变大时，的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说明理由； (3)如图3，延长，过点B作的延长线于点F，连接．求线段与的数量关系，并证明你的结论； (4)如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段扫过的面积． 8．（2025·广东珠海·一模）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，． 【操作探究】如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接（如图2）． (1)当时，求的长度； (2)如图3，当时，求的度数； (3)取的中点O，点P是平面内某个定点，连接，在运动过程中的长是个定值，点P的位置是______，这个定值为______，运动开始后______． 9．（2025·广东珠海·一模）在正方形中，，点是直线上的动点，连接． (1)如图1，过点作，求证：； (2)如图2，过点作于点，连接，将沿翻折得到，求线段的最小值； (3)如图3，当点运动到线段的中点时，过点作于点，交于点，连接交于点，求． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10定点定长构造辅助圆与定弦定角构造辅助圆 定点定长与定弦定角是构造辅助圆的核心模型，均借助圆的定义与性质转化几何条件。定点定长模型 以“一个定点+到定点距离为定值的动点”为特征，动点轨迹为以定点为圆心、定长为半径的圆；定弦定 角模型以“一条定弦+对定弦张定角的动点”为特征，动点轨迹为定弦所对的两段弧（不与弦端点重合）。 解题关键是识别两类模型特征，构造辅助圆后，利用圆周角、弧长等性质转化角或线段关系。 目录导航 例题讲模型 模型来源。 真题现模型… 2 提炼模型… 3 模型运用 模型1定点定长构造辅助圆 模型2定弦定角构造辅助圆 ……9 习题练模型 16 例题讲模型 模型来源 定点定长构造辅助圆与定弦定角构造辅助圆，均是初中几何中依托圆的核心定义与性质，经解题实践 归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。定点定长模型的核心来源 是圆的定义一平面内到定点距离等于定长的点的集合为圆，当题目中出现“动点到某定点距离为定值” 时，直接套用定义构造辅助圆，将动点轨迹可视化，这是圆的基础性质在轨迹问题中的直接应用；定弦定 角模型则源于圆周角定理及其逆定理，定长线段（定弦)所对的圆周角为定值，反之定值角的顶点轨迹为 以定弦为弦的圆（不包含弦的端点），其理论根基可追溯至古希腊《几何原本》中的圆周角相关论述，后 经教学实践提炼，成为解决轨迹、最值问题的标准化模型。二者均是将抽象几何条件转化为具体圆轨迹的 1150 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 工具，通过“建模”简化动点、角度、长度的关联推导，是初中几何解决轨迹与最值问题的核心辅助手段。 真题现模型 1.(2025广东广州一模)直线片=2x+7交y轴于点A,，抛物线=+x+C交x轴于点B(x,0)和点 C(x2,0),x1<2 (I)求点A的坐标： (2)如果b=3,c=6,且抛物线2始终在直线y下方，求a的取值范围； (3)过点B作y的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点D,如果点D的横坐标是x+4,且△BCD的 面积是32，A、B、C、D四点共圆.当-1≤x<4时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有， 请求出最值，如果没有，请说明理由 【答案】(1)A(0,7) 2)a<-1 4 (3)有，最大值为8，y最小值为0 【详解】(1)解：：当x=0时，y=2×0+7=7, A0,7); (2)解：：抛物线始终在直线y下方， 当a>0时，抛物线与直线有交点，不成立， 当a<0时，抛物线开口向下，与直线没有交点， .·2x+7=ax2+3x+6, .ax2+x-1=0, △=1+4a<0, :a<-4 1 (3)解：：直线BD∥y且过点Bx,0), ·直线BD解析式为y=2(x-x), xD=X1+4, yp=8, 2/50 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 So号8co=32, BC=8, :当a>0时，BC<xD-xa=4不成立， .a<0, 如图， M 则△BCD为等腰三角形，BD=CD, 根据抛物线的对称性可知，点D为抛物线顶点， :点A、B、C、D四点共圆， 设点M为BCD外接圆圆心 过D作DE⊥BC于E, ·点M在DE上， 连接BM, 在Rt△BME中，BM2=ME2+BE2, 解得半径BM=DE=5,ME=3, :点A(0,7),点D在第一象限内， ∴.M3,3), .B(-1,0),C(7,0),D3,8), 将B(-1,0),C(7,0),D3,8)代入抛物线y,=+bx+c得： 1 a-b+c=0 a-2 49a+7b+c=0,解得：b=3, 9a+3b+c=8 > C=- 2 1 7 ·y= 2r+3r+ 2-3y+8, 3/50 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1≤x<4, ∴.0≤y≤8， ∴⅓2最大值为8，y最小值为0. 2.(2024广东湛江一模)如图，ABC为O0的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B,AD为 OO的直径，过C作CG⊥AD交AD于E,交AB于F,交OO于G. (1)判断直线PA与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)求证：AG2=AB.AF. 【答案】(1)直线PA与⊙0相切，理由见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：直线PA与⊙0的位置关系：直线PA与⊙0相切， 理由：连接CD,OC,如图， ·AD为O0的直径， ∠ACD=90°， ∠D+∠DAC=90°. ∠B=∠D,∠PAC=LB, :ZD ZPAC ∠PAC+∠DAC=90°， ∠DAP=90°， OA⊥PA, :0A为00的半径， :直线PA与⊙0相切； 4/50 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：连接BG, D E！ A:AD为⊙O的直径，CG⊥AD, B G ·AC=AG, .LABG=∠AGC, ∠GAF=∠BAG, △AFG∽△AGB, AG AF AB AG ·AG=AB·AF. 3.(广东广州中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1：y=x+4分别与x轴，y轴相交于A、B 两点，点P(x,y)为直线I在第二象限的点 y个 B A O (1)求A、B两点的坐标： (2)设aPAO的面积为S,求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围； (3)作△PA0的外接圆⊙C,延长PC交⊙C于点Q,当△PO2的面积最小时，求⊙C的半径. 【答案】(1)A(-8,0),B(0,4)；(2)S=2x+16,-8<x<0:(3)4. 【详解】解：1)当=0时，0之+4，解得x=-8 A(-8,0) 1 当x=0时，y=。×0+4=4, 2 5150 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(0,4). (2)A(-8,0), 0A=8 点P在直线1：y=三x+4上， 21 1 1 SP0=04y2=x8×(x+4)=2x+ :点P在第二象限， “2+4>0,且x<0. 解得-8<x<0: (3)B(0,4), .0B=4. :⊙C为△PAO的外接圆， .∠PAO=∠PQ0,LP00=90°. tan∠PAO=OB-1 oA2=tan∠PQ0=0P 00 设0P=m,则O0=2m. 1 1 Sao=20P.00-2m2m=m. .当m最小时，△POQ的面积最小. 当OP⊥AB时，m有最小值，且OA为OC的直径. 044 即⊙C的半径为4. 4.(2025广东广州中考真题)如图，00的直径AB=4,C为B中点，点D在弧BC上，BD=BC,点 P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是() 6/50 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2+√7 B.2+2V5 C.3+√7 D.4+45 【答案】B 【详解】解：作点C关于AB的对称点C,连接CC,OD,CD,CP,记C'D交AB于点P,如图所示： D ..CP=C'P :O0的直径AB=4,C为AB中点， ÷点0在CC上，0C=0Dx4=2,∠C08=90, .CC'=AB=4, p-Bc. C0=0D, 则△COD是等边三角形， CD=0C=2, :CC'是直径， .∠CDC'=90° “DC'=VCC2-CD2=16-4=2V5, 则△PCD周长=CD+PD+CP=2+PD+CP≥2+P'D+CP'=2+C'D=2+2V5, :.△PCD周长的最小值是2+2√5， 故选：B. 提炼模型 定点定长构造辅助圆 核心结论：定点定长构造辅助圆的核心是“到定点的距离等于定长的所有点，必在以该定点为圆心、定长 7150 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为半径的圆上”，通过构造这个辅助圆，可将“线段长度固定”的条件转化为“圆上点的位置关系”，进而利 用圆的性质（如圆周角定理、点圆最值）解决角度计算、线段证明、最值求解等问题。 一、模型核心定义 定点：平面内固定不变的点（记为O),作为辅助圆的圆心。 定长：固定不变的线段长度（记为r),作为辅助圆的半径。 辅助圆：以定点O为圆心、定长r为半径作圆，所有满足“到O的距离=”的点，均在该圆上（圆的 定义直接推导)。 二、模型核心三要素 圆心O:明确的定点（题目直接给出或通过条件推导，如线段中点、角平分线交点)。 半径r:明确的定长（题目直接给出或通过计算得出，如己知线段长度、全等/相似推导的固定长度）。 圆上点：满足“到O的距离=r”的动点（记为P),P的轨迹即为辅助圆。 三、常见模型分类 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 (定长) C B 定长) D 0 A(动点 (定点) 0 定点) 特点 平面内，点0为定点，点 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C 将4BEF沿EF折叠，点E A为动点，且OA的长 是定点，点B的对应点为 度固定 点G 作法 定长) 定长 0 A(动点 (定点) (定点) 结论 点A在以点0为圆心， 点A,B,C均在 点B,C的运动轨迹分别是以点 点G的运动轨迹是以点 04长为半径的圆上运 ⊙0上 A为圆心，以AB,AC的长为半径 E为圆心，BE长为半径 动 的圆 的一段圆弧 8/50 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定弦定角构造辅助圆 核心结论：定弦定角构造辅助圆的核心是“固定弦长（定弦）+弦所对的固定圆周角（定角）”，满足条件 的圆周角顶点必在辅助圆上（定弦为圆内弦，定角为圆周角），通过构造外接圆可利用圆周角定理、弦长 公式解决角度计算、轨迹判定、最值求解等问题，核心逻辑是“定弦定角→定圆（半径、圆心固定）”。 一、模型核心定义 定弦：平面内长度固定的线段（记为AB,长度为a)。 定角：弦AB所对的圆周角为固定角度a(∠ACB=0,C为动点，a为定值，0°<<180°)。 辅助圆：△ABC的外接圆(A、B、C三点共圆)，AB为圆内定弦，a为弦AB所对的圆周角，圆心O 在AB的垂直平分线上。 二、模型核心三要素 定弦AB:长度a固定，是辅助圆的核心弦，决定圆的大小范围。 定角a:弦AB所对的圆周角固定，决定辅助圆的圆心位置（圆心角∠AOB=2α）。 辅助圆O:半径R固定(R=a(2sin)),圆心在AB的垂直平分线上，到A、B、C三点距离均为R。 三、常见模型分类 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 C 特点 在△ABC中，己知AB的长，点 在△ABC中，已知AB的长，点C 在△ABC中，已知AB的长，点C C为动点，且保持∠ACB=90° 为动点，且保持∠ACB=a(a为锐 为动点，且保持∠ACB=a(a为钝角) 角) 动点 运动 360°-2a 轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB长 点C在以点0为圆心，圆心角为 点C在以点0为圆心，圆心角为 为直径的圆上运动 2a的优弧AB上运动（点0，C (360°-2a)的劣弧AB上运动（点 在AB同侧 O,C在AB异侧 9/50 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型运用 模型1.定点定长构造辅助圆 例1(2024湖北武汉：模拟预测)如图，半径为2，圆心角为90°的扇形0AB的弧AB上有一动点P,从点P 作PH⊥OA于点H,设△OPH的三个内角平分线交于点M,当点P在弧AB上从点A运动到点B时，点M 所经过的路径长是() B M H A.刀 B. C.√2π D.2π 【答案】B 【详解】解：如图，连接AM, :aOPH的内心为M, .∠MOP=∠MOA,∠MPO=∠MPH, ∠PM0=180P-∠MP0-∠M0P=I80-∠H0P+∠0PH), :PH⊥OA, .∠PH0=90°， ∠PM0=180-H0P+∠0PH=180-080-90)=13s, 又：0P=0A,0M为公共边， 而∠MOP=∠MOA, AOPM≌aOAM(SAS), .∠AM0=∠PM0=135°， 所以点M在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上； 过A、M、O三点作⊙0'，如图，连接O'A,O'O,在优弧A0取点N,连接NA,N0, 10/50