专题08 解直角三角形模型之拥抱模型与解直角三角形与其他问题综合（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦解直角三角形专题，覆盖拥抱模型（双直角三角形共边结构）及综合问题（与几何、实际应用、函数结合）两大中考核心考点，通过“模型提炼-方法归纳-真题精析-分层训练”四环节，帮助学生构建从单一模型到多知识点融合的解题体系，突破三角函数应用难点。 亮点在于“结构化建模”与“实战化应用”结合，如通过拥抱模型公共边桥梁作用培养几何直观，结合隧道限高架等真题场景发展模型意识。设计“基础模型识别-综合条件转化-限时真题演练”三步策略，配合分层例题（如测量问题、抛物线综合题），确保高效突破，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试能力。

专题08解直角三角形模型之拥抱模型与解直角三角形与其他问题综合 拥抱模型是解直角三角形的经典模型，核心是两个直角三角形共直角边或斜边，形成 “拥抱” 结构，通过公共边传递边长关系，借助三角函数（sin/cos/tan）直接计算。解直角三角形综合题常结合几何模型（全等、相似）或实际场景（仰俯角、坡度），关键是将非直角图形转化为直角三角形，再整合边长、角度关系求解。解题核心是找准公共边或转化桥梁，灵活运用三角函数与几何性质。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1解直角三角形模型之拥抱模型 5 模型2解直角三角形与其他问题综合 9 16 解直角三角形的拥抱模型与综合问题，均是依托勾股定理、三角函数定义解决复杂几何计算的核心思路，前者聚焦特定图形结构，后者侧重多知识点融合。拥抱模型以 “两个直角三角形共用一条斜边（或一组邻边），呈‘相向贴合’的拥抱状” 为特征，常见于桥梁支架、折叠图形、两直角三角形对接等场景，核心是通过公共边（斜边或邻边）建立三角函数等式，将两个三角形的边长、角度关联，快速求解未知量；解直角三角形与其他问题综合则是更宽泛的题型，常与相似三角形、全等三角形、四边形性质、函数图像等知识点结合，多以实际应用（如航海、测量、工程）或几何综合题形式呈现，解题关键是先拆分图形，识别直角三角形核心元素，再结合其他知识点补充条件，通过三角函数与勾股定理逐步推导。二者均需精准把握直角三角形的边角关系，前者结构固定易套用，后者需灵活整合多模块知识，是提升几何综合解题能力的重要内容。 1．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 2.（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 3．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 4.（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 解直角三角形模型之拥抱模型 模型核心特征 结构特点：图形中包含两个直角三角形，且这两个直角三角形共享一条公共边（该公共边多为垂直于水平面的线段，如建筑物的某段高度、山体的竖直高度等）。比如在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，边 BC 是两个三角形的公共边，这也是 “拥抱” 模型的核心连接纽带。 解题核心：以公共边为桥梁，先在一个直角三角形中利用已知角度和边长，通过正切、正弦、余弦等三角函数求出公共边的长度；再将公共边的长度代入另一个直角三角形，结合该三角形的已知条件，计算出目标未知量。 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 解直角三角形与其他问题综合 核心结论：解直角三角形综合题的本质是 “以直角三角形为工具，结合几何图形性质、实际场景或函数关系，通过三角函数（sin/cos/tan）建立边角联系”，解题关键是 “拆解图形→构造直角→锁定边角→联动已知条件（相似、全等、函数、勾股定理）→求解未知”。 一、解题通用步骤（所有综合题适用） 拆解图形：从复杂图形中分离出直角三角形（现成的或通过作垂线或水平线构造），标注已知边、角（含特殊角 30°/45°/60°）、公共边或相等角。 选择工具：根据已知条件选三角函数（用 tan，用 sin，用 cos），若有线段关系（和差、比例），搭配相似、全等或勾股定理。 建立等式：设未知量（通常设公共边或目标边为 x），通过三角函数或联动条件列方程（避免直接硬算，减少误差）。 验证结果：检查单位是否统一、特殊角值是否正确、结果是否符合实际场景（如长度为正、角度在 0°-90° 之间）。 二、常见综合类型（高频考点 + 解题逻辑） 1. 与几何图形综合（全等或相似、四边形、圆） 核心特征：腰三角形、四边形（矩形、菱形）、圆（圆周角、切线）结合，需利用图形性质构造直角（如等腰三角形作高、圆的切线垂直半径）。 解题逻辑：先利用图形性质转化条件（如矩形对边相等、圆周角定理得等角、相似得比例）。 构造直角三角形（关键一步），将非直角图形的边角转化为直角三角形的边角。 用三角函数或勾股定理建立关系，求解目标量。 2. 与实际应用综合（测高、测距、航海、坡度） 核心特征：以生活场景为背景（如测大楼高度、航海方位角、山坡坡度），含 “仰角、俯角、方位角、坡度（i = 对边或邻边）” 等关键词，需构造两个直角三角形（拥抱模型）。 解题逻辑：转化实际条件为几何语言（如 “北偏东 30°” 对应方位角、“坡度 i=1:” 对应 tanα=→α=30°）。 作水平线或垂直线，构造 “共公共边” 的两个直角三角形（拥抱模型核心）。 以公共边为桥梁，先求公共边，再求目标量（高度、距离、角度）。 3. 与函数综合（一次函数、二次函数） 核心特征：坐标系中，函数图像（直线、抛物线）与直角三角形结合，需通过坐标求边长或角度，或通过三角函数求坐标，再代入函数解析式。 解题逻辑：由函数解析式得关键点坐标（如一次函数与坐标轴交点、抛物线顶点）。 利用坐标计算线段长度（水平距离 =|x1-x2|，垂直距离 =|y1-y2|），构造直角三角形。 用三角函数求角度或未知坐标，再代入函数验证或求参数。 三、关键注意事项 三角函数勿选错：明确 “对边、邻边、斜边”，仰角或俯角对应 “竖直对边 + 水平邻边”，坡度对应 “垂直对边 + 水平邻边”。 特殊角优先用：30°/45°/60° 的 sin/cos/tan 值（如 sin30°=、tan45°=1）直接代入，减少计算量。 多步计算留中间量：不要过早取近似值（如≈1.732），最后一步再化简，避免误差。 构造直角是核心：无现成直角时，优先作 “垂直于水平线或竖直线” 的辅助线，快速形成直角三角形。 模型1.解直角三角形模型之拥抱模型 例1（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究化学实验中的数学问题． 【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处． 【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角． 【问题解决】 (1)求的度数； (2)铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵．． ∴ 由题意可知， ∴ （2）过点作，交的延长线于点， ∵试管的长为， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵ ∴ 即水槽的高度约为 例3（2025·广东肇庆·一模）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，． 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的长度约为． 例4（2025·广东深圳·三模）某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图    根据以上信息，解决下列问题： (1)求入射角的度数； (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，则， 由题意得：， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， ； （2）解：作于点，交于点，则的长度即为所求的高度，． 由题意得：四边形为矩形， ，，，， ， 由得， ， ， ． 答：看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高． 例5翼航模小组要利用一块边长为的正方形板切割出固定翼航模的机翼（四边形)，根据制作需要，应为，应为，但航模工作室没有量角器，只有可测量长度的直尺，同学们利用所学的锐角三角函数的知识，计算出和的长度，便可完成机翼的切割工序了，请写出计算过程．（参考数据：，，，，，) 【答案】和的长度分别为和 【分析】本题考查了正方形的性质、解直角三角形的应用，由正方形的性质可得，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：板是正方形， ∴，， ∴在和中，，， ∵，， ∴，， 答：和的长度分别为和． 模型2.解直角三角形与其他问题综合 例1（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米； (2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； （2）解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 例2（2025·广东·模拟预测）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；沿着方向走到处，用皮尺测得；在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．已知测角仪的高度为，点，，在同一水平直线上，求塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， ∵在中，  ， ， ∵在中， ， ∴． ， ∴． ∴． 即塔的高度为． 例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 例4（2025·广东深圳·二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． (1)求图中B到一楼地面的高度： (2)求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 【答案】(1)5m (2)10.4m 【详解】（1）解：过点B作于H 设 ∵的坡度为 ∴ ∴     在中，由勾股定理得：     解得： 答：B到一楼地面的高度为5m． （2）解：过点C作于F，过点D作于I，交BH于J，如图所示： 则，四边形、四边形是矩形， ∴，，，     由（1）知 ∴ ∴     在中，， ∴， ∴     ∴ 答：日光灯C到一楼地面的高度为10.4m． 1．（2025·广东广州·二模）在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动． 【小组1】查阅学校资料得知小树前的教学楼高度为24米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米． 【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米． (1)请根据小组1的数据求小树的高度； (2)请根据小组2的数据求小树的高度（结果保留整数，，）． 【答案】(1)4米 (2)4米 【详解】（1）解：根据题意可知，，米，米，米， ， ， ， 即大树高是4米． （2）如图，在中，，， ∵， ∴米． 即大树高是4米． 2．（2025·广东清远·二模）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米． 【答案】600 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， ， ， 解得：， （米）． 3．（2025·广东揭阳·模拟预测）春晚节目中，舞狮小女孩林熙悦格外引人注目．如图，在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且B、D、F在一直线上．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为1米，两桩的距离为2米．（，） (1)求的度数； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：如图，过C作交于M，交于N， ∵在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和， ∴， ； （2）解：如（1）图所示， ， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， 米， 米，， 设米， 桩与桩的高度差为1米， 米， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ， 解得， （米） （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 4．（2025·广东揭阳·三模）某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近似看作坡度为的斜坡）附近监测学生冲向食堂的情况．如图，监测点到地面的距离米，段为监测区域（在学生脚到达点开始到头顶离开上的点范围内可被监测到，忽略因姿势而影响学生的身高），从点处测得点的俯角为，米． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断该学生是否跑步冲下楼梯．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1)的长约为米 (2)的长度为4米 (3)该学生不是跑步冲下楼梯 【详解】（1）解：在中，， ，， 由勾股定理得， （米） 答：的长约为米； （2）解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点． 则四边形是矩形． 斜坡的坡度是，即， ，设， 则，． ， ， 在中，． ， 解得， ， （米） 答：的长度为4米． （3）解：过点作于点， 则， 又， ， ． ， ． （米）， 则， 答：该学生不是跑步冲下楼梯． 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，我校小钥将镜子放在距离篮球架底部D若干米的点C处，小怡站在点A处，低头恰好看到篮球架顶端E在镜子中的像与镜子上的标记重合，随后小怡抬头测得篮球架顶端的仰角为，若小怡的眼睛离地面的高度，，则篮球架的高度约为 （结果精确到，参考数据：）    【答案】 【详解】解：过作于，可得四边形是矩形 ，， 由反射得 设 ， 在中， ，则 解得， 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一处观测点A，米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为，，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为，且，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点B到水平地面的距离； (2)求“春笋大厦”的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：如图：过点B作，垂足为D， 由题意得：，， 在中，， ， 设米，则米， 米， 米， ，解得：， 米，米， 点B到水平地面NA的距离为米； （2）解：米，米， 米， 在中，， 米， 米， “春笋大厦”MN的高度为米． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 8．（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【答案】米 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G， 由题意得：，，米，米，， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， ， 解得：， （米），（米）， 米， 在中，， （米）， 米， 建筑物的高度为米． 9.（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 10．（广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，延长到F使得，连接， ∵点O是的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)闸门B没有打开，见解析． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 12．（2025·广东广州·三模）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要 米． 【答案】 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故答案为：． 13．（2025·广东·三模）综合与实践． 【主题】探究光折射与反射现象． 【素材】低功率激光灯、一面镀银的透明棱镜、量角器等． 【实验过程】物理兴趣小组在实验室使用相关素材进行光学实验．如图，是实验棱镜的横截面，其中，，，面镀银．一束光线从面上的点射入棱镜，在面上的点处发生一次反射后，从面上的点射出． 【实验重点】在实验过程中，仔细调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到相关线段长度和角度信息． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)若，且光线与平行，求的长； (2)若，经仪器测量得为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，， ， ，， ， ∴， ，，， ， ， 由反射定律可知，， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 答：的长约为． 14．（2025·广东佛山·三模）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.6米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，与篮板的夹角．求篮筐到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：，，，，） 【答案】篮框到地面的距离约为3.0米 【详解】解：由题意得：在中，， （米）， 如图，延长交射线于点，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， （米）. ，则， . 在中，（米）， （米）， 篮框到地面的距离约为3.0米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08解直角三角形模型之拥抱模型与解直角三角形与其他问题综合 拥抱模型是解直角三角形的经典模型，核心是两个直角三角形共直角边或斜边，形成 “拥抱” 结构，通过公共边传递边长关系，借助三角函数（sin/cos/tan）直接计算。解直角三角形综合题常结合几何模型（全等、相似）或实际场景（仰俯角、坡度），关键是将非直角图形转化为直角三角形，再整合边长、角度关系求解。解题核心是找准公共边或转化桥梁，灵活运用三角函数与几何性质。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1解直角三角形模型之拥抱模型 5 模型2解直角三角形与其他问题综合 9 16 解直角三角形的拥抱模型与综合问题，均是依托勾股定理、三角函数定义解决复杂几何计算的核心思路，前者聚焦特定图形结构，后者侧重多知识点融合。拥抱模型以 “两个直角三角形共用一条斜边（或一组邻边），呈‘相向贴合’的拥抱状” 为特征，常见于桥梁支架、折叠图形、两直角三角形对接等场景，核心是通过公共边（斜边或邻边）建立三角函数等式，将两个三角形的边长、角度关联，快速求解未知量；解直角三角形与其他问题综合则是更宽泛的题型，常与相似三角形、全等三角形、四边形性质、函数图像等知识点结合，多以实际应用（如航海、测量、工程）或几何综合题形式呈现，解题关键是先拆分图形，识别直角三角形核心元素，再结合其他知识点补充条件，通过三角函数与勾股定理逐步推导。二者均需精准把握直角三角形的边角关系，前者结构固定易套用，后者需灵活整合多模块知识，是提升几何综合解题能力的重要内容。 1．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 2.（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 3．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 4.（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 解直角三角形模型之拥抱模型 模型核心特征 结构特点：图形中包含两个直角三角形，且这两个直角三角形共享一条公共边（该公共边多为垂直于水平面的线段，如建筑物的某段高度、山体的竖直高度等）。比如在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，边 BC 是两个三角形的公共边，这也是 “拥抱” 模型的核心连接纽带。 解题核心：以公共边为桥梁，先在一个直角三角形中利用已知角度和边长，通过正切、正弦、余弦等三角函数求出公共边的长度；再将公共边的长度代入另一个直角三角形，结合该三角形的已知条件，计算出目标未知量。 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 解直角三角形与其他问题综合 核心结论：解直角三角形综合题的本质是 “以直角三角形为工具，结合几何图形性质、实际场景或函数关系，通过三角函数（sin/cos/tan）建立边角联系”，解题关键是 “拆解图形→构造直角→锁定边角→联动已知条件（相似、全等、函数、勾股定理）→求解未知”。 一、解题通用步骤（所有综合题适用） 拆解图形：从复杂图形中分离出直角三角形（现成的或通过作垂线或水平线构造），标注已知边、角（含特殊角 30°/45°/60°）、公共边或相等角。 选择工具：根据已知条件选三角函数（用 tan，用 sin，用 cos），若有线段关系（和差、比例），搭配相似、全等或勾股定理。 建立等式：设未知量（通常设公共边或目标边为 x），通过三角函数或联动条件列方程（避免直接硬算，减少误差）。 验证结果：检查单位是否统一、特殊角值是否正确、结果是否符合实际场景（如长度为正、角度在 0°-90° 之间）。 二、常见综合类型（高频考点 + 解题逻辑） 1. 与几何图形综合（全等或相似、四边形、圆） 核心特征：腰三角形、四边形（矩形、菱形）、圆（圆周角、切线）结合，需利用图形性质构造直角（如等腰三角形作高、圆的切线垂直半径）。 解题逻辑：先利用图形性质转化条件（如矩形对边相等、圆周角定理得等角、相似得比例）。 构造直角三角形（关键一步），将非直角图形的边角转化为直角三角形的边角。 用三角函数或勾股定理建立关系，求解目标量。 2. 与实际应用综合（测高、测距、航海、坡度） 核心特征：以生活场景为背景（如测大楼高度、航海方位角、山坡坡度），含 “仰角、俯角、方位角、坡度（i = 对边或邻边）” 等关键词，需构造两个直角三角形（拥抱模型）。 解题逻辑：转化实际条件为几何语言（如 “北偏东 30°” 对应方位角、“坡度 i=1:” 对应 tanα=→α=30°）。 作水平线或垂直线，构造 “共公共边” 的两个直角三角形（拥抱模型核心）。 以公共边为桥梁，先求公共边，再求目标量（高度、距离、角度）。 3. 与函数综合（一次函数、二次函数） 核心特征：坐标系中，函数图像（直线、抛物线）与直角三角形结合，需通过坐标求边长或角度，或通过三角函数求坐标，再代入函数解析式。 解题逻辑：由函数解析式得关键点坐标（如一次函数与坐标轴交点、抛物线顶点）。 利用坐标计算线段长度（水平距离 =|x1-x2|，垂直距离 =|y1-y2|），构造直角三角形。 用三角函数求角度或未知坐标，再代入函数验证或求参数。 三、关键注意事项 三角函数勿选错：明确 “对边、邻边、斜边”，仰角或俯角对应 “竖直对边 + 水平邻边”，坡度对应 “垂直对边 + 水平邻边”。 特殊角优先用：30°/45°/60° 的 sin/cos/tan 值（如 sin30°=、tan45°=1）直接代入，减少计算量。 多步计算留中间量：不要过早取近似值（如≈1.732），最后一步再化简，避免误差。 构造直角是核心：无现成直角时，优先作 “垂直于水平线或竖直线” 的辅助线，快速形成直角三角形。 模型1.解直角三角形模型之拥抱模型 例1（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 例2（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究化学实验中的数学问题． 【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处． 【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角． 【问题解决】 (1)求的度数； (2)铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，） 例3（2025·广东肇庆·一模）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 例4（2025·广东深圳·三模）某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图    根据以上信息，解决下列问题： (1)求入射角的度数； (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据：，，，） 例5翼航模小组要利用一块边长为的正方形板切割出固定翼航模的机翼（四边形)，根据制作需要，应为，应为，但航模工作室没有量角器，只有可测量长度的直尺，同学们利用所学的锐角三角函数的知识，计算出和的长度，便可完成机翼的切割工序了，请写出计算过程．（参考数据：，，，，，) 模型2.解直角三角形与其他问题综合 例1（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． (1)求的长； (2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 例2（2025·广东·模拟预测）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；沿着方向走到处，用皮尺测得；在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．已知测角仪的高度为，点，，在同一水平直线上，求塔的高度．（参考数据：，，） 例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 例4（2025·广东深圳·二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． (1)求图中B到一楼地面的高度： (2)求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 1．（2025·广东广州·二模）在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动． 【小组1】查阅学校资料得知小树前的教学楼高度为24米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米． 【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米． (1)请根据小组1的数据求小树的高度； (2)请根据小组2的数据求小树的高度（结果保留整数，，）． 2．（2025·广东清远·二模）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米． 3．（2025·广东揭阳·模拟预测）春晚节目中，舞狮小女孩林熙悦格外引人注目．如图，在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且B、D、F在一直线上．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为1米，两桩的距离为2米．（，） (1)求的度数； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 4．（2025·广东揭阳·三模）某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近似看作坡度为的斜坡）附近监测学生冲向食堂的情况．如图，监测点到地面的距离米，段为监测区域（在学生脚到达点开始到头顶离开上的点范围内可被监测到，忽略因姿势而影响学生的身高），从点处测得点的俯角为，米． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断该学生是否跑步冲下楼梯．（结果精确到米，参考数据：） 5．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，我校小钥将镜子放在距离篮球架底部D若干米的点C处，小怡站在点A处，低头恰好看到篮球架顶端E在镜子中的像与镜子上的标记重合，随后小怡抬头测得篮球架顶端的仰角为，若小怡的眼睛离地面的高度，，则篮球架的高度约为 （结果精确到，参考数据：）    6．（2025·广东深圳·三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一处观测点A，米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为，，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为，且，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点B到水平地面的距离； (2)求“春笋大厦”的高度． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 9.（2024·广东·二模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 10．（广东·模拟预测）如图，在中，，连接，点O是的中点，连接，则长（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 12．（2025·广东广州·三模）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要 米． 13．（2025·广东·三模）综合与实践． 【主题】探究光折射与反射现象． 【素材】低功率激光灯、一面镀银的透明棱镜、量角器等． 【实验过程】物理兴趣小组在实验室使用相关素材进行光学实验．如图，是实验棱镜的横截面，其中，，，面镀银．一束光线从面上的点射入棱镜，在面上的点处发生一次反射后，从面上的点射出． 【实验重点】在实验过程中，仔细调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到相关线段长度和角度信息． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)若，且光线与平行，求的长； (2)若，经仪器测量得为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，， 14．（2025·广东佛山·三模）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.6米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，与篮板的夹角．求篮筐到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：，，，，） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $