专题11 几何最值问题之将军饮马模型与几何最值问题之瓜豆原理模型（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦几何最值核心考点，覆盖将军饮马与瓜豆原理两大模型，构建“模型溯源-核心要素-解题步骤-真题应用”知识体系，通过考点梳理、方法归纳、分层训练突破转化思想与轨迹分析难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于“模型具象化+真题迁移”教学策略，如将军饮马通过轴对称转化折线为直线培养几何直观，瓜豆原理结合定角定比推导轨迹发展推理意识。设计广东模拟题实战训练与三级分层练习，5分钟模型识别速测强化应用能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生中考几何最值问题解题效率。

专题11几何最值问题之将军饮马模型与几何最值问题之瓜豆原理模型 将军饮马与瓜豆原理是几何最值核心模型，均通过转化条件求解最值。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短” 求解；瓜豆原理聚焦动点轨迹最值，从动点随主动点按 “定角定比” 运动，先确定主动点轨迹，再推导从动点轨迹，结合圆或直线性质求最值。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1几何最值问题之将军饮马模型 5 模型2几何最值问题之瓜豆原理模型 9 16 几何最值问题中的将军饮马模型与瓜豆原理模型，均是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是近现代几何教学与解题实践的产物，核心依托旋转变换的不变性，针对 “双动点联动” 场景，归纳出 “定旋转中心、定旋转角、定比例” 的动点关联规律，形象化表述为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，将动态最值转化为静态的点到轨迹距离最值，其理论根基是图形变换的性质，经教研人员系统整理后，成为破解复杂双动点最值问题的高效模型。二者均以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 1．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【解决问题】 （）当三点共线时路程最短的依据是 ； 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． 2．（广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 几何最值问题之将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 一、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 二、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 三、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 模型1.几何最值问题之将军饮马模型 例1（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 例2 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 例3综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 例4龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为　 　； (2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　； (3)代数应用：代数式（0≤x≤6）的最小值为　 　； 例5唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．    (1)观察发现 如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短． 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______． (2)实践运用 如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值． (3)拓展迁移 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值． 模型2.几何最值问题之瓜豆原理模型 例1（广东广州·模拟预测）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 例2（广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． 例3（广东江门·一模）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP． ①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值． 例4（广东佛山·一模）如图，抛物线与轴交于、点（点在点的右侧），与轴交于点．连结，以为一边，点为对称中心作菱形，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点． （1）求点、、的坐标； （2）当点在线段上运动时，直线分别交、于点、．试探究为何值时，四边形是平行四边形； （3）当点在线段上运动时，是否存在点，使为直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例5（广东佛山·三模）如图1，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点为折痕与或的交点，点为折痕与或的交点），再将纸片还原．    (1)①当时，折痕的长为__________； ②当__________时，点与点重合． (2)当点与点重合时，在图2中画出四边形，求证：四边形为菱形，并求出菱形的周长； (3)如图3，若点在边上，点在边上，线段与相交于点；连接，，用含的代数式表示四边形的面积． 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 3．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 4．综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      5．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 6．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．3 7.（广东揭阳·一模）如图，已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； (3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 8．（广东深圳·二模）如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； (1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； (2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 9．（2025·广东茂名·二模）【问题背景】 如1图，矩形中，是边的中点，点在线段上，过作交于．设． 【知识技能】 （1）求证：； （2）如2图，点在线段上运动，当以、、三点为顶点的三角形与相似时，求此时的值； 【深入探究】 （3）如3图，以为圆心，为半径作，当与线段有交点时，求的取值范围． 10．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，点在线段上运动，绕点逆时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：当时，四边形是正方形； (2)若，为的外接圆，设的面积为． ①求的取值范围（结果保留）； ②连接，直线能否与相切，如果能，求的长度；如果不能，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11几何最值问题之将军饮马模型与几何最值问题之瓜豆原理模型 将军饮马与瓜豆原理是几何最值核心模型，均通过转化条件求解最值。将军饮马模型针对线段和差最值，核心是利用轴对称转化线段，将折线变为直线，依据 “两点之间线段最短” 求解；瓜豆原理聚焦动点轨迹最值，从动点随主动点按 “定角定比” 运动，先确定主动点轨迹，再推导从动点轨迹，结合圆或直线性质求最值。解题关键是识别模型特征，精准转化条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1几何最值问题之将军饮马模型 5 模型2几何最值问题之瓜豆原理模型 9 16 几何最值问题中的将军饮马模型与瓜豆原理模型，均是依托几何核心性质与转化思想，经解题实践归纳而成的经典模型，无单一独创文献，是理论应用与题型适配的共识性总结。将军饮马模型的来源可追溯至古代经典应用题，古人求解 “军营到河岸饮马再到营地” 的最短路径问题时，依托 “两点之间线段最短” 的基本公理与轴对称性质，通过作对称点将折线距离转化为直线距离，后经数学抽象提炼，形成标准化解题模型，成为解决定直线相关距离和差最值的核心工具。瓜豆原理模型则是近现代几何教学与解题实践的产物，核心依托旋转变换的不变性，针对 “双动点联动” 场景，归纳出 “定旋转中心、定旋转角、定比例” 的动点关联规律，形象化表述为 “种瓜得瓜，种豆得豆”，将动态最值转化为静态的点到轨迹距离最值，其理论根基是图形变换的性质，经教研人员系统整理后，成为破解复杂双动点最值问题的高效模型。二者均以 “化繁为简” 为核心，通过转化思想将抽象最值问题转化为直观线段关系，是初中几何最值问题的核心解题手段。 1．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？ 【分析问题】 如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的． 【解决问题】 （）当三点共线时路程最短的依据是 ； 【迁移应用】 （）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． 【答案】（）两点之间线段最短；（）①作图见解析；②元． 【详解】解：（）当三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求； ②过点作的延长线于点，则，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴最短路线千米， ∴铺设水管最节省的总费用为元． 2．（广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 【答案】 5 【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接 ∵点B和点关于AC对称， ∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°， ∴在△中，∠=90°， ∵点E为AB中点， ∴AE=， ∴， ∵PB=， ∴=+PE=， 故答案为：． （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O， 根据轴对称的性质可知，⊥AC， ∵，，∠AOB=90°， ∴BO=，∠=60°， ∴=2 BO=2， 在Rt△中，∠=60°， ∴∠=30°， ∴NB=， ∴， ∵BM=， ∴=+MN=， 故答案为：． （3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， 作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O， 根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=， ∵AB=4，=1， ∴=4，BO==1， ∴DO=3， 在Rt△中，， ∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， ∴，， ∵CP+DP =+DP==5， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 几何最值问题之将军饮马模型 核心结论：将军饮马模型的核心是 “利用轴对称转化线段”，将折线距离转化为直线距离（两点之间线段最短），解决 “直线上找一点，使该点到两定点的距离和 / 差最小” 的问题，核心逻辑是 “对称转化 + 线段最短”。 一、模型核心定义 核心场景：平面内有直线 l（如河流），定点 A、B（如将军营地、目的地），在 l 上找一点 P（饮马点），使 PA+PB 最小（或 | PA-PB | 最大）。 转化逻辑：通过作其中一个定点关于直线 l 的对称点（如 A 的对称点 A'），将 PA 转化为 PA'（轴对称性质：PA=PA'），则 PA+PB=PA'+PB，最小值为 A'B 的长度（两点之间线段最短）。 二、模型核心三要素 定直线 l：“河流”，是找点 P 的载体（P 在 l 上）。 两定点 A、B：直线 l 同侧或异侧的固定点（决定对称点的作发）。 对称点：作一个定点关于 l 的对称点，是转化线段的关键。 三、解题通用步骤 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 瓜豆原理模型 核心结论：瓜豆原理（“种瓜得瓜，种豆得豆”）是动点轨迹问题的核心模型，核心逻辑是 “一个主动点、一个从动点、一个定点，从动点随主动点运动时，满足‘定旋转角 + 定缩放比’，则两者轨迹形状完全相同（直线仍为直线，圆仍为圆），可通过旋转 + 缩放构造从动点轨迹，进而求最值”。 1、 模型核心定义 三大核心元素： 定点 O（旋转中心 / 缩放中心，固定不变）； 主动点 P（运动轨迹已知，如直线、圆）； 从动点 Q（随 P 运动，满足固定关系）。 关键约束关系（从动点的运动规则）： 定旋转角：∠POQ=α（α 为固定角度，旋转方向可顺时针或逆时针）； 定缩放比：OQ/OP=k（k 为固定正数，k=1 时仅旋转不缩放）。 核心性质：主动点 P 的轨迹与从动点 Q 的轨迹形状相同、位置相似（直线→直线，圆→圆），轨迹大小比为 OP:OQ=1:k。 2、 模型核心三要素 定点 O：明确旋转和缩放的中心（题目直接给出或隐含，如线段中点、固定顶点）； 约束关系：确定旋转角 α 和缩放比 k（题目直接给出或通过条件推导，如 “OQ=2OP”“∠POQ=60°”）； 主动点轨迹：已知 P 的运动轨迹（直线 l 或圆⊙O₁，需先明确轨迹类型）。 三、解题通用步骤 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 模型1.几何最值问题之将军饮马模型 例1（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 例2 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 例3综合与实践． 数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． (1)年世界数学家大会（）在北京召开，这届大会会标（如图）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图），它由个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题． 已知线段，点在线段上，，求的最小值，他们解决问题的思路是，如图，在线段的同侧构造了两个和，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程． (3)如图，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）解：． 证明：由图可知，，正方形的边长为 ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长到点，使，连接交于点，作，交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为， 即的最小值为； （3）解：过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 例411．龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点A、B，直线l与A、B的位置如图所示，点P是直线l上一动点，则PA+PB的最小值为　 　； (2)几何应用：如图3，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　 　； (3)代数应用：代数式（0≤x≤6）的最小值为　 　； 【答案】(1) (2) (3)10 【详解】（1）如图2，连接交于， 则的值最小， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图3，作点关于直线的对称点，连接， 则与直线的交点即为所求的，且的最小值为， 过作交的延长线于， 由题意得：，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （3）构造图形如图4，，，，于，于， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点关于的对称点，过作交的延长线于． 则，，， ， 代数式的最小值为10， 故答案为：10． 例5唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： 如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．    (1)观察发现 如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短． 作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______． (2)实践运用 如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值． (3)拓展迁移 如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)①；②点M的坐标为；周长的最小值为 【详解】（1）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：    则， ∵四边形为等腰梯形， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （2）解：取点A关于的对称点，连接、、、、，与交于点，当点P在点时，最小，且最小值为，如图所示：    ∵A关于的对称点，为直径， ∴点在上， ∵， ∴， ∵点A关于的对称点， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， 即的最小值为． （3）解：①∵抛物线的对称轴为，且抛物线经过， ∴抛物线与x轴的另外一个交点B的坐标为：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． ②连接交直线于一点，该点即为点M，连接，，如图所示：    ∵点A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， ∵，， ∴周长的最小值为； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点M的坐标为． 模型2.几何最值问题之瓜豆原理模型 例1（广东广州·模拟预测）如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过作， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵是等边三角形，，， ∴， 故选：D    例2（广东清远·二模）在等腰中，，等腰的直角顶点P是边上的一个动点，斜边交所在的直线于点Q，连接． (1)如图1，当时，①与的关系是__________；②推断：与的位置关系是__________． (2)当点P在线段上运动时，上述结论是否成立？请说明理由． (3)如图2，过点D作交的延长线于点C，过点E作交于点H，已知，，求的面积． 【答案】(1)相似，平行 (2)两结论都成立，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ， ， ， 则与的关系是相似； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则与的位置关系是：平行， 故答案为：相似，平行； （2）成立．理由如下： 等腰中，， ．， 等腰中，， ，， 又． ； 成立．理由如下： 在和中， ，． ． ， ， ， 又， ． ， ， ； （3），， 四边形为正方形． ， ． ， ， ， ，． ，， ， ， ． ， ， ． 例3（广东江门·一模）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)E（m，0）为x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP． ①点E在线段OA上运动，若△BPD直角三角形，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出m的值． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)①点E的坐标为（1，0）或（2，0），②m＝5或 【详解】（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0）， ∴0＝﹣3+n， ∴n＝3， ∴直线解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点B（0，3）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵ED⊥x轴， ∴∠PEA＝90°， ∴∠BDP＝∠ADE＜90°， 设点E（m，0），点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，﹣m+3）， ∴PD2＝（﹣m2+3m）2，BP2＝m2+（﹣m2+2m）2，BD2＝m2+（﹣m+3﹣3）2＝2m2， 当∠PBD＝90°时，BP2+BD2＝PD2， ∴m2+（﹣m2+2m）2+2m2＝（﹣m2+3m）2， ∴m＝1，m＝0（舍去） ∴点E的坐标为（1，0）， 当∠BPD＝90°时，BP2+PD2＝BD2， ∴m2+（﹣m2+2m）2+（﹣m2+3m）2＝2m2， ∴m＝0（舍去），m＝3（舍去），m＝2， ∴点E的坐标为（2，0）， 综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）； ②当点P在x轴上方时，如图1，连接BC，延长BP交x轴于N， ∵点A（3，0），点B（0，3）， ∴OA＝OB＝3， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B， ∴0＝﹣x2+2x+3， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴点C（﹣1，0）， ∴OC＝1， ∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠BAO＝∠PBD+∠BNO＝45°， ∴∠CBO＝∠BNO， 又∵∠BOC＝∠BON＝90°， ∴△BCO∽△NBO，   ∴， ∴， ∴ON＝9， ∴点N（9，0）， ∴直线BN解析式为：y＝﹣x+3， ∴﹣x+3＝﹣x2+2x+3， ∴x1＝0（舍去），x2＝， ∴点P的横坐标为， ∴m＝； 当点P在x轴下方时，如图2，连接BC，设BP与x轴交于点H， ∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°， ∴∠CBO＝∠OBH， 又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH， ∴△BOH≌△BOC（ASA）， ∴OC＝OH＝1， ∴点H（1，0）， ∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3， ∴﹣3x+3＝﹣x2+2x+3， ∴x1＝0（舍去），x2＝5， ∴点P的横坐标为5， ∴m＝5， 综上所述：m＝5或． 例4（广东佛山·一模）如图，抛物线与轴交于、点（点在点的右侧），与轴交于点．连结，以为一边，点为对称中心作菱形，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点． （1）求点、、的坐标； （2）当点在线段上运动时，直线分别交、于点、．试探究为何值时，四边形是平行四边形； （3）当点在线段上运动时，是否存在点，使为直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；（2）m=4；（3）存在两个这样的点，分别是， 【详解】解：（1）当时，，解得，， 点在点的右侧， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）由菱形的对称性可知，点的坐标为． 设直线的解析式为，则， 解得，． 直线的解析式为． 轴， 点的坐标为，点的坐标为． 如图，当时，四边形是平行四边形， ． 化简得：， 解得（不合题意舍去），． 当时，四边形是平行四边形． （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）． 若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图所示： ①以点Q为直角顶点． 此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点． ∵P在线段EB上运动， ∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点， 故此种情形不存在． ②以点D为直角顶点． 连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10， 由勾股定理得：AD=2 ，BD=4， ∵AD2+BD2=AB2， ∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q． ∴Q1（-2，0）； ③以点B为直角顶点． 如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y OK=x，BK=8-x． 易证△Q2KB∽△BOD， ∴，即 ，整理得：y=2x-16． ∵点Q在抛物线上，∴y= ∴=2x-16，解得x=6或x=8， 当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去； 当x=6时，y=-4， ∴Q2（6，-4）． 综上所述，符合题意的点Q的坐标为（-2，0）或（6，-4）． 例5（广东佛山·三模）如图1，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点为折痕与或的交点，点为折痕与或的交点），再将纸片还原．    (1)①当时，折痕的长为__________； ②当__________时，点与点重合． (2)当点与点重合时，在图2中画出四边形，求证：四边形为菱形，并求出菱形的周长； (3)如图3，若点在边上，点在边上，线段与相交于点；连接，，用含的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1)①5；②3 (2)证明见解析，周长为 (3) 【详解】（1）解：①折叠纸片，使点与点重合，得折痕， 当时，点与点重合，即为重合，重合， ， 故答案为：5； ②当点与点重合时，如图所示：    由折叠的性质可得：， 当时，点与点重合， 故答案为：3； （2）证明：根据题意画出图如图所示： ， 由折叠的性质可得：， 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形为菱形， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 菱形的周长为； （3）解：如图所示，作，交于， ， 则四边形为矩形， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ，， ， ， ， ， ，即， ， ． 1．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 2．（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 【答案】(1)D (2)50米 (3)10 【详解】（1）解：选：D， 理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接， 由轴对称的性质可得：， ，， 在中，， ， 故选：D． （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程． 过点作，与的延长线交于点， 则． 在中，米，米． （米）． （3）如图，设线段， 作，取，， 的值可看作的值． 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长． 作于点， ∴ 则， ， 的最小值为10． 3．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 4．综合与实践． 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连结，我只要说明． 请完整地写出小亮的求解过程． 【解决问题】（2）如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）      【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）根据题意可知：，， ，， ， ∴作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方； （2）如图所示． 5．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 6．（2025·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， 由题意可得是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴Q点的运动轨迹是射线， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为， 故选：A． 7.（广东揭阳·一模）如图，已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； (3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)m=2 (3)(3，2)或(－1，0) 【详解】（1）解：(1)设抛物线的解析式为， 把点C(0，2)的坐标代入， 得，解得 ∴抛物线的解析式为， 即． （2）∵点D与点C关于x轴对称， ∴点D(0，－2)，CD=4， 设直线BD的表达式为，把D(0，－2)，B(4，0)代入得， ， 解得， ∴直线BD的关系表达式为， 设M(m，)，Q(m，)， ∴QM=， ∴QM∥CD， ∴当QM=CD时，四边形CQMD为平行四边形， ∴， 解得m1=2，m2=0(不合舍去)， 故当m=2时，四边形CQMD是平行四边形； （3）在Rt△BOD中，OD=2，OB=4， ∴OB=2OD， 当以点B、M为顶点的三角形与△BOD相似时，分三种情况： ①若∠MBQ=90°时，△QPB∽△QBM，如图1所示， 当△QBM∽△BOD时，△QPB∽△BOD ∴即 ∴QP=2PB， ∵P(m，0)， ∴QP=，PB=4－m， ∴， 解得，m1=3，m2=4(不合舍去)， ∴m=3， ∴OP=3，PB=4－3=1 ∴PQ=2PB=3 ∴点Q的坐标为(3，2)； ②若∠MQB=90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合， ∴Q(－1，0) ③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°， 这种情况不存在， 综上所述，点Q的坐标为(3，2)或(－1，0)． 8．（广东深圳·二模）如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； (1)则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； (2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)AP=CE；90°； (2)，理由见解析； (3)12 【详解】（1）∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形 ∴AD = CD，DP = DE，∠ADC =∠PDE = 90°， ∴∠ADP+∠PDC =∠PDC +∠CDE= 90°， ∴∠ADP= ∠CDE， 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP=CE，∠DAP=∠DCE ∴∠PCE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠DAP = 90°， ∴AP与CE的夹角的度数是90°， 故答案为：AP=CE；90°； （2）， 理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形， ∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE = 90° ∴∠ADC+∠CDP =∠CDP +∠PDE ∠ADP=∠CDE 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP= CE ∵ΔADC是等腰直角三角形 ∴AC=CD ∴EC= AP=AC+CP=CD+CP； （3）如图，连接BD，CE， ∵四边形ABCD是正方形 ∴CD = AB = 2，AC⊥BD， ∵AB = 2，ΔACB是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知∠ACE = 90°， ∴， 由（2）可知，CE= CD + CP， ， ，   在RtΔCPE中，PE2 = CP2 + CE2 = 22 + 62 = 40， ∵ΔDPE是等腰直角三角形， ， ， ， 9．（2025·广东茂名·二模）【问题背景】 如1图，矩形中，是边的中点，点在线段上，过作交于．设． 【知识技能】 （1）求证：； （2）如2图，点在线段上运动，当以、、三点为顶点的三角形与相似时，求此时的值； 【深入探究】 （3）如3图，以为圆心，为半径作，当与线段有交点时，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）或；（3） 【详解】（1）证明： 矩形， ，， ， 又， ， （2）解：分二种情况： ①若，如2图， 则， ， ． ． ， 点为的中点， 中，， ， ， 即 ②若，如3图， 则，， ， 四边形ABEF为矩形， ， ， 即． 满足条件的的值为或 （3）如3-1图，当与相切时，设切点为，连接DG， ， ， ， ， ， ， ， 当过点时，如3-2图， 与线段有两个公共点， 连接，此时， 当过点时，如3-3图， 与线段有1个公共点，些时； 当以为圆心，为半径的与线段有公共点时，满足的条件：； 故答案为：． （方法不唯一，正确都给满分） 10．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，，，点在线段上运动，绕点逆时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：当时，四边形是正方形； (2)若，为的外接圆，设的面积为． ①求的取值范围（结果保留）； ②连接，直线能否与相切，如果能，求的长度；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②直线能与相切，此时的长度为4 【详解】（1）证明：如图， 由旋转的性质得：，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 又， 矩形是正方形． （2）解：①如图， 由（1）中的结论得，， ， 是等腰直角三角形，即，， ， ，即， 又， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， 为的外接圆， 点也在上， 又， 是的直径， ，， ， 点在线段上运动， 当时，有最小值；当点与点重合时，有最大值； 当时，由（1）中的结论得， 当点与点重合时，， ， ， 又， 的取值范围为． ②如图，设直线与相切，则， ，， ， ， 由①中的结论得，， ，， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 综上所述，直线能与相切，此时的长度为4． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $