第1章 培优课 集合（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的基本概念、关系、运算及综合应用，通过基础概念辨析例题（如元素互异性、子集关系判断）搭建知识支架，逐步过渡到集合运算（交并补及参数问题）、实际应用（Venn图解决人数统计）及创新问题（新定义“伙伴关系集合”），形成递进式学习脉络。 其亮点在于融合逻辑推理（如参数取值范围分析）、数学运算（集合对称差运算）及创新意识（新定义问题探究），采用“例题-规律方法-训练”模式，如例3用Venn图解析实际问题培养数学眼光，训练4结合新运算提升应用能力。助力学生深化知识理解与创新思维，便于教师高效开展培优教学。

培优课　集合 1 1.掌握集合的基本概念及关系（逻辑推理）. 2.会进行集合的综合运算（数学运算）. 3.能运用所学知识解决集合中的创新性问题（创新迁移）. 重点解读 一、集合的基本概念及关系 01 二、集合的运算 02 三、集合的综合应用 03 目录 四、集合中的创新性问题 04 课时作业 04 3 一、集合的基本概念及关系 01 PART 目 录 【例1】　（1）若U＝R，A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞1}，则（　B　） A. A⊆B B. B⊆（∁UA） C. （∁UA）⊆B D. B⊆A 解析：因为U＝R，A＝{x｜x＜0}，所以∁UA＝{x｜x≥0}，又B＝ {x｜x＞1}，故B⊆（∁UA），故B正确，C错误；易知－1∈A，－1∉B， 2∈B，2∉A，所以A、D错误. B 数学·必修第一册 目 录 （2）已知集合A＝{x｜－ ＜x－ ＜ }，B＝{x｜a＜x＜ }.若 B⊆A，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：由题意可得，A＝{x ｜0＜x＜ }.当a≥ 时，B＝⌀，满足B⊆A； 当a＜ 时，因为B⊆A，所以0≤a＜ .综上，实数a的取值范围是{a｜ a≥0}. {a｜a≥0} 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 判断两集合关系的两种常用方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集 合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系. 2. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间 的关系，进而转化为参数满足的关系. 数学·必修第一册 目 录 训练1　（1）已知集合U＝{（x，y）｜x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则 集合U中的元素的个数为（　C　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝ 0.所以U＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1， 0）}，共有5个元素. C 数学·必修第一册 目 录 （2）设a∈R，若集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，则a ＝ ⁠. 解析：因为集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，所以3∈{－1， a，a2＋2}，所以a＝3或a2＝1.当a＝3时，a2＋2＝11＞3不合题意，舍 去；当a＝－1时，不符合集合的互异性，舍去；当a＝1时，集合S＝{－ 1，a，a2＋2}中的最大元素为3.所以a＝1. 1 数学·必修第一册 目 录 二、集合的运算 02 PART 目 录 【例2】　设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}， C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}. （1）分别求A∩B，A∪（∁UB）； 解：A∩B＝{x｜2＜x≤3}，∁UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（∁UB）＝ {x｜x≤3或x≥4}. （2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围. 解：由B∩C＝C可得C⊆B，由题可得C≠⌀， 所以 解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 集合运算问题的关注点 （1）运算口诀：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切 记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集； （2）数形结合法：利用Venn图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问 题直观化. 　　提醒：要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解. 数学·必修第一册 目 录 训练2　（1）已知全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}，∁U（A∪B）＝{1， 5，6}，B＝{2，4}，则A∩（∁UB）＝（　B　） A. {－2，－1，0，3} B. {0，3} C. {0，2，3，4} D. {3} 解析：全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}＝{0，1，2，3，4，5，6}.又∁U （A∪B）＝{1，5，6}，所以A∪B＝{0，2，3，4}.又B＝{2，4}，所 以A∩（∁UB）＝{0，3}. B 数学·必修第一册 目 录 （2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝{x｜－ 2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（　D　） A. {x｜－2≤x＜4} B. {x｜x≤3或x≥4} C. {x｜－2≤x≤－1} D. {x｜－1≤x≤3} D 解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为（∁UA）∩B＝{x｜－ 1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}. 数学·必修第一册 目 录 （3）设全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1或x≥3}，集合B＝{x｜k＜x＜k ＋1，k∈R}，且B∩（∁UA）≠⌀，则（　C　） A. k＜0或k＞3 B. 2＜k＜3 C. 0＜k＜3 D. －1＜k＜3 解析：∵A＝{x｜x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x｜1＜x＜3}.若B∩ （∁UA）＝⌀，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩（∁UA） ≠⌀，则0＜k＜3. C 数学·必修第一册 目 录 03 PART 三、集合的综合应用 目 录 【例3】　某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或 游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球 又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 解析：设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%. √ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　解决此类以生活实际为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同 的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实 际问题求解. 数学·必修第一册 目 录 训练3　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学 至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26， 15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的 有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人. 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集 合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有 x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得 （26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－ x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小 组的有8人. 8 数学·必修第一册 目 录 四、集合中的创新性问题 04 PART 目 录 角度1　集合的新定义问题 【例4】　若x∈A，则－x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－ 2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 （　　） A. 31 B. 7 C. 3 D. 1 解析：　若x＝－2，则－x＝2；若x＝－1，则－x＝1；若x＝0，则－x ＝0，则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2， 2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为伙伴关系集合，共7个.故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 解决集合新定义问题的策略 （1）紧扣“新”定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题 的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集 合问题的关键所在； （2）按照新定义要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算，从而达到 解决问题的目的. 数学·必修第一册 目 录 角度2　集合的新运算问题 【例5】　定义A－B＝{x｜x∈A，x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－ A）叫做集合的对称差，若集合A＝{x｜ ＜x≤ }，B＝{x｜－1＜x＜ 3}，则A*B＝ ⁠. 解析：由题得A－B＝{x｜3≤x≤ }，B－A＝{x｜－1＜x≤ }，故A*B ＝（A－B）∪（B－A）＝{x ｜－1＜x≤ 或3≤x≤ }. {x｜－1＜x≤ 或3≤x≤ } 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规 则，这些运算规则类似于交集、并集、补集，要求按照此集合运算规则结 合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的. 数学·必修第一册 目 录 训练4　设集合A＝{－1，0}，集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}，若B中恰有2 个元素，且定义A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子 集个数是 ⁠. 解析：因为集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2， 所以B＝{0，1}，又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0， 1}，又A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{（0，－ 1），（0，0），（0，1）}，所以A*B的子集有23＝8个. 8 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为 （　　） A. 1 B. 1或0 C. 0 D. －1或0 解析：　因为－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}， 不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，得a＝1（舍去）或a＝0， 当a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－ 1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元 素共有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 解析：　由M＝{x｜－2≤x－1≤2}得M＝{x｜－1≤x≤3}，则M∩N ＝{1，3}，有2个元素. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 3. 给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S， x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合 中，不含“好元素”的集合共有（　　） A. 6个 B. 12个 C. 9个 D. 5个 解析：　要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好 元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5， 6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 4. 已知集合A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，且A∪B＝A，则实数m 的取值集合是（　　） A. {m｜m＞3} B. {m｜m≥3} C. {m｜m＜3} D. {m｜m≤3} 解析：　由A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，因为A∪B＝A，所以 B⊆A，则m≥3，即实数m的取值集合是{m｜m≥3}.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 5. 已知集合U＝{x∈N*｜x≤6}，A⊆U，且同时满足：①若x∈A，则 2x∉A；②若x∈（∁UA），则2x∉（∁UA），则集合A的个数为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 解析：由题得U＝{x∈N*｜x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A⊆U，由题意可知若1∈A则2∉A且4∈A，若1∉A则2∈A且4∉A，若3∈A则6∉A，若3∉A则6∈A，而元素5没有限制可5∈A或5∉A. 综上，集合A可为：{1，4，3}，{1，4，6}，{1，4，3，5}，{1，4，6，5}，{2，3}，{2，6}，{2，3，5}，{2，6，5}.所以集合A的个数为8.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－ 1，0，1，2}，则下列结论正确的是（　　） A. A∩B＝{0，1，2} B. A∪B＝{x｜x≥0} C. （∁UA）∩B＝{－1} D. A∩B的真子集个数是7 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：由题得A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－ ，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误；∁UA＝{x｜x＜－ ，x∈Z}，所以（∁UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕设集合M＝{x｜（x－a）（x－3）＝0}，N＝{x｜（x－ 4）（x－1）＝0}，则下列说法错误的是（　　） A. 若M∪N有4个元素，则M∩N≠⌀ B. 若M∩N≠⌀，则M∪N有4个元素 C. 若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠⌀ D. 若M∩N≠⌀，则M∪N＝{1，3，4} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 解析：由题得N＝{x｜（x－4）（x－1）＝0}＝{1，4}，若M∪N有4个元素，则集合M＝{x｜（x－a）·（x－3）＝0}＝{a，3}，且a∉{1，3，4}，∴M∩N＝⌀，故A错误；若M∩N≠⌀，则a∈{1，4}，∴M∪N＝{1，3，4}，∴M∪N有3个元素，故B错误，D正确；当a＝3时，满足M∪N＝{1，3，4}，但M∩N＝⌀，故C错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 8. 设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若 ∈A，则a＝ 　1或 　. 解析：由题意得A＝{－1，5}，则 ＝－1或 ＝5，解得a＝1或a＝ . 1或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 9. 设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜x≥1}，若A⫋C⫋B，写出 一个符合条件的集合C，则C＝ .（写 出一个即可） 解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，若A⫋C⫋B，则可有C＝ {x｜1≤x≤4}. {x｜1≤x≤4}（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 10. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同 学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组， 10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥 数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个 小组都参加的有3人，则该班学生人数为 ⁠. 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小 组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参 加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加 编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥 数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参 加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26. 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 11. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}. 求：（1）A∩B； 解：因为A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}，所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜0＜x≤3}＝{x｜0＜x＜2}. （2）∁U（A∪B）； 解：A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x≤3}＝{x｜－1＜x≤3}，∁U（A∪B）＝{x｜x≤－1，或x＞3}. （3）A∩（∁UB）. 解：A∩（∁UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x＞3，或x≤0}＝{x｜－1＜x≤0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 12. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜6}，B＝{x｜2m＋1≤x≤5m－2， m∈R}. （1）当m＝2时，求∁R（A∩B）； 解：当m＝2时，B＝{x｜5≤x≤8}，则A∩B＝{x｜5≤x＜6}， 故∁R（A∩B）＝{x｜x＜5，或x≥6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）若（∁RA）∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：由（∁RA）∩B＝⌀，得B⊆A， 因为A＝{x｜－2＜x＜6}， ①当B＝⌀时，有2m＋1＞5m－2，解得m＜1； ②当B≠⌀时，有 解得1≤m＜ . 综上得m＜ ，故实数m的取值范围是{m｜ m＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 13. 已知集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x｜（x＋1）（x2 ＋3x－4）＝0，x∈R}. （1）若b＝4，存在集合M，使得P⫋M⫋Q，求出这样的集合M； 解：当b＝4时，方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝（－3）2－4×1×4＝－7＜0，故P＝⌀，且Q＝{－4，－1，1}.由已知，M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4，1}，{－1，1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 （2）P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能， 请说明理由. 解：①当P＝⌀时，P显然是Q的一个子集，此时Δ＝9－4b＜0，∴b＞ ； ②当P≠⌀时，Q＝{－4，－1，1}，可以通过假设存在性成立来逐一验 证，从而判断b的取值. 当－1∈P时，（－1）2－3×（－1）＋b＝0，∴b＝－4，P＝{x｜x2－ 3x－4＝0}＝{－1，4}. ∵4∉Q，∴P不是Q的子集. 当－4∈P时，此时P＝{－4，7}，也不是Q的子集； 当1∈P时，此时P＝{1，2}，也不是Q的子集. 综上所述，b的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $