专题05 解三角形（高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

高频考点05 解三角形 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（5大命题点+9道高考预测题，高考必考·（10-17）分） 考点一 解三角形 考点一 正弦余弦定理基本应用 命题点1 正余弦定理的应用 命题点2 周长与面积问题 命题点3 三角形形状的判断 命题点4 实际应用 考点二 几何图形的计算 命题点1 中线问题 命题点2 角平分线问题 命题点3 高问题 考点三 最值与范围问题 命题点1 周长、面积范围问题 命题点2 锐角三角形问题 命题点3 坐标法 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 正弦余弦定理基本应用 正余弦定理的应用 周长与面积问题 三角形形状的判断 实际应用 高考对正余弦定理的考查以解答题为主，常结合三角形边角互化、面积公式命题。侧重考查定理的灵活选用：已知两边及对角用正弦定理，已知三边或两边及夹角用余弦定理。多与三角恒等变换、三角函数性质交汇，注重实际应用场景的融入。 几何图形的计算 中线问题 角平分线问题 高问题 高考解三角形几何图形计算，多以平面多边形为载体，常需分割图形为多个三角形。核心考查正余弦定理、面积公式的综合运用，侧重边角转化与方程思想。命题常结合三角恒等变换，部分题融入实际测量背景，注重逻辑推理与运算能力。 最值与范围问题 周长、面积范围问题 锐角三角形问题 坐标法 高考解三角形最值与范围问题，多以解答题中档题呈现。核心依托正余弦定理、面积公式，结合三角恒等变换转化为三角函数最值，或用基本不等式、函数单调性求解。常涉及边长、面积、角的范围，注重数形结合与转化思想，部分含参问题需分类讨论。 考点一 解三角形 《解题指南》 解三角形题核心是灵活运用正弦、余弦定理，按三步解题。 第一步，定定理：已知两角一边或两边及一对角，用正弦定理；已知三边或两边及夹角，用余弦定理。第二步，巧转化：结合三角形内角和、面积公式实现边角互化，化简求解。 第三步，验结果：特别注意正弦定理可能出现的多解情况，结合边长大小、角度范围舍去增解，确保答案符合三角形存在条件。 命题点1 正余弦定理的应用 【典例01】（2025年高考全国二卷数学真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 命题点2 周长与面积问题 【典例01】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 命题点3 三角形形状的判断 【典例01】（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【典例02】（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 命题点4 实际应用 【典例01】（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【典例02】（2025·全国·模拟预测）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 几何图形的计算 《解题指南》 1、分割补形，化整为零：将不规则多边形分割为多个三角形，或补形为直角三角形、特殊三角形，利用公共边、公共角建立各三角形间的联系。 2、定理联用，边角互化：在分割后的三角形中，结合已知条件选用正弦定理、余弦定理，实现边角关系的转化；搭配三角形面积公式辅助计算。 3、设元建模，方程求解：对未知边或角设未知数，根据定理列方程或方程组，通过代数运算求解；涉及实际问题时，注意单位统一与几何意义验证。 4、活用几何性质：利用直角三角形、等腰三角形等特殊图形的性质，简化计算步骤，提升解题效率。 命题点1 中线问题 【典例01】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【典例02】（2025·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 命题点2 角平分线问题 【典例01】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【典例02】（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且． (1)求的长； (2)求的面积． 命题点3 高问题 【典例01】（2025·陕西西安·二模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小： (2)若的周长为，求的边上的高. 【典例02】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【典例02】 考点三 最值与范围问题 《解题指南》 1、三角函数法：利用正余弦定理实现边角互化，将目标式转化为单一角的三角函数形式 ，结合角的取值范围，依据三角函数有界性求最值。 2、基本不等式法：针对边长和、积的最值，结合余弦定理构建等式，用基本不等求解，需验证等号成立时是否满足三角形三边关系。 3、函数单调性法：将目标量表示为某一变量的函数，结合变量定义域，利用导数或函数单调性确定最值，适用于含复杂代数式的情况。 4、数形结合法：借助三角形外接圆、几何图形特征分析，直观确定边长或角的范围，简化运算。 命题点1 周长、面积范围问题 【典例01】（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【典例02】（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 命题点2 锐角三角形问题 【典例01】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【典例02】（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别是，且. (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 命题点3 直接法与坐标法 【典例01】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【典例02】（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 高考预测题 1．在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 3．已知的面积为，，，则（   ） A． B．3 C．4 D．5 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 好题速递 1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 3．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·二模）在圆内接四边形中，，则 ，若，则的面积最大值为 ． 5．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若平分，点在线段上，且，求的长． 6．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，且． (1)求； (2)若，求的周长最大值． 7．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，. (1)求A； (2)延长至，使，求的值. 8．（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 9．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 10．（2025·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为且. (1)求A； (2)若，，求c的值. 高考闯关 1．（2025·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求； (2)若是的中点，，求的面积． 2．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于． (1)求的值； (2)若，求的周长． 3．（2025·江西·二模）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，. (1)若，求的面积； (2)求的周长的取值范围. 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，． (1)求； (2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求． 5．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2025·湖南·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，角的平分线交于点，且，求. 7．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 8．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 9．（2025·山东潍坊·二模）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积． 10．（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点05 解三角形 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（5大命题点+9道高考预测题，高考必考·（10-17）分） 考点一 解三角形 考点一 正弦余弦定理基本应用 命题点1 正余弦定理的应用 命题点2 周长与面积问题 命题点3 三角形形状的判断 命题点4 实际应用 考点二 几何图形的计算 命题点1 中线问题 命题点2 角平分线问题 命题点3 高问题 考点三 最值与范围问题 命题点1 周长、面积范围问题 命题点2 锐角三角形问题 命题点3 坐标法 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 正弦余弦定理基本应用 正余弦定理的应用 周长与面积问题 三角形形状的判断 实际应用 高考对正余弦定理的考查以解答题为主，常结合三角形边角互化、面积公式命题。侧重考查定理的灵活选用：已知两边及对角用正弦定理，已知三边或两边及夹角用余弦定理。多与三角恒等变换、三角函数性质交汇，注重实际应用场景的融入。 几何图形的计算 中线问题 角平分线问题 高问题 高考解三角形几何图形计算，多以平面多边形为载体，常需分割图形为多个三角形。核心考查正余弦定理、面积公式的综合运用，侧重边角转化与方程思想。命题常结合三角恒等变换，部分题融入实际测量背景，注重逻辑推理与运算能力。 最值与范围问题 周长、面积范围问题 锐角三角形问题 坐标法 高考解三角形最值与范围问题，多以解答题中档题呈现。核心依托正余弦定理、面积公式，结合三角恒等变换转化为三角函数最值，或用基本不等式、函数单调性求解。常涉及边长、面积、角的范围，注重数形结合与转化思想，部分含参问题需分类讨论。 考点一 解三角形 《解题指南》 解三角形题核心是灵活运用正弦、余弦定理，按三步解题。 第一步，定定理：已知两角一边或两边及一对角，用正弦定理；已知三边或两边及夹角，用余弦定理。第二步，巧转化：结合三角形内角和、面积公式实现边角互化，化简求解。 第三步，验结果：特别注意正弦定理可能出现的多解情况，结合边长大小、角度范围舍去增解，确保答案符合三角形存在条件。 命题点1 正余弦定理的应用 【典例01】（2025年高考全国二卷数学真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 又，所以. 故选：A 【典例02】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 命题点2 周长与面积问题 【典例01】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【解析】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 命题点3 三角形形状的判断 【典例01】（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 【典例02】（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A 命题点4 实际应用 【典例01】（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 【典例02】（2025·全国·模拟预测）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 如图所示，在中，，, 由正弦定理可得， 则， 在中，. 故选：D． 考点二 几何图形的计算 《解题指南》 1、分割补形，化整为零：将不规则多边形分割为多个三角形，或补形为直角三角形、特殊三角形，利用公共边、公共角建立各三角形间的联系。 2、定理联用，边角互化：在分割后的三角形中，结合已知条件选用正弦定理、余弦定理，实现边角关系的转化；搭配三角形面积公式辅助计算。 3、设元建模，方程求解：对未知边或角设未知数，根据定理列方程或方程组，通过代数运算求解；涉及实际问题时，注意单位统一与几何意义验证。 4、活用几何性质：利用直角三角形、等腰三角形等特殊图形的性质，简化计算步骤，提升解题效率。 命题点1 中线问题 【典例01】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【典例02】（2025·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长. 【解析】（1）在中，由正弦定理得，. 因为,，所以， 所以，即， 又，，则， 所以. （2）由（1）得，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故. 命题点2 角平分线问题 【典例01】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【典例02】（2025·湖北武汉·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，角的角平分线交于点，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【解析】（1）由，则， 因为，所以， 所以，则， 又是角的角平分线， 则在中，由余弦定理得 ，即. （2）由（1）知，则， 由，则， 又是角的角平分线，由， 则， 则，解得， 所以. 命题点3 高问题 【典例01】（2025·陕西西安·二模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小： (2)若的周长为，求的边上的高. 【解析】（1）因为， 所以， 结合正弦定理可得，即， 可得，因为，所以. （2）因为的周长为，所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以 又的面积，设边上的高为，所以 ，解得. 【典例02】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 【典例02】 考点三 最值与范围问题 《解题指南》 1、三角函数法：利用正余弦定理实现边角互化，将目标式转化为单一角的三角函数形式 ，结合角的取值范围，依据三角函数有界性求最值。 2、基本不等式法：针对边长和、积的最值，结合余弦定理构建等式，用基本不等求解，需验证等号成立时是否满足三角形三边关系。 3、函数单调性法：将目标量表示为某一变量的函数，结合变量定义域，利用导数或函数单调性确定最值，适用于含复杂代数式的情况。 4、数形结合法：借助三角形外接圆、几何图形特征分析，直观确定边长或角的范围，简化运算。 命题点1 周长、面积范围问题 【典例01】（2025·山东泰安·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【解析】（1）由正弦定理，因为， 所以，化简整理得， 由余弦定理，， ， ． （2）由（1）知，，由正弦定理可得， 面积， 又，， 又，其中， 当，即时，面积有最大值，为． 【典例02】（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）（方法1）由正弦定理，得， ， ， ， ，，， ，； （方法2）由余弦定理得， 代入已知得：， ，， ，； （2）方法1 由余弦定理，得. ， ，（当且仅当时等号成立）， 由于，， 周长的范围为. （方法2转化为三角函数最值） 由正弦定理， 得，， ， ， ，，，， ，， 周长的取值范围为. 命题点2 锐角三角形问题 【典例01】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形且，求的取值范围． 【解析】（1）由，则， 则， 根据正弦定理得，， 因为，所以，则， 又，所以. （2）由正弦定理得，， 则，， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以， 设，， 则， 所以时，． 【典例02】（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别是，且. (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 即，由，得，又， 因此，即，由，得， 解得， 所以由正弦定理得. （2）在为锐角三角形中，由（1）得，则， 由正弦定理得， 所以的取值范围是. 命题点3 直接法与坐标法 【典例01】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【解析】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 【典例02】（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【解析】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 高考预测题 1．在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 设，因为平分， 所以， 因此有.，其中，由余弦定理可知： ①， ②， 由①，②可知，故. 故选：D 2．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 3．已知的面积为，，，则（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由，得， 所以的面积为，解得， 在中，由余弦定理得，所以. 故选:B． 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 【解析】（1）设，则． 由余弦定理得， 所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由（1）知，又，所以． （3）若，则，得，与已知矛盾． 若，则， 所以化为，即， 整理得，即，解得． 好题速递 1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 2．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 【答案】AD 【解析】由可得，, 故,即， 对于A，，A正确， 对于B，由于，故，其中为边上的高，B错误， 对于C，由可得， 即，故， 故，当时，，故不是的最小值，故C错误， 对于D， ，， 故 ，其中锐角满足， 因此的最大值为，即 令则，故，因此最大值为，D正确， 故选：AD 3．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简得，又， 所以，故选项A正确； 由得， 所以，所以，故选项C正确； ，故选项B错误； 由及正弦定理得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，所以，故选项D正确. 故选：ACD 4．（2025·山东滨州·二模）在圆内接四边形中，，则 ，若，则的面积最大值为 ． 【答案】 【解析】在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，所以， 所以；所以是四边形外接圆直径，， 设，则， 在中，， 由正弦定理得，即， 在中，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 5．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若平分，点在线段上，且，求的长． 【解析】（1）由正弦定理得， 又，故， 即 ， 所以，即， ． 又，故，所以，由正弦定理可得． （2）因为，由（1）得．由平分，得， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ，故， 两式相除得． 设，由余弦定理， 在中， 所以①． 在中，， 所以②． 又，②①得，则， 所以． 6．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对应的边分别是，且． (1)求； (2)若，求的周长最大值． 【解析】（1）方法1：由，得， 可得到， 根据射影公式得，则，即， 因，所以． 方法2：由法一知， 由正弦定理得，即． 因为，所以，故． 又，所以． （2）因为（1）知，由余弦定理得， 即． 由基本不等式，代入上式， 所以，即，得到（取得等号）， 又，故的周长的最大值是6． 7．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，. (1)求A； (2)延长至，使，求的值. 【解析】（1）由得， 所以根据余弦定理得，，则. （2）如图： 因为，所以，则是正三角形，所以， 在中，根据正弦定理，由题意， 得，所以. 8．（2025·全国·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【解析】（1）由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. （2）因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 9．（2025·全国·二模）的内角的对边分别为 (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 【解析】（1）由得， 因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为三角形的面积为，所以，所以， 由余弦定理知，即， 所以，故， 所以三角形的周长为. 10．（2025·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为且. (1)求A； (2)若，，求c的值. 【解析】（1）由正弦定理边化角得：， 再由三角形内角和定理得：， 代入可得：，因为，所以， 又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 再由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 所以 高考闯关 1．（2025·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求； (2)若是的中点，，求的面积． 【解析】（1）由及正弦定理得， 由及余弦定理得，，所以，由正弦定理得， 所以. （2）是的中点，在中，，， 由余弦定理得，， 所以，则， 所以的面积为. 2．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【解析】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意可得，即， 由正弦定理得，又， 所以． （2）由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以， 所以的周长为． 3．（2025·江西·二模）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，. (1)若，求的面积； (2)求的周长的取值范围. 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 又，即， 展开可得， 即，即， 又，所以，且， 所以为等边三角形， 则. （2）由正弦定理可得 ， 又因为为锐角三角形，则，解得， 则， 其中， 所以， 所以的周长. 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，． (1)求； (2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求． 【解析】（1）由余弦定理得， 则． 由正弦定理得， 则，解得． （2）设，，则b与c的夹角为，且， 因为AM，BN为中线， 所以有，， 于是， 则， ， 则． 又 ， 所以． 5．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． （2）由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． （3）因为，所以，故． 所以． 所以 ． 6．（2025·湖南·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，角的平分线交于点，且，求. 【解析】（1）由，平方得 可得，且， 所以． （2）因为，， 在中，由正弦定理可得：， 所以，，所以， 所以， 因为角的平分线交于点，， 所以，所以，所以, 由余弦定理得，所以． 7．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【解析】（1）由题意可知：， 结合成等差数列，可得， 所以， 不妨设最小，且， 由于，故为的外接圆圆心， 则， 故的周长 ， 故当时，此时周长最大，且最大值为， （2）设，由，， 则，， 在直角三角形中，， 在中，由正弦定理可得， 则，整理得， 所以， 解得，所以. 8．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 【解析】（1）因为，由正弦定理得：①， 因为，所以. 故①式可变形为， 即， 化简得：，因为，所以，故. 因为，故. （2）设外接圆的半径为， 由正弦定理得：，则，，， 又，故得， 由（1）知，故，则， 由余弦定理得：，即， 则，当且仅当时等号成立， 设边上高为，由三角形的面积公式得：，即. 故边上高的最大值为. 9．（2025·山东潍坊·二模）在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若外接圆的半径为，且，求的面积． 【解析】（1）因为 由正弦定理得． 所以， 因为，所以． 所以． 因为，所以， 因为，所以． （2）因为外接圆半径为， 由正弦定理得，由（1）知，即，所以， 由余弦定理得，所以， 因为，代入上式得． 因为，所以，则，所以． 10．（2025·云南昆明·二模）在中，，，． (1)求； (2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长． 【解析】（1）由余弦定理知：，解得， 由正弦定理可知，则． （2）因为， 则， 故，则为锐角，又点在外接圆上，所以， 故，则，， 则的周长为． 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $