专题04 三角函数及其应用（高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 三角函数及其应用 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（4大命题点+4道高考预测题，高考必考·（10-15）分） 考点一 同角三角函数关系 命题点1 同角三角函数关系 考点二 三角恒等变换 命题点1 给角求值 命题点2 给值求值 命题点3 给值求角 考点三 三角函数图象及性质 命题点1 伸缩变换 命题点2 的取值与范围问题 命题点3 三角函数图象及性质综合应用 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 同角三角函数关系 同角三角函数关系 常以选择、填空题的形式出现，侧重考查同角关系. 三角恒等变换 给角求值 给值求值 给值求角 常以选择、填空题的形式出现，侧重公式灵活变形、角的配凑技巧，多为中低档题，兼具运算与逻辑推理，强调对转化思想的应用. 三角函数图象及性质 伸缩变换 的取值与范围问题 角函数图象及性质综合应用 常以选择、填空题的形式出现，侧重考查图象平移伸缩变换、奇偶性、单调性、周期性、最值，常结合三角恒等变换。 考点一 同角三角函数关系 《解题指南》 注意公式活用。牢记同角三角函数基本关系、诱导公式，熟练运用和差倍半公式进行恒等变形，化简时优先统一角、统一函数名，比如将异名函数化为正弦余弦，将复角拆为单角。 命题点1 同角三角函数关系 【典例01】（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 考点二 三角恒等变换 《解题指南》 1、公式熟记：牢记和差角、二倍角、辅助角公式，明确公式正向、逆向及变形用法。 2、角的配凑：观察已知角与未知角关系，通过拆角、凑角转化，如，减少未知角数量。 3、函数统一：利用公式将不同名三角函数化为同名，如切化弦，或通过辅助角公式整合。 4、范围关注：化简求值时，结合角的范围确定三角函数值符号，避免漏解。 命题点1 给角求值 【典例01】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 命题点2 给值求值 【典例01】（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 命题点3 给值求角 【典例01】若锐角、满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·高三·安徽·期中） ． 考点三 三角函数图象及性质 《解题指南》 1、图象变换抓要点：平移遵循 “左加右减、上加下减”，针对 x 本身调整；伸缩变换注意系数影响周期，中周期 。 2、性质分析定核心：求单调区间时，将代入正弦/余弦函数的单调区间，注意时需变号；最值问题结合振幅 A与定义域分析。 3、参数求解用数形：已知图象求解析式时，抓最高点、最低点或零点，结合周期列方程；含参问题需分类讨论参数对图象、性质的影响。 4、综合题抓交汇点：与三角恒等变换结合时，先化简函数为标准形式，再分析图象与性质。 命题点1 伸缩变换 【典例01】（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【典例02】（2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 命题点2 的取值与范围问题 【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【典例02】（2025·四川自贡·一模）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 命题点3 三角函数图象及性质综合应用 【典例01】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典例02】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 高考预测题 1．若,则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在极值点 B．关于直线对称 C．值域为 D．关于直线对称 4．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 好题速递 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·一模）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025·四川自贡·一模）若，则（   ） A．1 B．3 C．9 D．10 5．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 6．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B． C．在区间上既有极大值又有极小值 D．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数 7．（多选题）（2025·四川内江·一模）已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 8．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 9．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．则（   ） A．图象关于点对称 B．图象在上单调递增 C．在上有且仅有3个解 D．在上有6个极值点 10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 高考闯关 1．（多选题）（2025·山东·三模）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 2．（多选题）（2025·四川自贡·一模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期是 B． C．在单调递增 D．的图象关于点对称 3．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 4．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 5．（2025·山东·三模）已知，则 . 6．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． (1)求； (2)求函数在上的值域． 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求最小正周期； (2)求的单调递增区间与对称轴． 8．（2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 9．已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 10．（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数及其应用 内容概览 01命题探源·考向解密 02根基夯实·知识整合 03高频考点·妙法指津（4大命题点+4道高考预测题，高考必考·（10-15）分） 考点一 同角三角函数关系 命题点1 同角三角函数关系 考点二 三角恒等变换 命题点1 给角求值 命题点2 给值求值 命题点3 给值求角 考点三 三角函数图象及性质 命题点1 伸缩变换 命题点2 的取值与范围问题 命题点3 三角函数图象及性质综合应用 高考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+10道高考闯关题） 考点 考向 命题特征 同角三角函数关系 同角三角函数关系 常以选择、填空题的形式出现，侧重考查同角关系. 三角恒等变换 给角求值 给值求值 给值求角 常以选择、填空题的形式出现，侧重公式灵活变形、角的配凑技巧，多为中低档题，兼具运算与逻辑推理，强调对转化思想的应用. 三角函数图象及性质 伸缩变换 的取值与范围问题 角函数图象及性质综合应用 常以选择、填空题的形式出现，侧重考查图象平移伸缩变换、奇偶性、单调性、周期性、最值，常结合三角恒等变换。 考点一 同角三角函数关系 《解题指南》 注意公式活用。牢记同角三角函数基本关系、诱导公式，熟练运用和差倍半公式进行恒等变形，化简时优先统一角、统一函数名，比如将异名函数化为正弦余弦，将复角拆为单角。 命题点1 同角三角函数关系 【典例01】（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 【典例02】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 考点二 三角恒等变换 《解题指南》 1、公式熟记：牢记和差角、二倍角、辅助角公式，明确公式正向、逆向及变形用法。 2、角的配凑：观察已知角与未知角关系，通过拆角、凑角转化，如，减少未知角数量。 3、函数统一：利用公式将不同名三角函数化为同名，如切化弦，或通过辅助角公式整合。 4、范围关注：化简求值时，结合角的范围确定三角函数值符号，避免漏解。 命题点1 给角求值 【典例01】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【典例02】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 命题点2 给值求值 【典例01】（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 【典例02】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 命题点3 给值求角 【典例01】若锐角、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 整理得． 考虑单位圆模型，我们设， 则． 原等式的几何意义为圆上的点与直线有公共点， 可得，所以， 整理可得， 所以， 由于为锐角，故， 将代入得 ，即， 因为，所以，故，即，所以， 故选：C． 【典例02】（2025·高三·安徽·期中） ． 【答案】 【解析】 . 故. 故答案为：. 考点三 三角函数图象及性质 《解题指南》 1、图象变换抓要点：平移遵循 “左加右减、上加下减”，针对 x 本身调整；伸缩变换注意系数影响周期，中周期 。 2、性质分析定核心：求单调区间时，将代入正弦/余弦函数的单调区间，注意时需变号；最值问题结合振幅 A与定义域分析。 3、参数求解用数形：已知图象求解析式时，抓最高点、最低点或零点，结合周期列方程；含参问题需分类讨论参数对图象、性质的影响。 4、综合题抓交汇点：与三角恒等变换结合时，先化简函数为标准形式，再分析图象与性质。 命题点1 伸缩变换 【典例01】（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】依题意，得，得， 所以， ， 了得到的图象，需要将函数的图象, 需要将函数的图象向左平移个单位长度． 故选：A． 【典例02】（2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 故选：D. 命题点2 的取值与范围问题 【典例01】（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 【典例02】（2025·四川自贡·一模）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】函数，当时，， 由函数在没有零点，得，解得， 由，得是函数的周期，则， 解得，所以当时，取得最大值4. 故选：A 命题点3 三角函数图象及性质综合应用 【典例01】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【典例02】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 高考预测题 1．若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, ,, . 故选：B. 2．已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 3．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．存在极值点 B．关于直线对称 C．值域为 D．关于直线对称 【答案】D 【解析】对于A，当时，，故是函数的极值点，而是图象上的点，故错误； 对于C，由正弦函数的最值可知值域为，错误； 对于B，令，则，因为，所以直线不是函数的对称轴，错误； 对于D，令，则，因为， 所以直线是函数的对称轴，正确. 故选：D 4．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【解析】（1）由， 得的最小正周期为； （2）， 因为函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，所以当时，取到最小值. 好题速递 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知 满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，即 设，则； 由得到，即， 即，解得 ，所以； 故选：D 3．（2025·四川自贡·一模）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】函数，当时，， 由函数在没有零点，得，解得， 由，得是函数的周期，则， 解得，所以当时，取得最大值4. 故选：A 4．（2025·四川自贡·一模）若，则（   ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【解析】. 故选：C 5．（2025·陕西西安·二模）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】方法一：由正弦函数的单调性，令， 解得， 又在单调， 所以当时，，即， 解得，所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3. 故选：B 6．（多选题）（2025·陕西西安·模拟预测）函数的部分图象如图所示，，，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B． C．在区间上既有极大值又有极小值 D．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意得：将，代入可得： ， 因为，所以，解析式为 将代入可得：即， 又属于函数的单调递减区间， 所以，化简可得：，解得， 由已知函数的最小正周期大于，， 所以，故，所以， 此时解析式为：. 对于A，当，，由图象可知不单调递增，A选项错误. 对于B，，所以，B选项正确. 对于C，，，由图像可知既有极大值又有极小值，C选项正确. 对于D，的图象向左平移个单位为，为偶函数，D选项正确. 故选：BCD 7．（多选题）（2025·四川内江·一模）已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 【答案】BCD 【解析】当时，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 向左平移个单位长度得到， 化简得， ， ，故B正确； 当时， ， 又，得的值域为，故C正确； 令，得， 因为，，且， 所以， 存在正偶数，使得成立，当时，， 所以只需对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于， 所以， 解得：，故D正确. 故选：BCD 8．（多选题）（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．则（   ） A．图象关于点对称 B．图象在上单调递增 C．在上有且仅有3个解 D．在上有6个极值点 【答案】AC 【解析】函数的图象上所有点向左平移个单位， 得到， 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数． 选项A：因为，所以图象关于点对称，A正确. 选项B：当时，， 因为函数在上不单调， 所以在区间上不单调，故B错误. 选项C：，则即， 所以，所以， 所以，所以（），则（）， 解不等式，得，得， 对应、、，即在上有且仅有3个解，C正确. 选项D：令得（），得，（）， 解不等式，（），得，得， 对应、、、、，即在上有5个极值点，D错误. 故选：AC 10．（多选题）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，得， ， 则，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 高考闯关 1．（多选题）（2025·山东·三模）将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 2．（多选题）（2025·四川自贡·一模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期是 B． C．在单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】依题意，， 对于A，的最小正周期是，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，因此函数在取得最大值1， 在上不单调递增，C错误； 对于D，由，得的图象关于点不对称，D错误. 故选：AB 3．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】CD 【解析】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A，B错误； 对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 4．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 5．（2025·山东·三模）已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 6．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． (1)求； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）函数的最小正周期为， ∴函数的最小正周期，即， 又因为的图象与函数的图象重合， 所以，又， 所以，又， 所以. （2） ， 当时，， ∴ 7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求最小正周期； (2)求的单调递增区间与对称轴． 【解析】（1）函数，最小正周期； 由，又，得. （2），则， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，得， 所以的对称轴为. 8．（2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 【解析】（1）由，得.由，且，所以， 所以； （2）由， 所以 ， 所以的值域为， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由得， 由得，， 所以的递增区间为，递减区间为，. 9．已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【解析】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 10．（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中． (1)若，求图象的对称轴； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； 【解析】（1） ， 当时，． 令，得， 所以图象的对称轴为. （2）由（1），得， 所以， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以. 因为，所以， 又函数在区间上单调递增， 所以， 即，解得 所以，即 又，所以，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $