各位家长朋友们，亲爱的同学们，今天这节课我们来讲高中数学重难点题型视频系列专栏课的第五个题型，与集合和逻辑命题有关的开放性试题。这个开放性试题是不管是老高考地区还是新高考地区都有可能会考。所以说这一类题型，我们还是要来一道例题来看一看这里提醒的特点。大家还是一样的，可以先将视频暂停之后，再看一看我的推导过程。首先我们来看一下这个题，先告诉我们有一个这样的集合，TT等于M方减N方，其中MN都是ZZ是整数集。好，现在第一问是证明属于M的两个整数，以其集也属于M那我们就直接根据定义。所以说第一个我们可以这样来证，我们先写一个证明。我们可以。先。设T1等于M1方减去N一方，T2等于M2方减去32方。且现在是且M1M2、N1N2都是属于Z的。既然这样一设T1T2自然而然都属于M集合。因为它可以分解成两个整数的平方差的形式就可以了。好，下面我们来看一下集，为什么也是M因为T1乘T2就是我们现在来算一下这个T1乘T2好带进来，那就是M1的平方减去N1的平方乘以M2的平方减去N2的平方。当然了这里面方法很多，有同学直接展开可以没有任何问题。有同学说没有展开，直接用平方差公式画也是可以的，随便你。所以这里面我们直接展开，展开化简之后，就是M1方M2方减去M1方，N2方减去N一方，M2方加N1方N2方。好，这里面我们如果说想想要让这个TT2CM必须转化成一个整数的平方减去另外一个整数的平方。所以说这里面我们把13 2项，注意，我们把13 2项结合起来，13 2项结合起来就可以写成一次两项结合起来。14 2项我们可以写成M1方M2方加上一个N一方N2方，这两项结合起来，然后后面我们再减去同样的中间两项结合起来，我们提高负号出来，就是M1方N1N2方，然后再加上一个N一方M2方。好，这里如果说我要想构造成两个整数平方的形式，我们需要构造把它写成了完全平方式形式必须加上一个根据A方加B方加2AB等于A加B的平方，所以说必须构造一个二倍的M1M2N1N2。好，你这边加上一项就必须减去一项，所以说这一项也要再加上一个两倍的M1M2N1N才可以。这样的话刚好是两个完全平方式的形式，那就是M1M2加上一个N1N2的平方，减去M1N2，再加上N1M2。的批发，因为M1M2加上N1N2水晶，而且N1NM1N2主要这是M1N2加N1M2它也是属于热的，所以T1T2就属于M集合，所以说乘积也是属于M的。好，这是第一问。我们来看第二问。第二问说判断31 30 30 32 33 34是否属于M那这里面我们来看，因为32我们可以化为六的平方减去2的平方，所以32属于M那么33怎么来判断呢？我们来看假设。三十三它是可以拆成M方减N方，也就可以拆成两个整数层级的形式。它也是什么呢？属于M. 这个时候。我们来看一下M加N和M乘N我们知道如果对于M加N和M减NM加N和M减N他们的奇偶性必然是一致的。你可以看一下，比如说MVGNVG2个奇数相加是偶数，两个函数相减也是偶数。如果M是奇，N是偶，就是一个是奇一个是偶，那么奇加偶和奇减偶仍然是技术仍然是技术。所以说他们的奇偶性就是要么拆成两个偶数乘积，要么拆成两个奇数的乘积，结构性是一致的。那么对于33来讲的话，因为33是奇数，奇数的话它不能够拆成两个，就是两个偶数的形式。所以说在这里面跟G5性相矛盾，为什么呢？你看你们可以看一下，两个偶数不可能的，它只能拆成两个奇数。两个奇数。好。两个基数的话，对于33来拆来说的话，33可以拆成，它只能拆成1乘33，或者是拆成3乘11这样的两个。既然这样的话，我们可以看一下，对于M减N那只能取一，M加N取33，那这样的话就算出来算出来这个MN并不是正数。另外M加N如果说等于11，M减N如果是等于3，那两个一加一个是这样的话，一个是71个是四。所以说33可以拆成7的平方减去4的平方。我们看77 49 77 49，46，这样的话我们刚好猜出来它是33，它是这个是可以的，这个是可以的，故而它是成立的，所以说33也是可以的。大家注意，就用这种方法去判断。同样我们假设。34我们仍然可以拆成M加N乘以M减N的形式。那么你现在拆成两个偶数，因为它这个是偶数？偶数只能拆不能拆成一个奇数乘奇数的形式，只能拆成一个偶数乘以偶数的形式。就是说你在拆分的时候，要么是积乘积，你要么是偶数乘以偶数的形式。好，既然这样的话，我这个34我们只能拆成2乘以17。与我们所熟知的那个所推导的这样一个结论相矛盾，所以说它是不成立的，这种是不成立的，所以说34它并不属于M集合，刚才我们整理了这样的三个小的解题思路。就是说如果说简单的你能看出来，你就直接直接看出来。不能看出来的话，你就可以通过我们刚才的思路分析硬解，把它解出来。然后注意要么是两个用平方公式，要么两个都是奇，要么两个都是偶然。后像刚才的这个，如果是3和11的话，直接M加N等于11，M减N等于3。你看两式相加除以二得出M17。M17，那么N就是4，七七四十九减去16刚好是等于33，故三十三。它是属于这个M的。好，这是他们讲的一种最正规的一种思路，就是用先假设它可以，然后来判断它到底是不是属于M然后我们再看第三个，写出偶数2K属于M的一个充要条件。这种题型我们注意先写写完之后我们再证就可以了。比如说偶数属于M的一个充要条件了，那么这个通用条件为。黑莓豆腐。好，下面我们来证明一下。首先我们来证明。充分性。大家注意什么是充分性呢？充分性就是我要证明的这个偶数可以推出偶数2K属于M，所以说我们把K为偶数当做条件，因为K为偶数。我们可以设K等于2A其中这个。A. 属于Z我们知道2AAA属于Z的时候，2A就代表的是所有的偶数，那么则4K就是2K我们要说2K2K就等于2乘以2A等于4A。这个4A我们可以整理成A加一的平方减去A减一的平方，所以它肯定是属于M的。这样的话2K自然而然是成立的，这就证明了这充分性，我们写个得征，一步就完了。当然这里面要交代一下，A加一属于ZA减一属于Z更好，这个属于Z这个也是属于Z的那更好。我们再看一下必要性。这个必要性，我们首先。因为。2K是属于M的，其中的K属于Z，这个我们看怎么去进行的。所以我们首先根据这个定义，这个2K一定可以写成M方减去N方的形式，也就是它一定会等于M加N乘以M减N好，因为MN属于Z所以M加N与M减N刚才已经分析了具有相同的奇偶性。他们俩。肯定具备相同的奇偶性。既然具备相同的奇偶性，所以说M加N与M减N均为偶数。那只能两个都没有是吧？因为两个奇数乘积是奇数，既然是这样的话，所以说两个乘完之后，所以M加N乘以M减必然。是。四的倍数。2K必然可以写成2乘上一个2A的形式，其中A是属于Z的，也就是说它边是四的倍数。四的倍数的话我们就可以写成2乘上一个偶数的形式就可以了。所以其中我们所说的这个K一定是等于2A为偶数。好，这个就做完了。好，今天的这个课我们就上到这里，感谢大家的收看，下期视频我们再见。