期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 1. 译古为今：将古代问题的文言表述转化为现代数学语言，提炼已知量、未知量和等量关系。 2. 建模求解：设未知数，依据等量关系列一元一次方程，解方程后验证解是否符合题意。 例1．（24-25七年级上·吉林·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） 【答案】绳子长20尺，竿长15尺 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设绳子长x尺，则竿长尺，根据用绳去量竿，则绳比竿长5尺，若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设绳子长x尺，则竿长尺，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 答：绳子长20尺，竿长15尺． 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）列方程解应用题：我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方湊，玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四之一群，再把你的一只湊进来，才满只．”请问甲赶的羊一共多少只？ 【答案】甲赶的羊一共有只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲赶的羊一共有只，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设甲赶的羊一共有只， 由题意得， 解得：， 答：甲赶的羊一共有只． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 1. 理清公式：牢记核心关系式，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，折扣价=标价×折扣率，找准已知量和未知量。 2. 列方程求解：根据题目中的等量关系设未知数，代入公式列一元一次方程，求解后检验答案是否符合实际销售场景。 例2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 【变式2-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1) (2)购进甲种商品10件 (3)小明这天在该商场购买甲商品6件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据乙种商品每件的进价为40元，售价为60元，列出算式，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：乙种商品每件的利润率为： ； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得：， 解得 ， 答：购进甲种商品10件； （3）解：根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分为两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有， 解得 ， 检验：当时，购买甲商品的原售价为元，满足， 故符合题意； 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有， 解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，小明购买了甲种商品6件． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 1. 列全方案：梳理题目给出的所有计费、分配等规则，分别列出每种方案对应的代数式，明确各方案的适用条件。 2. 分类求解：分情况列一元一次方程，计算不同方案下的结果，再通过对比结果选择最优方案，最后验证解的合理性。 例3．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【答案】(1)七年级（1）班47人，（2）班58人 (2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元 (3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设七年级（1）班x人，根据题意可以得出，从而可以解答本题； （2）用（1）中求得的费用减去两班联合起来，作为一个团体购票的费用即可求解； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设七年级（1）班x人， ， 解得，， ∴， 答：七年级（1）班47人，（2）班58人； （2）解：（元）， 答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元； （3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元）， 如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元）， ∵， ∴七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者直接购买51张票最省钱． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 1. 找配套比例：明确两种或多种零件的配套比（如1:2），这是列方程的核心依据。 2. 设未知数表数量：设生产某类零件的人数或数量为x，用含x的式子表示其他零件数量。 3. 按比例列方程：根据配套比列等式，求解后检验结果是否符合实际生产情况。 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)该班女生的人数为 (2)有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解； （2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：该班女生的人数为； （2）设有名男生去支援女生， 由（1）可知，男生人数为（人）， 由题意得：， 解得：， 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 1. 定工作总量：通常设总工作量为1，再确定各主体的工作效率（效率=工作量÷工作时间）。 2. 抓等量关系：根据“各部分工作量之和=总工作量”列一元一次方程，求解后检验是否符合施工实际。 例5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单，甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件，乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件． (1)如果两个小组此月一共实际完成了件，那么此月人均定额是多少件？ (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】(1)此月人均定额是件； (2)此月人均定额是件． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决实际问题的关键是找相等关系． 设此月人均定额是件，则甲组完成的工作量是件，乙组完成的工作量是件，根据两个小组此月一共实际完成了件，列方程求解即可； 设此月人均定额是件，则甲组人均实际完成的工作量是，乙组人均实际完成的工作量是，根据两组工人此月人均实际完成的工作量相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得： 答：此月人均定额是件； （2）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得：， 答：此月人均定额是件． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为 (2)每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁 (3)一名徒弟一天的工钱是80元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； （2）结合（1）的结论计算即可； （3）设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元，根据“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为； （2）解：∵， 由（1）可知， 答：每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； （3）解：设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元， 由（1）、（2）可得：， 解得：． 答：一名徒弟一天的工钱是80元． 【变式5-2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【答案】(1)12（天） (2)5天 (3)31500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出乙公司单独完成此工程所需时间，再利用甲，乙公司同时获批合作完成所需时间甲，乙两公司的工作效率之和，即可求出结论； （2）乙公司还需要天可以完成此工程，利用甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量＝工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由甲，乙两家公司每天的雇佣费用间的关系，可求出甲，乙两家公司每天的雇佣费用，再利用完成此工程的总费用=甲公司每天的雇佣费用乙公司每天的雇佣费用，即可求出结论． 【详解】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天， 根据题意得：， 解得：， （天）， （天）， 答：如果甲，乙公司同时获批合作完成，需要12天完成； （2）乙公司还需要天可以完成此工程， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司还需要5天可以完成此工程； （3）乙公司每天的雇佣费用为（元）， 甲公司每天的雇佣费用为（元） （元） 答：完成此工程的总费用为31500元． 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 1. 牢记核心公式：掌握 路程=速度×时间 及变形公式，这是解题的基础。 2. 判断运动类型：分清相遇、追及、相向、同向等运动形式，找准路程和、路程差等量关系。 3. 设未知数列方程：设时间或速度为x，代入等量关系列方程，检验解是否符合实际。 例6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 【变式6-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． (1)若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； (2)上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 【答案】(1)600 千米 (2)600 千米 【分析】（1）设两市的距离为干米，则，两市的距离为千米，两市的距离为千米，利用时间二路程速度，结合上午用时比下午多小时，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设两市的距离为千米，则两市的距离为干米，两市的距离为干米，利用上午的路程 下午的路程到市的路程两市的距离，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设两市的距离为干米， 则两市的距离为千米，两市的距离为千米， 根据题意得：， 解得：． 答：两市的距离为 600 千米； （2）解：设两市的距离为千米，则两市的距离为千米，两市的距离为千米， 根据题意得：， 解得：． 答：两市的距离为 600 千米． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 【答案】(1)43， (2)甲、乙两地相距16公里 (3)5公里或者30公里 【分析】本题考查列代数式以及一元一次方程的解，理解题意是解题关键． （1）根据题信息，可以得知车费起步价里程费时长费，根据里程10公里，分别求出各项费用相加即可； （2）设甲乙两地的里程数为x，则行驶时间为分钟，分别求出网约车A和B的车费，再根据乘坐网约车A比网约车B节省元列出一元一次方程，解出x即可； （3）设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， 求出网约车A的车费为元，网约车B的车费则要分情况讨论，当时，车费为元；当时，车费为元，再根据乘坐网约车A、网约车B总费用相同列出一元一次方程，即可求出y． 【详解】（1）解：网约车A：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 网约车B：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 故答案为：43，； （2）解：设甲、乙两地间的里程数为x公里， 则行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费为元， ∵网约车A比网约车B节省元， ∴， 解得：， 答：甲、乙两地相距16公里； （3）解：设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费：当时，车费为元， 当时，车费为元， ∵乘坐网约车A、网约车B总费用相同， ∴或， 解得：或， 答：两位顾客乘车的里程数为5公里或者30公里． 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 1. 表示多位数：掌握数位表示法，若十位数字为a、个位为b，两位数可表示为10a+b，同理表示三位数等。 2. 抓等量关系：根据数字位置互换、和差倍分等条件找等量关系，设未知数列方程，求解后验证数字合理性。 例7．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)150； (2)不能，理由见解析 【分析】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果，可得这5个数的和；用a表示出其余4个数，再求和即可； （2）根据（1）中的代数式，结合题意列出a的方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：， 设正中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴十字框内5个数的和为：， 故答案为：150；； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得，， 解得，，不是整数， ∴十字框中的五个数之和不能等于2026． 【变式7-1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【答案】(1)60，20 (2)19，24 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由“幻和”的定义可得，幻和为，由图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数，继而； （2）根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等即可求解． （3）设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由“幻和”的定义可得，幻和为， 图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数， ∴， 故答案为：60，20； （2）解：由（1）可得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：19，24； （3）解：设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 化简得：， ∴． 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则在“三阶”幻方中有“幻方和”恰好是“中心数”的3倍． (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值： ②将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 【答案】(1)①；②； (2)不正确，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，是解题的关键： （1）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②观察幻方可知：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，然后列示计算即可． （2）设阴影方框的中央位置的数为．，根据题意，列出方程求出的值，进行判断即可． （3）根据每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等求出的值，再得出，进而可得出可能是10或．然后再计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得． 解得． ②根据题意，得． 解得． （2）解：不正确．理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为． 根据题意，得． 解得． 不存在阴影方框，其中央数字为21． 故该同学的说法不正确． （3）解：因为每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为， 所以， 解得； ， 解得． ，根据等式的性质，得． 又因为，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用）， 所以可能是10或． 所以或． 综上所述，的值为或． 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 1. 明确计分规则：先理清比赛胜、负、平对应的分值，以及总场次、总得分等已知条件，确定核心数量关系。 2. 设未知数列方程：设胜（或负、平）的场次为x，用含x的式子表示其他场次，根据总得分列方程，验证解的整数性（场次为正整数）。 例8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 【变式8-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的函数关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 【答案】(1) (2)， ，， (3)不能 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用； （1）由队可以看出，负一场积1分，队负了8场得8分，胜了14场得分，因此计算即可； （2）如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分=胜场得分+负场得分即可； （3）根据“胜场总积分能等于负场总积分的倍”列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵队可以看出，负一场积分， ∴根据队得分可得胜一场积分； 故答案为：2； （2）解：如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为； 故答案为：；；. （3）解：根据题意可得：， 解得：， 不是整数， 不能， 答：胜场总积分不能等于负场总积分的倍． 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 1. 牢记几何公式：掌握长方形、正方形、圆形等图形的周长、面积公式，这是列方程的关键依据。 2. 找几何等量关系：根据图形的边长、周长、面积的和差倍分等条件设未知数，代入公式列方程，检验解是否符合几何实际。 例9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【答案】(1)原正方形纸片的边长为 (2)正方形纸片剩余部分的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，解方程即可； （2）根据长方形的面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意，得， 解得，， 答：原正方形纸片的边长为7cm； （2）解：， 答：正方形纸片剩余部分的面积为． 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)t为4或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某工厂制作一款如图所示边长为的正方形装饰品，装饰品由四个三角形组成，分别采用甲，乙，丙，丁四种材料制作，点在上，点在上，，设的长为． (1)请用含的代数式分别表示下列各量． 甲面积是_____；乙面积是______； 丙面积是____；丁面积是______； (2)已知甲，乙，丙；丁四种材料单价分别为2元，元，元，元，若每块正方形装饰品的材料费用为96元，求的长； (3)若甲，乙，丙，丁四种材料单价分别为2元元元元（为常数）．要使每块正方形装饰品的材料费用不变，直接写出满足的数量关系以及每块正方形装饰品的材料费用． 【答案】(1) (2) (3)，54元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握三角形和正方形的面积计算公式是解题的关键． （1）求出、，再由三角形的面积公式分别计算甲、乙、丙的面积，根据正方形的面积分别减去甲、乙、丙的面积即可求出丁的面积； （2）计算每块面积乘以对应材料的单价之和即可； （2）计算每块面积乘以对应材料的单价之和并整理成关于的单项式与常数项之和的形式，令的系数为0，得到、的数量关系并求出常数项的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 甲面积是， 乙面积是， 丙面积是， 丁面积是． 故答案为：，，12，． （2）解：根据题意，得， 经整理，得， 解得， 的长是． （3）解：根据题意，得， 每块正方形装饰品的材料费用不变， ， ， （元． 答：，满足的数量关系为，每块正方形装饰品的材料费用为54元． 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 1. 抓日历规律：明确日历中上下相邻数差7，左右相邻数差1，据此用含未知数的式子表示相关日期数。 2. 依条件列方程：根据日期数的和、差等等量关系设未知数列方程，求解后检验日期是否在合理范围。 例10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【答案】(1)14； (2)小明的说法不对，理由见解析 (3)66 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，由，不符合题意，可得出假设不成立，即小明的说法不对； （3）观察图形，可得出符合题意的的各值，再将其相加，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；． （2）解：小明的说法不对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， ， ，不符合题意， 假设不成立， 即小明的说法不对； （3）解：图中符合为整数即,则b是5的倍数，且不造边的位置，则仅有3个“”字形框， 其中的值分别为17，22，27， ． 故答案为：66． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个日期之和不可能等于55，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据“T”字形的特征列式即可； （2）根据“4个日期之和等于55”列方程求解，然后判断是否实际意义即可． 【详解】（1）解： （2）解：若4个日期之和等于55 则                                                           观察月历表，发现日期11位于侧边      所以被框住的4个日期之和不可能等于55． 【变式10-2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)369； (3)不能等于2024；理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律探究，解一元一次方程，发现数阵中9个数之间的关系是解题的关键． （1）根据每列中上面一个数比下面的一个数大18即可用中间的一个数表示出上面和下面的那个数； （2）求出图中平行四边形框内的九个数的和，即可； （3）设中间的一个数为，用含的代数式分别表示其余的8个数，求出九个数的和，得到这九个数之和的规律；再根据这九个数之和等于2024列出方程，解方程求出的值，根据实际意义确定即可． 【详解】（1）解：∵设中间一个数为，则上面的一个数是，下面的一个数是， 故答案为：，； （2）解：图中平行四边形框内的九个数的和为：， 故答案为：369； （3）解：这九个数之和不能等于2024； 理由如下：设数阵图中中间的数为，则其余的8个数为，，，，，，，， ∴这九个数的和为： ， 依题意得， 解得． 因为不是整数，所以不存在． 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 1. 分清计费档位：明确水电费的分段计价规则，区分不同用量区间的单价，确定各档位的计费范围。 2. 按分段列方程：设总用量为x，根据分段费用之和等于总费用列一元一次方程，验证解是否匹配对应档位。 例11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 【变式11-1】（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号户名：，地址：。（2022.09.01—2022.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【分析】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 1. 表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的起始位置和运动速度、方向，用含t的代数式表示其在数轴上的对应数。 2. 根据条件列方程：依据两点间距离公式或位置关系（如重合、中点）列方程，求解后检验时间和坐标的合理性。 例12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点A、B、C是数轴上三点，点 A、B、C表示的数分别为、2、6，我们规定：数轴上两点之间的距离用字母表示．例如：点A与点B之间的距离，可记为． (1)写出 ，   ， ． (2)点P是A、C之间的点，点P在数轴上对应的数为x． 请直接写出 ， （用含x的式子表示）； (3)动点M、N同时从点A、C出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（）秒，求当t为何值时，点M、N之间相距2个单位长度？ 【答案】(1)12，4，16 (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是会用含有t的式子表示动点M和动点N所表示的数，正确的列出方程． （1）用右边的数减去左边的数即可； （2）用右边的数减去左边的数即可； （3）先用含有t的式子表示点M和点N表示的数，然后用含有t的式子表示点M和点N之间的距离，最后结合求得t的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：12，4，16； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，点M表示的数为，点N表示的数为， ， ∵点M、N之间相距2个单位， ， 或， 解得或， ∴当或时，点M、N之间相距2个单位长度． 【变式12-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：数轴上P，Q，M，N表示的数分别为p，q，m，n，且四个点互不重合．若点M到点P，Q中一个点的距离与点N到点P，Q中另一个点的距离之和等于点M与点N之间的距离，我们就称是的和距点对．例如，点P，Q，M，N表示的数分别为1，4，，3，则是的和距点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且a，b满足， (1) ， ； (2)点E，F，G，H表示的数分别为，0，5，9，找出的和距点对，并说明理由； (3)若点P从点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向左运动，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒．当为的和距点对时，求出t的值． 【答案】(1)，10 (2)，都是的和距点对．见解析 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a、b的值； （2）先确定，都是的和距点对，分两种情况根据两点之间距离及和距点对的定义即可求解； （3）分P在Q左侧，P在Q右侧B左侧，点 P在 点 B的右边三种情况分类讨论，根据新定义列出方程即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 故答案为：，10； （2），都是的和距点对．理由如下： ①当时， ∵，， ∴， ∴是的和距点对． ②当时， ∵，， ∴， ∴也是的和距点对． 综上，，都是的和距点对． （3）①当P在Q左侧时，点P表示的数是，点Q表示数为， 此时为的和距点对的条件为， 即， 化简得， ； ②当P在Q右侧，B左侧时 此时， （不符合题意，舍去）； ③当P在B右侧时 ； 综上所述，或． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江·期末）已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 【答案】（1）；（2）或；（3）秒或秒或秒 【分析】（1）根据偶点的定义，列方程求解即可； （2）根据题意，分两种情况，分别列方程求解即可； （3）根据题意，分四种情况分类讨论：①当点是的偶点时，；②当点是的偶点时，；③当点是的偶点时，；④点是的偶点时，；然后分别列方程求解． 【详解】（1）解：设点表示的数是， 点是的偶点，在点、之间， ，即， ，即点表示的数是． 故答案为：． （2）解：设点表示的数是， 依题得：或， 解得：或． 故答案为：或． （3）解：点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止， 若运动时间为，则动点表示的数为，，， 分四种情况讨论： ①当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ②当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ③当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ④当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）． 综上所述，当为秒、秒或秒时，、、中恰有一个点为其余两点的偶点． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据总人数不变列出方程． 【详解】设有x辆车，则： ∵ 每4人乘一车，剩余1辆车， ∴ 总人数为； ∵ 每2人乘一车，剩余8人无车， ∴ 总人数为； ∴ ． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件，根据题意列式计算即可得出结果． 【详解】解：设安排x名工人加工A部件，则有个工人生产B部件， 根据题意得：， 故选：D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——日历问题，列代数式，整式加减运算，根据图中5个数的位置及各个数之间的数量关系正确设出5个代数式表示的数是解题的关键．日历中，同行相邻两数右边的数比左边的数大1，同列相邻两数下面的数比上面的数大7．设图中框选的5个数分别为，通过列方程求解判断即可． 【详解】解：设图中框选的5个数分别为（为正整数），则， A.由得，，，五个数字之和可能为75，此选项不符合题意； B.由得，，，五个数字之和可能为100，此选项不符合题意； C..由得，，，五个数字之和可能为115，此选项不符合题意； D..由得，，，而，日历表中无32，五个数字之和不可能为120，此选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【答案】B 【分析】本题先根据绝对值与平方数的非负性求出、的值，再确定木棒和点在数轴上的位置表达式，最后分情况讨论点与木棒的位置关系来求解的值．本题主要考查了数轴上的动点问题以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握数轴上点的移动规律和绝对值、平方数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． ∵木棒从右端与点重合开始以每秒个单位长度向移动，出发秒后点才出发， ∴木棒移动的总时间为秒，木棒右端表示的数为，木棒左端表示的数为． ∵点从点出发，以每秒个单位长度向移动，移动时间为秒， ∴点表示的数为． 当点在木棒左侧个单位时， ， ， ， 解得． 当点在木棒右侧，距离木棒左端个单位时： ， 解得（舍去，因为）． 综上，． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）一件商品按成本价提高后标价，又以9折销售，售价为270元，此时这件商品的利润率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设这件商品的成本价是元，则两次变化后的价格为元，再建立方程求解得出，最后结合求利润率的公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设这件商品的成本价是元，则 解得： 这件商品的成本价是元. ∴ 故答案为： 7．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）有个连续的双数从小到大排列着，第二个数与第六个数的和是．这些排列的双数中，最小的一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第三个数为，则第一个数为，第二个数为，第六个数为，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】解：设第三个数为，则第一个数为，第二个数为，第四个数为，第五个数为，第六个数为， 根据题意得， 解得：， 最小的一个是， 故答案为． 8．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确地列出方程．设种萝卜的小长方形土地的长为，根据萝卜与白菜的总产量比为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设种萝卜的小长方形土地的长为，萝卜的单位面积产量为， 则：种白菜的小长方形土地的长为，白菜的单位面积产量为， 由题意，得：， 解得：； 种植萝卜的小长方形土地的长为； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费32元，则该职工这个月实际用水为 立方米． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据水费等量关系，可得一元一次方程，根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案． 【详解】解：设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意得 ， 解得， 故答案为：13． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，两个正方形分别由①、②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为，宽为的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面图形拼接中边长关系的分析与方程思想的应用；解题的关键是通过设未知数表示小长方形的边长，利用阴影正方形边长的两种不同表达式建立等量关系，进而求出阴影部分的面积． 设②规格小长方形的宽为未知数，根据其拼成的正方形边长确定长；结合大长方形的长和宽，用两种方式表示阴影正方形的边长并建立方程；求解方程得到未知数与 a、b 的关系，代入阴影正方形边长的表达式计算面积． 【详解】解：设②规格的长方形纸片的宽为，则由两个②规格的长方形纸片拼成的正方形的边长为， ∴阴影部分正方形的边长可表示为或． ． ． ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）小明和姐姐一起玩猜灯谜游戏，规定小明猜中一个得2分，姐姐猜中一个得1分，结果两人一共猜中了个灯谜，得分恰好相等．则小明猜中了多少个灯谜？ 【答案】个 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题设小明猜中个灯谜，则姐姐猜中个，列方程，然后即可求解； 【详解】解：设小明猜中个灯谜，则姐姐猜中个， 根据题意得：， 解得：， 答：小明猜中个灯谜． 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 【答案】应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】设安排名店员制作蛋糕，则安排名店员制作饮品，根据题意得， ， 解得：， 答：应该安排6名店员制作蛋糕，剩余的2名店员制作饮品． 13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 14．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房4间，到了63名房客 (2)诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可； （2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得， ∴（人）， 答：该店有客房8间，到了63名房客； （2）解：若每间房最多入住4人，得，则至少需要16间客房， ∵不低于10间但低于20间，给予九折优惠， ∴订16间房需要付（钱）， ∵等于20间或是超过20间的，给予七折优惠， ∴订20间房需要付（钱）， ∵， ∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算． 15．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)41 (2)169；5 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类． （1）根据题意可知，然后即可计算出相应的值； （2）根据规律可得是第个奇数，是第行，第5个数，可得到m、n的值； （3）设“”字第一行中间数为，由题意得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， 由表格可得 ∴， 故答案为：41； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， ∵， ∴是第个奇数， ∵， ∴是第行，第5个数， ∵， ∴，， 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下： 设“”字第一行中间数为， 由题意得， 解得， ∵47位于第4行最后一个数，所以不能与其他数构成“”字状， ∴所覆盖的4个数之不和能等于200． 16．（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）根据收费标准列式求解即可； （3）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为x吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 即需交水费元； 故答案为： （2）解：根据题意得：元， 即需交水费元； 故答案为： （3）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）； 如果一个月用水18吨，则需水费：（元）； ∵ ∴3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为x吨，依题意可得： ， 解得：． 答：小明家3月份用水量为25吨． 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 18．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)；50 (2)20件 (3)750元或850元 【分析】（1）根据题意，每件A种商品利润率为，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得，解方程即可； （2）设购进A种商品件，B种商品共件，根据题意，得，解方程即可； （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元，当时，根据题意，得； 当时，根据题意，得，解答即可； 本题考查了利润率，一元一次方程的应用，打折问题，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，每件A种商品利润率为， 设每件B种商品进价为x元，根据题意，得， 解得； 故答案为：；50． （2）解：设购进A种商品件，B种商品共件， 根据题意，得， 解得， 故购进A种商品20件． （3）解：根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为元， 当时，根据题意，得， 解得； 当时，根据题意，得， 解得， 小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 19．（24-25七年级上·全国·期末）数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)①能，秒；②能，点表示的数分别是，，， 【分析】（）根据点的位置可确定点表示的数，根据相反数的定义可确定点表示的数； （）根据两点间的距离公式解答即可； （）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程即可求解；②设点运动秒后，两点之间的距离为个单位，分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的左边与点在点的右边；点从点返回到点时，又分点在点的右边与点在点的左边，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴与有理数，相反数的定义，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点的距离为个单位长度，点在点的右侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∴答案为：，，； （2）解：由题意得，，， ∴答案为：，； （3）解：①能，理由如下： 在点向点运动过程中，设点运动秒追上点， 根据题意，得， 解得， 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动秒追上； ②点从点运动到点需秒， 设点运动秒后，两点之间的距离为个单位， 分两种情况： 点从点向点运动时： 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 点从点返回到点时： 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 综上所述，在点开始运动后，、两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数分别是，，，． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）某打印店为吸引顾客，推出大额打印优惠活动，有如下两种优惠方案： 方案一：花费30元，即可成为白金会员，白金会员可享受累计最多免费打印500张的权益，超出500张的部分按每张0.3元收费； 方案二：花费45元，即可成为黑金会员，黑金会员可享受累计最多免费打印750张的权益，超出750张的部分按每张元收费． 注：①每位顾客只能选择其中一种方案成为会员； ②以上优惠活动仅限于打印单面纸张，以下均默认打印的是单面纸张． (1)当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付______元；若按方案二收费，需支付______元（用含的代数式表示）； (2)若顾客乙按方案一打印共支付费用42元，求他共打印了多少张； (3)当时，设顾客丙的打印量为张，若他选择方案一和方案二的收费相等，请求出的值． 【答案】(1)120； (2)540张 (3)550或1000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出或用含n的代数式表示出选择两种方案所需费用；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用按方案一所需费用（顾客甲的打印量），即可求出结论；利用按方案二所需费用（顾客甲的打印量），即可用含n的代数式表示出按方案二所需费用； （2）设顾客乙共打印了x张，根据按方案一打印共支付费用42元，列方程求解即可； （3）分及两种情况，根据选择方案一和方案二的收费相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付（元）； 若按方案二收费，需支付（元）． 故答案为：120；． （2）解：设顾客乙共打印了x张，根据题意，得 ， 解得：， 答：顾客乙共打印了540张． （3）解：根据题意，得 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：x的值为550或1000． 21．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某中学七年级学生在数学课上用所学的数学知识，分小组提出问题，请你解决下面3个小组提出的问题．（列一元一次方程解答） 制作横式无盖长方体纸盒 小组1 如图1，长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的体积是． 问题1 （1）求大长方形的宽x是多少； 小组2 如图1．长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的底面小长方形的周长是． 问题2 （2）求大长方形的宽x是多少； 小组3 如图2，现有20张长为的硬纸板，用每张硬纸板恰好制作3张长方形纸板，或者恰好制作6张正方形纸板． 问题3 （3）若20张长为的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）． 【答案】（1）；（2）；（3）用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）先求出无盖的长方体纸盒的长、宽、高，再利用长方体的体积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出无盖的长方体纸盒的底面小长方形的长与宽，再利用长方形的周长公式建立方程，解方程即可得； （3）先求出制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为，再设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板，总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板，然后得出制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：大长方形的宽是． （2）由题意得：， 解得， 答：大长方形的宽是． （3）由题意可知，每张硬纸板的宽为， 则制作的长方形纸板的长为、宽为，正方形纸板的边长为， 设用张硬纸板制作长方形纸板，则用张硬纸板制作正方形纸板， 所以总共可以制作张长方形纸板，张正方形纸板， ∵横式无盖长方体纸盒的底面是长方形，且长方体底面长方形的长大于长方体的高， ∴制作一个横式无盖长方体纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，每个完整的横式无盖长方体纸盒的体积为，符合题意， 则可列方程为， 解得， ∴， 答：用15张硬纸板制作长方形纸板，5张硬纸板制作正方形纸板． 22．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）． (2)【深入研究】 如图2，点A表示数，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒． ①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）． ②求t为何值时，点M是线段的“二倍点”． 【答案】(1)是 (2)①；②t为或5或时，点M是线段的二倍点． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的解法、线段的和差，题目需根据二倍点的定义分类讨论，做到不重不漏是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断； （2）①点M向左运动，运动的路程为，表示的数为； ②用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长， 所以一条线段的中点是这条线段的二倍点． 故答案为：是； （2）解：①点M向左运动，运动的路程为，表示的数为， 故答案为：； ②当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段的二倍点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 1. 译古为今：将古代问题的文言表述转化为现代数学语言，提炼已知量、未知量和等量关系。 2. 建模求解：设未知数，依据等量关系列一元一次方程，解方程后验证解是否符合题意。 例1．（24-25七年级上·吉林·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）列方程解应用题：我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方湊，玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四之一群，再把你的一只湊进来，才满只．”请问甲赶的羊一共多少只？ 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 1. 理清公式：牢记核心关系式，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，折扣价=标价×折扣率，找准已知量和未知量。 2. 列方程求解：根据题目中的等量关系设未知数，代入公式列一元一次方程，求解后检验答案是否符合实际销售场景。 例2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【变式2-1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 1. 列全方案：梳理题目给出的所有计费、分配等规则，分别列出每种方案对应的代数式，明确各方案的适用条件。 2. 分类求解：分情况列一元一次方程，计算不同方案下的结果，再通过对比结果选择最优方案，最后验证解的合理性。 例3．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 1. 找配套比例：明确两种或多种零件的配套比（如1:2），这是列方程的核心依据。 2. 设未知数表数量：设生产某类零件的人数或数量为x，用含x的式子表示其他零件数量。 3. 按比例列方程：根据配套比列等式，求解后检验结果是否符合实际生产情况。 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 1. 定工作总量：通常设总工作量为1，再确定各主体的工作效率（效率=工作量÷工作时间）。 2. 抓等量关系：根据“各部分工作量之和=总工作量”列一元一次方程，求解后检验是否符合施工实际。 例5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单，甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件，乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件． (1)如果两个小组此月一共实际完成了件，那么此月人均定额是多少件？ (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？ 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【变式5-2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 1. 牢记核心公式：掌握 路程=速度×时间 及变形公式，这是解题的基础。 2. 判断运动类型：分清相遇、追及、相向、同向等运动形式，找准路程和、路程差等量关系。 3. 设未知数列方程：设时间或速度为x，代入等量关系列方程，检验解是否符合实际。 例6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式6-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． (1)若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； (2)上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 1. 表示多位数：掌握数位表示法，若十位数字为a、个位为b，两位数可表示为10a+b，同理表示三位数等。 2. 抓等量关系：根据数字位置互换、和差倍分等条件找等量关系，设未知数列方程，求解后验证数字合理性。 例7．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【变式7-1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则在“三阶”幻方中有“幻方和”恰好是“中心数”的3倍． (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值： ②将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 1. 明确计分规则：先理清比赛胜、负、平对应的分值，以及总场次、总得分等已知条件，确定核心数量关系。 2. 设未知数列方程：设胜（或负、平）的场次为x，用含x的式子表示其他场次，根据总得分列方程，验证解的整数性（场次为正整数）。 例8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【变式8-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 1. 牢记几何公式：掌握长方形、正方形、圆形等图形的周长、面积公式，这是列方程的关键依据。 2. 找几何等量关系：根据图形的边长、周长、面积的和差倍分等条件设未知数，代入公式列方程，检验解是否符合几何实际。 例9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某工厂制作一款如图所示边长为的正方形装饰品，装饰品由四个三角形组成，分别采用甲，乙，丙，丁四种材料制作，点在上，点在上，，设的长为． (1)请用含的代数式分别表示下列各量． 甲面积是_____；乙面积是______； 丙面积是____；丁面积是______； (2)已知甲，乙，丙；丁四种材料单价分别为2元，元，元，元，若每块正方形装饰品的材料费用为96元，求的长； (3)若甲，乙，丙，丁四种材料单价分别为2元元元元（为常数）．要使每块正方形装饰品的材料费用不变，直接写出满足的数量关系以及每块正方形装饰品的材料费用． 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 1. 抓日历规律：明确日历中上下相邻数差7，左右相邻数差1，据此用含未知数的式子表示相关日期数。 2. 依条件列方程：根据日期数的和、差等等量关系设未知数列方程，求解后检验日期是否在合理范围。 例10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【变式10-2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 1. 分清计费档位：明确水电费的分段计价规则，区分不同用量区间的单价，确定各档位的计费范围。 2. 按分段列方程：设总用量为x，根据分段费用之和等于总费用列一元一次方程，验证解是否匹配对应档位。 例11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【变式11-1】（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号户名：，地址：。（2022.09.01—2022.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 1. 表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的起始位置和运动速度、方向，用含t的代数式表示其在数轴上的对应数。 2. 根据条件列方程：依据两点间距离公式或位置关系（如重合、中点）列方程，求解后检验时间和坐标的合理性。 例12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点A、B、C是数轴上三点，点 A、B、C表示的数分别为、2、6，我们规定：数轴上两点之间的距离用字母表示．例如：点A与点B之间的距离，可记为． (1)写出 ，   ， ． (2)点P是A、C之间的点，点P在数轴上对应的数为x． 请直接写出 ， （用含x的式子表示）； (3)动点M、N同时从点A、C出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（）秒，求当t为何值时，点M、N之间相距2个单位长度？ 【变式12-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：数轴上P，Q，M，N表示的数分别为p，q，m，n，且四个点互不重合．若点M到点P，Q中一个点的距离与点N到点P，Q中另一个点的距离之和等于点M与点N之间的距离，我们就称是的和距点对．例如，点P，Q，M，N表示的数分别为1，4，，3，则是的和距点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且a，b满足， (1) ， ； (2)点E，F，G，H表示的数分别为，0，5，9，找出的和距点对，并说明理由； (3)若点P从点A以每秒3个单位长度向右运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向左运动，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒．当为的和距点对时，求出t的值． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江·期末）已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 2．（25-26七年级上·全国·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）某工厂有26名工人，每名工人每天可加工100个A部件或80个B部件，2个A部件和1个B部件配套，为使每天加工的A部件和B部件刚好配套．设安排x名工人加工A部件，可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）一件商品按成本价提高后标价，又以9折销售，售价为270元，此时这件商品的利润率为 ． 7．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）有个连续的双数从小到大排列着，第二个数与第六个数的和是．这些排列的双数中，最小的一个是 ． 8．（25-26七年级上·江苏·期末）已知萝卜和白菜的单位面积产量比为，现要把一块长、宽的长方形土地分为两块小长方形土地（保留宽不变），分别种植这两种作物．当萝卜与白菜的总产量比为时，种植萝卜的小长方形土地的长为 ． 9．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费32元，则该职工这个月实际用水为 立方米． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，两个正方形分别由①、②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为，宽为的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则阴影部分的面积为 （用含的代数式表示）． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）小明和姐姐一起玩猜灯谜游戏，规定小明猜中一个得2分，姐姐猜中一个得1分，结果两人一共猜中了个灯谜，得分恰好相等．则小明猜中了多少个灯谜？ 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）贵州，不仅有着迷人的自然风光，还拥有着独特而丰富的饮食文化，贵州刺梨汁以其丰富的营养价值和独特的风味受到广大消费者的喜爱．某商家用刺梨汁制作出了刺梨饮品和刺梨蛋糕，并以“2个蛋糕+1杯饮品”的套餐进行推广销售．该商家现有店员8名，每位店员每日可制作蛋糕60份或饮品90份，每位店员每天只负责一种商品的制作，要使每天制作的蛋糕和饮品刚好配套，应安排制作蛋糕和饮品的店员各多少名？ 13．（24-25七年级上·广东东莞·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 14．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 15．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 16．（24-25七年级上·吉林·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 18．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为． (1)每件A种商品利润率为 ，每件B种商品进价为 ； (2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 19．（24-25七年级上·全国·期末）数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）某打印店为吸引顾客，推出大额打印优惠活动，有如下两种优惠方案： 方案一：花费30元，即可成为白金会员，白金会员可享受累计最多免费打印500张的权益，超出500张的部分按每张0.3元收费； 方案二：花费45元，即可成为黑金会员，黑金会员可享受累计最多免费打印750张的权益，超出750张的部分按每张元收费． 注：①每位顾客只能选择其中一种方案成为会员； ②以上优惠活动仅限于打印单面纸张，以下均默认打印的是单面纸张． (1)当顾客甲的打印量为800张时，若按方案一收费，需支付______元；若按方案二收费，需支付______元（用含的代数式表示）； (2)若顾客乙按方案一打印共支付费用42元，求他共打印了多少张； (3)当时，设顾客丙的打印量为张，若他选择方案一和方案二的收费相等，请求出的值． 21．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某中学七年级学生在数学课上用所学的数学知识，分小组提出问题，请你解决下面3个小组提出的问题．（列一元一次方程解答） 制作横式无盖长方体纸盒 小组1 如图1，长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的体积是． 问题1 （1）求大长方形的宽x是多少； 小组2 如图1．长为，宽为的大长方形的4个角上剪去相同的边长为的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．若这个纸盒的底面小长方形的周长是． 问题2 （2）求大长方形的宽x是多少； 小组3 如图2，现有20张长为的硬纸板，用每张硬纸板恰好制作3张长方形纸板，或者恰好制作6张正方形纸板． 问题3 （3）若20张长为的硬纸板恰好用完，求用多少张硬纸板制作长方形纸板，多少张硬纸板制作正方形纸板，才能正好配套，制作出若干个完整的体积为的横式无盖长方体纸盒（长方体底面长方形的长大于长方体的高）． 22．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）． (2)【深入研究】 如图2，点A表示数，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒． ①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）． ②求t为何值时，点M是线段的“二倍点”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $