期末专题03 一元一次方程的十类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03一元一次方程的十类综合题型 月录 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 类型四、等式的基本性质 类型五、解一元一次方程 类型六、解一元一次方程错解复原 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 压轴专练 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 1. 看整式结构：方程必须是整式方程，分母中不能含有未知数，像装+2=3这类式子就不是一元一次方程。 2.查未知数数量与次数：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，比如2x+3=0符合，x2-1=0或x y=5则不符合。 3. 验等式属性：必须是等式，带有等号，不含等号的代数式不能算作方程。 例1.(24-25七年级上·云南期末)下列方程是一元一次方程的是() A.2x-1=0 B.3x-2y=1 C.x2=4 D.1-2=3 【变式1-1】(24-25七年级下·河南洛阳·期末)下列是一元一次方程的是() A.x≠0 B.2(x-3=3x C.3x+2y=7 D.x-1=1 【变式1-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末)下列选项中，是一元一次方程的是() A.3x+y=1B.2x2+1=3 C.3x-3=2x-2)D.2x-3<0 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 1. 紧扣定义列条件：根据一元一次方程只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程的要求，列 出关于参数的等式，比如含x的方程a”+b=0需满足n=1且a≠0。 2.排除矛盾情况：求解参数后，要检验是否会使未知数系数为0或出现分母含未知数的情况，避免违背 元一次方程的整式属性。 例2.(24-25七年级上·全国期末)已知关于x的方程4xm1+3=0是一元一次方程，则m= 【变式2-1】(24-25七年级上全国期末)已知(a-2)x+10=0是关于x的一元一次方程，则a的值 为」 【变式2-2】(24-25七年级上·全国·期末)已知(m-1)x-2024=2025是关于x的一元一次方程，则 m= 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 1.代入消元：将已知的方程解代入原方程，把方程转化为只含待求字母的新方程，比如把x=2代入 +3=7,得2a+3=7。 2.求解新方程：按照一元一次方程的解法算出待求字母的值，若要求代数式的值，再把求得的字母值代 入代数式计算。 3.检验核对：将结果回代原方程，验证等式是否成立，避免计算失误。 例3.(24-25七年级上江苏南京·期末)如果x=1是关于x的方程-x+2a=3x+4的解，则a的值为 【变式3-1】（24-25七年级上陕西延安期末)关于x的一元一次方程3x-(k+2)=0的解是x=-4,则 +5的值为 【变式3-2】(24-25六年级下山东威海·期末)若x=-2是关于x的一元一次方程mx+n=4(m≠0)的解， 则6m-3n+1的值是 类型四、等式的基本性质 1. 同加同减保等式：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍成立。解方程移项时，要变号， 本质就是运用这一性质，避免移项漏号的错误。 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.同乘同除有条件：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式不变。除以一个数时，必须先判断 这个数不为0，防止出现无解或增根的情况。 例4.(2425七年级上·四川泸州期末)下列各式进行的变形中，正确的是() A.若m=n,则m+1=n-1 B.若m=n,则”=1 11 C.若m=n,则am=an D.若m=n,则”=” aa 【变式4-1】(24-25七年级上·全国期末)运用等式的基本性质，下列变形错误的是() A.若m=n,则m+a=n+a B若行则2x=3y C.若m=n a+1a+'则m+1=n+1 D若经分则a= 【变式4-2】(24-25七年级上山东枣庄·期末)下列判断错误的是() A.如果a=b,那么ac-d=bc-d B如果=，那么广 C.如果x=3,那么x2=3x D.如果ax=bx,那么a=b 类型五、解一元一次方程 1.去分母去括号有序：去分母时两边同乘各分母最小公倍数，勿漏乘无分母项；去括号遵循“正不变负 变号”法则，避免符号错误。 2.移项合并要规范：移项必须变号，未移项的项符号不变；合并同类项时系数相加减，未知数及次数保 持不变。 3.系数化为1求结果：两边同除以未知数系数，系数为负数时注意不等号方向（解方程时无此顾虑，仅 解不等式需注意)，最后回代检验。 例5.(25-26七年级上贵州期末)解方程： (1)3x-8=5x-6; ②2x2+1=2 2x-1 3 2 【变式5-1】(24-25七年级上.甘肃酒泉·期末)解方程： 06传-小=a+7 a2-2 5 【变式5-2】(24-25七年级上·甘肃武威期末)解下列方程： 21 6 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 212x+1-1 0.20.5 类型六、解一元一次方程错解复原 1.定位错因：对比正确步骤和错误步骤，聚焦易错环节，比如去分母漏乘常数项、移项未变号、去括号 符号出错，精准找到错误根源。 2.按错求解：先顺着错误思路代入计算，求出题目中的参数值，再用正确方法重新解方程，得出标准答 案。 3.对比总结：整理错误类型和对应注意事项，避免同类错误重复出现。 例6.(23-24七年级上·北京延庆期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：2x-03_x+04=1 0.50.3 解：原方程可化为20x-3_10x+4-1…第一步， 5 3 方程两边同时乘15，得320x-3-5(10x+4)=15..第二步， 去括号，得60x-9-50r+20=15…第三步， 移项，得60x-50x=15+9-20..第四步， 合并同类项，得10x=4.…第五步， 系数化为1，得x=0.4.…第六步 上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 请你写出正确的解题过程， 【变式6-1】（24-25七年级下·江西赣州期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解 题过程： 解方程：+13x+2-3. 2 4 解：去分母，得：2(x+1-3x+2=12第一步 去括号，得：2x+2-3x+2=12.第二步 移项，得：2x-3x=12-2-2.第三步 合并同类项，得：-x=8第四步 系数化1，得：x=-8…第五步 (1)上述小蒙的解题过程从第步开始出现错误，具体的错误是 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解题过程. 【变式62】(2425七年级上宁夏银川期末)下面是小明解方程21=1-3-的过程： 3 6 解：去分母，得2(2x-1)=6-(3-x（第一步) 去括号，得4x-2=6-3+x(第二步) 移项，得4x+x=6-3-2(第三步) 合并同类项，得5x=1(第四步) 1 系数化为1，得x=5(第五步) 根据解答过程完成下列任务， 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 1.解方程表参数：先将参数看作常数，解出方程的解，把解整理为用参数表示的代数式，比如解 +b0得x昌。 2.分析整数条件：根据解为整数的要求，确定参数需满足的条件，让代数式的分子能被分母整除，同时 保证未知数系数不为0，避免违背一元一次方程定义。 例7.（24-25七年级上山东日照期末)若关于的一元一次方程：=x+2的解为整数，则整数k的所有可 能值为 【变式7-1】(2425七年级上重庆巴南期未)已知关于x的方程r-3_,4-2的解是整数，且4为整 32 数，则满足条件所有a值的和为一 【变式7-2】(2425七年级上重庆九龙坡期末)若关于x的方程2x-1一=3引x+川-1的解为整数，且关 2 于y的多项式(a2-1y2+ay-1是二次三项式，则所有满足条件的整数a的值之和是一· 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 1. 代入求参：把己知方程的解代入含参数的方程，解出参数的具体数值，注意计算时符号和系数的准确 性。 2.代参求解：将求得的参数值代入另一个一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系 数化为1的步骤，算出新方程的解。 3. 回代检验：把结果代入两个方程验证，确保参数值和新方程的解都正确。 例8.(24-25七年级上全国期末)已知关于x的一元一次方程，x+6=2024x+m的解为x=2024,则关 2024 于y的一元一次方程-6=20245-y-m的解是 2024 【变式8-1】(24-25七年级上浙江绍兴期末)已知关于x的一元一次方程，x+8=2024x+a的解为 2024 x=-2025,那么关于y的一元一次方程6-+8=2024(6-y)+a的解为y= 2024 【变式8-2】(24-25七年级上浙江金华期末)已知关于x的一元一次方程，+6=2024x+m的解为 2023 x=5,那么关于y的一元一次方程？-6=202412-川m的解为一 2023 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 1.吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉 的数学表达式，避免遗漏条件。 2.结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、 整式方程”要求的等式。 3.规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题 意。 例9.（24-25七年级上·吉林·期末)用“※”定义一种新运算，规则如下，a※b=2a2-5b. (1)计算：（-3※4=； (2)若-6)※(x-8)=12,求x的值 【变式9-1】（24-25七年级上·吉林·期末)用“⑧”定义一种新运算，规则如下：a⑧b=ab-2a+b. (1)计算：(-6)810=： (2)若(10+x)⑧(-8)=12，求x的值. 【变式9-2】（24-25七年级上·甘肃兰州期末)定义一种新运算“※”：a必b=a2+2ab.例如： 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3※2=32+2×3×2=21. (1)求(-3)※(-2)的值： (2)若(-3)※x=3x,求x的值. 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 1.吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉 的数学表达式，避免遗漏条件。 2.结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整 式方程”要求的等式。 3.规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题 意。 例10.(24-25七年级上广东广州·期末)定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个 方程为“和谐方程”.例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”. 1若关于的方程*华7-5。与方程7-9：4+6_“和谐方程（填是”或香）， 36 (2)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“和谐方程”，求m的值； 3)若无论m取任何有理数，关于x的方程2x+m=。+m（a,b为常数)与关于y的方程y+1=2y-2都 3 2 是“和谐方程”，求ab的值. 【变式10-1】(24-25七年级下辽宁丹东期末)【新型定义】若A-B=7,则称A与B是关于7的“奇妙数”. 例如：如果2x+2-(2x-5)=2x+2-2x+5=7,那么2x+2与2x-5是关于7的“奇妙数”. (1)【初步探究】求①5与 是关于7的“奇妙数”； ② 与x-10是关于7的“奇妙数"； ③(x-1)(x+2)与」 是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若M=x(2x-3)-4与N=(x+3)(2x-1)是关于7的“奇妙数"，求x的值. 【变式10-2】(2425七年级上河北保定·期末)阅读下列材料，并完成相应的任务， 定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程” 例如：方程4x=8的解为x=2,方程y+1=0的解为y=-1;2+-1=1,所以方程4x=8与方程y+1=0为 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “美好方程”. (1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否为“美好方程”，并说明理由； 2若关于x的方程2r+m=0与方程2少+1_5少一8-1是美好方程，求m的值。 3 6 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上湖南湘西·期末)下列属于一元一次方程的是() A.x+2=3x B.x+4 C.x2-1=5 D.x+y=6 2.（24-25七年级上山东聊城期末)运用等式基本性质进行的变形，正确的是（) A.若ac=bc,则a=b B.若a=b,则3a=2b+a C.若2a-b=4,则b=4-2a D.若-6x=3,则x=-2 3.（24-25七年级上·天津·期末)关于x的方程2(x-a)=6的解是x=1,则2a+5的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 25-26七年级上河北石家庄期末在解方程，-2x十31时，去分母正确的是( A.3x-1-4x+3=1 B.3x-1-2(2x+3=6 C.3x-1-4x+3=1 D.3x-1-4x+3=6 5.(24-25七年级上·全国期末)若式子3m-1和-2m+3互为相反数，则多项式m2-2m+1的值为() A.9 B.6 C.-5 D.10 6。《2425七年级上辽宁抚顺期末)定义一种新运第amp,：当x>y时，x&y=X+:当x=y时， =+当y时，y-+.例：213已知2&x=之，则：的值为() B.2或2 c.9或2 D.或8或2 二、填空题 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25七年级上湖南长沙期末)若(a+1)x-2=0是关于x的一元一次方程，那么a=一· 8。（2425六年级下山东泰交期未)当x=一时，代数式？的值与合2-1的值互为相反数。 6 9.《2425七年级下重庆万州期未)小玉解关于x的方程21_+3-1，在去分母时，方程右边的 3 2 “-1”项没有乘以6，因而求得的解是x=10,则a的值为 10。(2425七年级上浙江宁波期末)若x=3是关于的一元一次方程a-b=的解，则3-60+26的值 为 11.(23-24七年级上·重庆九龙坡·期末)已知关于x的方程3x-(ax-2)=6有正整数解，则整数a的所有可 能的取值之和为」 一 12.(25-26七年级上江苏宿迁期末)关于x的方程ax+3-2x-b有无数多个解，试求 (a+b)201x- ab x=a-b+5的解为 a+b 三、解答题 13.(24-25七年级上甘肃兰州期末)解方程 (1)4x-3(4-x=2. 2)2-3x-5=6-x 43 14.(24-25七年级上甘肃武威期末)解方程： 02x-3-3+2 48 201x02_x+1-3 0.020.5 15.(24-25七年级上甘肃武威期末)当m等于什么数时，代数式m-m与代数式7-m+1的值相等. 3 5 16.(24-25七年级上山东德州期末)(1)解方程：3(x+1)-x=1-(2x-1) (2)已知关于x的方程2x+)-m=m+2的解比方程5x-1=4x+1的解大2，求m的值 2 17.(24-25七年级上·全国·期末)已知关于x的方程(m-3)x2+7=0是一元一次方程. (1)求m的值； (2)计算2(m-1)-3(m+4)的值. 9/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(2425七年级上贵州遵义期末)小强解方程1-一1_2x+的过程如下： 46 解：去分母，得1-3(x-1)=2(2x+1),第①步 去括号，得1-3x-3=4x+2,第②步 移项，合并同类项，得-7x=4,第③步 系数化为1，得x=- 4 ,第④步 他把x三代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了了 他从第 步开始出错，请给出正确的解答过程， 19.(24-25七年级上河北保定期末)定义一种新运算“※”：对于有理数x和y,※y=x+.例如： 2 2※1=2+22 ,15 (1)直接写出(-1)※7= (2)已知2※x= 二，求x的值， 20.(24-25六年级上上海期末)已知关于x的方程3xm-x+m-5 2 36 (1)若m=-1,求该方程的解； ②米同学在解该方程时，误将“各”看成了、得到方程的解为x=1,求m的信： 6 (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值. 21.(24-25七年级上·山东济宁.期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程 为“美好方程”.例如：3x=6和x+2=0为“美好方程. (1)请判断方程4x-x=6与方程x-2=2x是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程3x+a=2与方程4x-2=x+10是“美好方程”，求a的值. 22.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨期末)【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作 方程的解.如x=6是方程3x=18的解.已知方程3(a-1)=18,若把(a-1看作一个整体，则(a-1)=6;已 知方程3b+2)=18,若把(3b+2)看作一个整体，则(3b+2)=6. 【尝试运用】 (1)己知方程3(4m+5)=18,则4m+5的值为-： 10/11 期末专题03 一元一次方程的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的定义 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 类型四、等式的基本性质 类型五、解一元一次方程 类型六、解一元一次方程错解复原 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的定义 1. 看整式结构：方程必须是整式方程，分母中不能含有未知数，像+2=3这类式子就不是一元一次方程。 2. 查未知数数量与次数：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，比如2x+3=0符合，x2-1=0或x+y=5则不符合。 3. 验等式属性：必须是等式，带有等号，不含等号的代数式不能算作方程。 例1．（24-25七年级上·云南·期末）下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故不符合题意； D、含不是整式的项，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是不等式，不是方程，排除； B．，化简得，是整式方程且仅含未知数，次数为1，符合条件； C．含两个未知数，不是一元方程，排除； D．右边不是整式，不是一元一次方程，排除； 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程成为解题的关键． 根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，不是一元一次方程，不符合题意； B． 方程中未知数的次数为2，属于二次方程，不符合“一次”条件，不是一元一次方程，不符合题意； C． 方程展开后为，化简后为，仅含一个未知数且次数为1，是一元一次方程，符合题意； D． 是不等式，不是方程，不符合题意． 故选：C． 类型二、利用一元一次方程的定义求参数 1. 紧扣定义列条件：根据一元一次方程只含一个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程的要求，列出关于参数的等式，比如含 x的方程axn +b=0需满足n=1且a≠0。 2. 排除矛盾情况：求解参数后，要检验是否会使未知数系数为0或出现分母含未知数的情况，避免违背一元一次方程的整式属性。 例2．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义即可得解． 【详解】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 类型三、已知方程的解求字母或代数式的值 1. 代入消元：将已知的方程解代入原方程，把方程转化为只含待求字母的新方程，比如把x=2代入ax+3=7，得2a+3=7。 2. 求解新方程：按照一元一次方程的解法算出待求字母的值，若要求代数式的值，再把求得的字母值代入代数式计算。 3. 检验核对：将结果回代原方程，验证等式是否成立，避免计算失误。 例3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如果是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得， 故答案为：4． 【变式3-1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，求出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25六年级下·山东威海·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解的意义，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是关于的一元一次方程的解，将代入方程可得，观察所求代数式中与已知等式的关系，整体代入求值即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解，代入得： ， ， ． 故答案为：． 类型四、等式的基本性质 1. 同加同减保等式：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍成立。解方程移项时，要变号，本质就是运用这一性质，避免移项漏号的错误。 2. 同乘同除有条件：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式不变。除以一个数时，必须先判断这个数不为0，防止出现无解或增根的情况。 例4．（24-25七年级上·四川泸州·期末）下列各式进行的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项A错误； B．若，则，故选项B错误； C．若，则，故选项C正确； D．若，则，故选项D错误． 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列判断错误的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．分别分析得出答案． 【详解】解：A、如果，那么，正确，不合题意； B、如果，那么，正确，不合题意； C、如果，那么，正确，不合题意； D、如果，当时，那么，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 类型五、解一元一次方程 1. 去分母去括号有序：去分母时两边同乘各分母最小公倍数，勿漏乘无分母项；去括号遵循“正不变负变号”法则，避免符号错误。 2. 移项合并要规范：移项必须变号，未移项的项符号不变；合并同类项时系数相加减，未知数及次数保持不变。 3. 系数化为1求结果：两边同除以未知数系数，系数为负数时注意不等号方向（解方程时无此顾虑，仅解不等式需注意），最后回代检验。 例5．（25-26七年级上·贵州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）移项， 合并同类项， 方程的两边都除以即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，方程的两边都除以即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以，得． 【变式5-1】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程： （1）先去括号，再移项，最后系数化为； （2）先去分母，再去括号，移项后合并同类项，最后系数化为． 【小题1】解：， ， ， ， 所以原方程的解是； 【小题2】解： ， ， ， ， 所以原方程的解是． 【变式5-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 类型六、解一元一次方程错解复原 1. 定位错因：对比正确步骤和错误步骤，聚焦易错环节，比如去分母漏乘常数项、移项未变号、去括号符号出错，精准找到错误根源。 2. 按错求解：先顺着错误思路代入计算，求出题目中的参数值，再用正确方法重新解方程，得出标准答案。 3. 对比总结：整理错误类型和对应注意事项，避免同类错误重复出现。 例6．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式6-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得：…第二步 移项，得：…第三步 合并同类项，得：…第四步 系数化1，得：…第五步 (1)上述小蒙的解题过程从第______步开始出现错误，具体的错误是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去分母没有加括号； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据解题过程可发现，第一步去分母没有带括号，即可作答； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小蒙的解题过程从第一步开始出现错误，具体的错误是去分母没有加括号； 故答案为：一；去分母没有加括号； （2）解：， 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式6-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，得（第三步） 合并同类项，得（第四步） 系数化为1，得（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一： ①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； 任务二：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质二；②三，移项未变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解含有分母的一元一次方程，熟悉各步骤，注意各步的注意事项是解题的关键． 任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二，据此即可完成； ②观察每步变形知，第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 任务二：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，即可求解． 【详解】解：任务一：①第一步是去分母，其依据是等式的性质二； 故答案为：等式的性质二； ②第三步开始出现错误，原因是移项未变号； 故答案为：三；移项未变号； 任务二：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 类型七、已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 1. 解方程表参数：先将参数看作常数，解出方程的解，把解整理为用参数表示的代数式，比如解ax+b=0得x=-。 2. 分析整数条件：根据解为整数的要求，确定参数需满足的条件，让代数式的分子能被分母整除，同时保证未知数系数不为0，避免违背一元一次方程定义。 例7．（24-25七年级上·山东日照·期末）若关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能值为 ． 【答案】2，0，3， 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的解的情况求参数，正确理解方程的解为整数由此得到k的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴，0，3，， 故答案为2，0，3，． 【变式7-1】（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程的解是整数，且a为整数，则满足条件所有a值的和为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程的解是整数，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据a是整数，求出所有符合条件的a值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于x的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或2或或或3或0或或， ∵a是整数， ∴满足条件所有a值为0或1或2或3， ∴满足条件所有a值的和为：， 故答案为：6． 【变式7-2】（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）若关于的方程的解为整数，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出是整数，进而得到解得或3或7或；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为3，7，，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数，且 ∴或7或1或， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为3，7， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案：7． 类型八、已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 1. 代入求参：把已知方程的解代入含参数的方程，解出参数的具体数值，注意计算时符号和系数的准确性。 2. 代参求解：将求得的参数值代入另一个一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，算出新方程的解。 3. 回代检验：把结果代入两个方程验证，确保参数值和新方程的解都正确。 例8．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，一元一次方程的解法，根据方程的解的定义利用整体代入思想求解．设，可得，从而可得答案． 【详解】∵的解为， ∴设，则的解为， 解得． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 类型九、一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 1. 吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉的数学表达式，避免遗漏条件。 2. 结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整式方程”要求的等式。 3. 规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题意。 例9．（24-25七年级上·吉林·期末）用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据已知新定义运算法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． 【变式9-1】（24-25七年级上·吉林·期末）用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解： 解得：． 【变式9-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列出算式或方程是解题的关键． （1）依题意得，，然后按照含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可——先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）由可得，整理得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解：， ， 整理，得：， 解得：， 的值为． 类型十、解一元一次方程中的新定义型拓展问题 1.吃透新定义：认真阅读题干，提取新定义的核心规则、符号含义或运算方式，将抽象定义转化为熟悉的数学表达式，避免遗漏条件。 2.结合方程本质：紧扣一元一次方程的定义，把新定义内容代入，构建符合“一个未知数、次数为1、整式方程”要求的等式。 3. 规范求解检验：按解一元一次方程的步骤计算，最后将结果代入新定义规则中检验，确保答案符合题意。 例10．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用． （1）根据已知条件得出即可； （2）根据已知条件得出，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴5与是关于7的“奇妙数” ②∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数” ③∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数”； ∴答案为；；． （2）∵与是关于7的“奇妙数”， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)是“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ∵， ∴方程与方程是“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，依次对每个选项进行判断，排除不符合定义的选项，从而确定正确答案．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程． ∵选项B不是等式，不满足方程的定义， ∴选项B不是一元一次方程． ∵选项C中未知数的次数是2， ∴选项C不是一元一次方程． ∵选项D含有两个未知数和， ∴选项D不是一元一次方程． ∵选项A只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都是整式， ∴选项A是一元一次方程． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）运用等式基本性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，得到，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·天津·期末）关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据方程解的定义，把解代入方程后求出，然后代入求解即可． 【详解】∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，在去分母时，方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，包括常数项，且保持括号正确. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： 化简得：， ∴去分母正确的是选项B 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由题意解一元一次方程可得：，再根据代数式求值的知识，即可求解； 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， ∵， 把代入，即， 故选：A； 6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&amp;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若是关于x的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的定义，即可解答． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 8．（24-25六年级下·山东泰安·期末）当 时，代数式的值与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得到，结合解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：∵代数式的值与的值互为相反数， ∴， 去分母得，， 解得，， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·重庆万州·期末）小玉解关于的方程，在去分母时，方程右边的“”项没有乘以6，因而求得的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入方程中计算求解即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，代数式的求值．由方程的解得到，再将代数式变形得，代入计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， 故答案为：2． 11．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有正整数解可得，2 ，4，且，求出a的值，再求和即可． 掌握“方程有整数解，则分母必是分子的因数”是解题的关键． 【详解】 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有正整数解， ，2 ，4，且， 解得，1，且， ∴数的所有可能的取值之和为． 故答案为：2 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，由方程有无数多个解，可知其系数和常数项均为零，从而求出和的值．再将和代入方程 中，计算并求解 ． 【详解】解：方程 移项得 ． ∵方程有无数个解，， ∴且， 解得，． 代入方程， 得：， 即， ， 解得； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和求解步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可； （2）先化各项系数为整数，再根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 15．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）当m等于什么数时，代数式与代数式的值相等． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意列出方程，求解即可． 【详解】∵代数式与代数式的值相等． ∴， 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 16．（24-25七年级上·山东德州·期末）（1）解方程： （2）已知关于x的方程 的解比方程的解大2，求m的值 【答案】（1） （2）m的值为6 【分析】本题考查了一元一次方程的解法以及利用方程解的关系求参数的值．解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1等解方程步骤，并能根据两个方程解的数量关系建立等式求解参数． （1）先去括号去掉方程两边的括号，再通过移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两边，合并同类项后将未知数系数化为1，得到方程的解． （2）先求解第二个方程的解，再用含 m 的式子表示第一个方程的解，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”列等式，求解 m 的值． 【详解】（1）解：去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为 1 得： （2）解：先解方程： 移项得： 合并同类项得： 由题意，方程的解为 将x = 4代入方程 左边 列等式： 两边同乘2去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为 1 得： ∴m 的值为 6． 17．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)计算的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程定义，整式加减——化简求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据一元一次方程的定义：未知数的最高项的次数为且系数不为零，求出的值即可； （）先化简，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解： ， 当时， 原式 ． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 19．（24-25七年级上·河北保定·期末）定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式 ； （2）解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， ， ， ． 20．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程为“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知“美好方程”的定义是解题的关键： （1）分别解方程得到两个方程的解，再根据“美好方程”的定义即可得到结论； （2）先求出方程的解，再根据“美好方程”的定义得到方程的解，据此得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与方程为“美好方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程与方程为“美好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴关于的方程得解为， ∴， ∴． 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $