精品解析：山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月测试题

2025－2026学年度第一学期素养形成第二次初二数学能力训练 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A. 同旁内角不互补，两直线平行 B. 同旁内角不互补，两直线不平行 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 两直线不平行，同旁内角不互补 3. 下面是小明和小亮比较 与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（ ） 小明 分别将两式平方，得， ， ， 因为， 所以 小亮 作一个直角三角形，两直角边长分别为， 利用勾股定理，得斜边长为 ， 由三角形中两边之和大于第三边，得． A. 小明对，小亮错 B. 小明错，小亮对 C. 两人都错 D. 两人都对 4. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 5. 如图，在中，，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线交于点D，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 6. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 全等三角形的面积相等 C. 三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D. 等边三角形的三条边相等 8. 如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 12. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 13. 如图，在中，，是边的垂直平分线，，，则的面积为________． 14. 把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是_____． 15. 如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离． （1）求梯子顶端距地面的高度； （2）若梯子顶端沿墙面向下滑动，则梯子底端向右滑动______． 17. 如图，在中，是的平分线，于点于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 19. 尺规作图： 如图，某地要在A区修建一个加油站，要求是加油站到C和D两个小镇的距离相等且到公路和的距离也相等，请你在图中确定加油站Q的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 20. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 22. 【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期素养形成第二次初二数学能力训练 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 由于的反面为，则假设命题“”不成立，则有． 【详解】解：假设命题“”不成立，则． 故选B． 2. 下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A. 同旁内角不互补，两直线平行 B. 同旁内角不互补，两直线不平行 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 3. 下面是小明和小亮比较 与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（ ） 小明 分别将两式平方，得， ， ， 因为， 所以 小亮 作一个直角三角形，两直角边长分别为， 利用勾股定理，得斜边长为 ， 由三角形中两边之和大于第三边，得． A. 小明对，小亮错 B. 小明错，小亮对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小和勾股定理，先分析小明和小亮比较大小的思路是否正确，再根据分析结果判断即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， 小明的思路正确． 两直角边长分别为， 由勾股定理，得斜边长为， 三角形中两边之和大于第三边， ， 小亮的思路也正确． 故选：D． 4. 如果的三个顶点，，所对的边分别为，，．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键．分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选：C． 5. 如图，在中，，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线交于点D，，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形 B. 全等三角形的面积相等 C. 三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D. 等边三角形的三条边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 逆命题是将原命题的题设和结论互换后得到的新命题，根据全等三角形的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解： A的逆命题：等边三角形的三个角都相等，是真命题，故不符合题意； B的逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题（反例：底和高相同但形状不同的三角形面积相等却不全等），故符合题意； C的逆命题：全等三角形的三条边对应相等，是真命题，故不符合题意； D的逆命题：三条边相等的三角形是等边三角形，是真命题，故不符合题意； 故选： B． 8. 如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 10. 如图，边的垂直平分线相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角， 先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 12. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，逆命题是通过交换原命题的条件和结论形成的． 【详解】解：原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于60°”，交换条件和结论后，逆命题为“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为∶三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 13. 如图，在中，，是边的垂直平分线，，，则的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ， 在中，， 是中边上的高， 又， ． 故答案为：24． 14. 把两个同样大小的三角尺与像如图所示那样放置，M是与的交点，发现只要测得的长度，就可以得到点M到的距离，若，则点M到的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，先判断，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过M作于H， 根据题意知：，， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即点M到的距离是， 故答案为：5． 15. 如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离． （1）求梯子顶端距地面的高度； （2）若梯子顶端沿墙面向下滑动，则梯子底端向右滑动______． 【答案】（1）梯子顶端距地面的高度为； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，， 则， 答：梯子顶端距地面的高度为； 【小问2详解】 解：如图，梯子顶端A沿墙面向下滑动，即， ∴， ∴， ∴， 则梯子底端向右滑动． 故答案为：． 17. 如图，在中，是的平分线，于点于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线性质）， 在和中， （已知），（已证）， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到，运用斜边直角边即可求证； （2）运用斜边直角边证明，得到，设，则，结合题意列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中，， ∴， ∴， 设，则， 由（1）知， ∴，即， 解得， 故． 18. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】7200元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 元， 即需要投入7200元． 19. 尺规作图： 如图，某地要在A区修建一个加油站，要求是加油站到C和D两个小镇的距离相等且到公路和的距离也相等，请你在图中确定加油站Q的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】 作线段的垂直平分线，的角平分线，直线与交于点Q，点Q即为加油站的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线及线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟知基本尺规作图及相关性质定理是正确解答此题的关键． 根据题意，加油站Q的位置应该是线段的垂直平分线与的角平分线的交点，据此作图即可． 【详解】解：理由：点在线段的垂直平分线， 点到线段两端点的距离相等，即到C和D两个小镇的距离相等； 点在的角平分线上， 点到两边的距离相等，即到公路和的距离也相等， 点即示所求加油站的位置． 20. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 （2） ，， ∴， ∴点P在的平分线上． （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． 【小问1详解】 解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 22. 【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出． 【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接，． ______； __________________． 由，可得到______；整理得：______． 【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长． 【答案】 （1）证明：连接，． ， 如图1所示，，则由平移的性质可得在图2中， ， ， ， ； （2）16． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用： （1）利用两种不同的方法表示出四边形的面积，即可得证； （2）分割法表示四边形的面积，进而求出的值，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）， ， ， ， 或（舍去）， ． 23. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $