期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 1. 译古为今：将古代问题的文言表述转化为现代数学语言，提炼已知量、未知量和等量关系。 2. 建模求解：设未知数，依据等量关系列一元一次方程，解方程后验证解是否符合题意。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）列方程解应用题：我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方湊，玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四之一群，再把你的一只湊进来，才满只．”请问甲赶的羊一共多少只？ 【答案】甲赶的羊一共有只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲赶的羊一共有只，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设甲赶的羊一共有只， 由题意得， 解得：， 答：甲赶的羊一共有只． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 1. 理清公式：牢记核心关系式，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，折扣价=标价×折扣率，找准已知量和未知量。 2. 列方程求解：根据题目中的等量关系设未知数，代入公式列一元一次方程，求解后检验答案是否符合实际销售场景。 例2．（24-25七年级上·福建福州·期末）列方程解应用题 某文具店计划购进A、B两种文具套装，这两种文具套装的进价和标价如表所示： 进价（元/套） 标价（元/套） A种文具套装 10 16 B种文具套装 9 15 (1)若该文具店要花费480元同时购进两种文具套装共50套，求购进A种文具套装多少套? (2)在（1）的条件下，为了促销，文具店老板决定把A种文具套装中15套按标价的九折出售，B种文具套装中a套按标价打八折出售．剩下的A，B种文具套装按各自标价出售、要使购进的这批文具套装在完全售出后达到的利润率，求a的值． 【答案】(1)购进A种文具套装30套 (2)12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设购进种文具套装套，则购进种文具套装套，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用总利润每套文具的销售利润销售数量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进种文具套装套，则购进种文具套装套， 根据题意得：， 解得：． 答：购进种文具套装30套； （2）解：（套． 根据题意得：， 解得：． 答：的值是12． 【变式2-1】（23-24七年级上·福建莆田·期末）某超市第一次用元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品件，乙种商品件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵元．甲种商品售价为元/件，乙种商品售价为元/件． (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少元，那么的值是多少？ 【答案】(1)该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元； (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润； (3)． 【分析】本题考查了一元一次方程的销售问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据利润公式求出总利润即可； （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元． 由题意得：， 解得：， ， 答：该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元； （2） （元） 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润； （3）由题意： 答：的值是． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 1. 列全方案：梳理题目给出的所有计费、分配等规则，分别列出每种方案对应的代数式，明确各方案的适用条件。 2. 分类求解：分情况列一元一次方程，计算不同方案下的结果，再通过对比结果选择最优方案，最后验证解的合理性。 例3．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【答案】(1)七年级（1）班47人，（2）班58人 (2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元 (3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设七年级（1）班x人，根据题意可以得出，从而可以解答本题； （2）用（1）中求得的费用减去两班联合起来，作为一个团体购票的费用即可求解； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设七年级（1）班x人， ， 解得，， ∴， 答：七年级（1）班47人，（2）班58人； （2）解：（元）， 答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元； （3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元）， 如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元）， ∵， ∴七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者直接购买51张票最省钱． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 1. 找配套比例：明确两种或多种零件的配套比（如1:2），这是列方程的核心依据。 2. 设未知数表数量：设生产某类零件的人数或数量为x，用含x的式子表示其他零件数量。 3. 按比例列方程：根据配套比列等式，求解后检验结果是否符合实际生产情况。 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)该班女生的人数为 (2)有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解； （2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：该班女生的人数为； （2）设有名男生去支援女生， 由（1）可知，男生人数为（人）， 由题意得：， 解得：， 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生26人，女生23人 (2)6名 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设七（5）班班有女生x人，则有男生人，结合七（5）班共有学生49人，再建立方程求解即可； （2）设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据1个盒身匹配2个盒底，建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设七（5）班班有女生x人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ∴（人）． 答：七（5）班有男生26人，女生23人； （2）解：设需要y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． 答：需要6名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 1. 定工作总量：通常设总工作量为1，再确定各主体的工作效率（效率=工作量÷工作时间）。 2. 抓等量关系：根据“各部分工作量之和=总工作量”列一元一次方程，求解后检验是否符合施工实际。 例5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单，甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件，乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件． (1)如果两个小组此月一共实际完成了件，那么此月人均定额是多少件？ (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】(1)此月人均定额是件； (2)此月人均定额是件． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决实际问题的关键是找相等关系． 设此月人均定额是件，则甲组完成的工作量是件，乙组完成的工作量是件，根据两个小组此月一共实际完成了件，列方程求解即可； 设此月人均定额是件，则甲组人均实际完成的工作量是，乙组人均实际完成的工作量是，根据两组工人此月人均实际完成的工作量相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得： 答：此月人均定额是件； （2）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得：， 答：此月人均定额是件． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为 (2)每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁 (3)一名徒弟一天的工钱是80元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； （2）结合（1）的结论计算即可； （3）设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元，根据“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为； （2）解：∵， 由（1）可知， 答：每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； （3）解：设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元， 由（1）、（2）可得：， 解得：． 答：一名徒弟一天的工钱是80元． 【变式5-2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【答案】(1)12（天） (2)5天 (3)31500元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出乙公司单独完成此工程所需时间，再利用甲，乙公司同时获批合作完成所需时间甲，乙两公司的工作效率之和，即可求出结论； （2）乙公司还需要天可以完成此工程，利用甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量＝工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由甲，乙两家公司每天的雇佣费用间的关系，可求出甲，乙两家公司每天的雇佣费用，再利用完成此工程的总费用=甲公司每天的雇佣费用乙公司每天的雇佣费用，即可求出结论． 【详解】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天， 根据题意得：， 解得：， （天）， （天）， 答：如果甲，乙公司同时获批合作完成，需要12天完成； （2）乙公司还需要天可以完成此工程， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司还需要5天可以完成此工程； （3）乙公司每天的雇佣费用为（元）， 甲公司每天的雇佣费用为（元） （元） 答：完成此工程的总费用为31500元． 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 1. 牢记核心公式：掌握 路程=速度×时间 及变形公式，这是解题的基础。 2. 判断运动类型：分清相遇、追及、相向、同向等运动形式，找准路程和、路程差等量关系。 3. 设未知数列方程：设时间或速度为x，代入等量关系列方程，检验解是否符合实际。 例6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 【变式6-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． (1)若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； (2)上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 【答案】(1)600 千米 (2)600 千米 【分析】（1）设两市的距离为干米，则，两市的距离为千米，两市的距离为千米，利用时间二路程速度，结合上午用时比下午多小时，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设两市的距离为千米，则两市的距离为干米，两市的距离为干米，利用上午的路程 下午的路程到市的路程两市的距离，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设两市的距离为干米， 则两市的距离为千米，两市的距离为千米， 根据题意得：， 解得：． 答：两市的距离为 600 千米； （2）解：设两市的距离为千米，则两市的距离为千米，两市的距离为千米， 根据题意得：， 解得：． 答：两市的距离为 600 千米． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 【答案】(1)43， (2)甲、乙两地相距16公里 (3)5公里或者30公里 【分析】本题考查列代数式以及一元一次方程的解，理解题意是解题关键． （1）根据题信息，可以得知车费起步价里程费时长费，根据里程10公里，分别求出各项费用相加即可； （2）设甲乙两地的里程数为x，则行驶时间为分钟，分别求出网约车A和B的车费，再根据乘坐网约车A比网约车B节省元列出一元一次方程，解出x即可； （3）设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， 求出网约车A的车费为元，网约车B的车费则要分情况讨论，当时，车费为元；当时，车费为元，再根据乘坐网约车A、网约车B总费用相同列出一元一次方程，即可求出y． 【详解】（1）解：网约车A：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 网约车B：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 故答案为：43，； （2）解：设甲、乙两地间的里程数为x公里， 则行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费为元， ∵网约车A比网约车B节省元， ∴， 解得：， 答：甲、乙两地相距16公里； （3）解：设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费：当时，车费为元， 当时，车费为元， ∵乘坐网约车A、网约车B总费用相同， ∴或， 解得：或， 答：两位顾客乘车的里程数为5公里或者30公里． 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 1. 表示多位数：掌握数位表示法，若十位数字为a、个位为b，两位数可表示为10a+b，同理表示三位数等。 2. 抓等量关系：根据数字位置互换、和差倍分等条件找等量关系，设未知数列方程，求解后验证数字合理性。 例7．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)150； (2)不能，理由见解析 【分析】主要考查一元一次方程的应用，规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据图示进行计算便可得结果，可得这5个数的和；用a表示出其余4个数，再求和即可； （2）根据（1）中的代数式，结合题意列出a的方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，这5个数的和为：， 设正中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴十字框内5个数的和为：， 故答案为：150；； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得，， 解得，，不是整数， ∴十字框中的五个数之和不能等于2026． 【变式7-1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【答案】(1)60，20 (2)19，24 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由“幻和”的定义可得，幻和为，由图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数，继而； （2）根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等即可求解． （3）设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由“幻和”的定义可得，幻和为， 图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数， ∴， 故答案为：60，20； （2）解：由（1）可得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：19，24； （3）解：设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 化简得：， ∴． 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则在“三阶”幻方中有“幻方和”恰好是“中心数”的3倍． (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值： ②将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 【答案】(1)①；②； (2)不正确，理由见解析； (3)或． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，是解题的关键： （1）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②观察幻方可知：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，然后列示计算即可． （2）设阴影方框的中央位置的数为．，根据题意，列出方程求出的值，进行判断即可． （3）根据每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等求出的值，再得出，进而可得出可能是10或．然后再计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得． 解得． ②根据题意，得． 解得． （2）解：不正确．理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为． 根据题意，得． 解得． 不存在阴影方框，其中央数字为21． 故该同学的说法不正确． （3）解：因为每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为， 所以， 解得； ， 解得． ，根据等式的性质，得． 又因为，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用）， 所以可能是10或． 所以或． 综上所述，的值为或． 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 1. 明确计分规则：先理清比赛胜、负、平对应的分值，以及总场次、总得分等已知条件，确定核心数量关系。 2. 设未知数列方程：设胜（或负、平）的场次为x，用含x的式子表示其他场次，根据总得分列方程，验证解的整数性（场次为正整数）。 例8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【答案】(1)6，； (2)小明答对了15道题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分； （2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分 答错道题得分 故答案为：6，； （2）设小明答对了道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得： 答：小明答对了道题． 【变式8-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的函数关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 【答案】(1) (2)， ，， (3)不能 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用； （1）由队可以看出，负一场积1分，队负了8场得8分，胜了14场得分，因此计算即可； （2）如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分=胜场得分+负场得分即可； （3）根据“胜场总积分能等于负场总积分的倍”列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵队可以看出，负一场积分， ∴根据队得分可得胜一场积分； 故答案为：2； （2）解：如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为； 故答案为：；；. （3）解：根据题意可得：， 解得：， 不是整数， 不能， 答：胜场总积分不能等于负场总积分的倍． 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 1. 牢记几何公式：掌握长方形、正方形、圆形等图形的周长、面积公式，这是列方程的关键依据。 2. 找几何等量关系：根据图形的边长、周长、面积的和差倍分等条件设未知数，代入公式列方程，检验解是否符合几何实际。 例9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【答案】(1)原正方形纸片的边长为 (2)正方形纸片剩余部分的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，解方程即可； （2）根据长方形的面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意，得， 解得，， 答：原正方形纸片的边长为7cm； （2）解：， 答：正方形纸片剩余部分的面积为． 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)t为4或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某工厂制作一款如图所示边长为的正方形装饰品，装饰品由四个三角形组成，分别采用甲，乙，丙，丁四种材料制作，点在上，点在上，，设的长为． (1)请用含的代数式分别表示下列各量． 甲面积是_____；乙面积是______； 丙面积是____；丁面积是______； (2)已知甲，乙，丙；丁四种材料单价分别为2元，元，元，元，若每块正方形装饰品的材料费用为96元，求的长； (3)若甲，乙，丙，丁四种材料单价分别为2元元元元（为常数）．要使每块正方形装饰品的材料费用不变，直接写出满足的数量关系以及每块正方形装饰品的材料费用． 【答案】(1) (2) (3)，54元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，掌握三角形和正方形的面积计算公式是解题的关键． （1）求出、，再由三角形的面积公式分别计算甲、乙、丙的面积，根据正方形的面积分别减去甲、乙、丙的面积即可求出丁的面积； （2）计算每块面积乘以对应材料的单价之和即可； （2）计算每块面积乘以对应材料的单价之和并整理成关于的单项式与常数项之和的形式，令的系数为0，得到、的数量关系并求出常数项的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 甲面积是， 乙面积是， 丙面积是， 丁面积是． 故答案为：，，12，． （2）解：根据题意，得， 经整理，得， 解得， 的长是． （3）解：根据题意，得， 每块正方形装饰品的材料费用不变， ， ， （元． 答：，满足的数量关系为，每块正方形装饰品的材料费用为54元． 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 1. 抓日历规律：明确日历中上下相邻数差7，左右相邻数差1，据此用含未知数的式子表示相关日期数。 2. 依条件列方程：根据日期数的和、差等等量关系设未知数列方程，求解后检验日期是否在合理范围。 例10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【答案】(1)14； (2)小明的说法不对，理由见解析 (3)66 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出，由，不符合题意，可得出假设不成立，即小明的说法不对； （3）观察图形，可得出符合题意的的各值，再将其相加，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；． （2）解：小明的说法不对，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， ， ，不符合题意， 假设不成立， 即小明的说法不对； （3）解：图中符合为整数即,则b是5的倍数，且不造边的位置，则仅有3个“”字形框， 其中的值分别为17，22，27， ． 故答案为：66． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个日期之和不可能等于55，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据“T”字形的特征列式即可； （2）根据“4个日期之和等于55”列方程求解，然后判断是否实际意义即可． 【详解】（1）解： （2）解：若4个日期之和等于55 则                                                           观察月历表，发现日期11位于侧边      所以被框住的4个日期之和不可能等于55． 【变式10-2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)369； (3)不能等于2024；理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律探究，解一元一次方程，发现数阵中9个数之间的关系是解题的关键． （1）根据每列中上面一个数比下面的一个数大18即可用中间的一个数表示出上面和下面的那个数； （2）求出图中平行四边形框内的九个数的和，即可； （3）设中间的一个数为，用含的代数式分别表示其余的8个数，求出九个数的和，得到这九个数之和的规律；再根据这九个数之和等于2024列出方程，解方程求出的值，根据实际意义确定即可． 【详解】（1）解：∵设中间一个数为，则上面的一个数是，下面的一个数是， 故答案为：，； （2）解：图中平行四边形框内的九个数的和为：， 故答案为：369； （3）解：这九个数之和不能等于2024； 理由如下：设数阵图中中间的数为，则其余的8个数为，，，，，，，， ∴这九个数的和为： ， 依题意得， 解得． 因为不是整数，所以不存在． 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 1. 分清计费档位：明确水电费的分段计价规则，区分不同用量区间的单价，确定各档位的计费范围。 2. 按分段列方程：设总用量为x，根据分段费用之和等于总费用列一元一次方程，验证解是否匹配对应档位。 例11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 【变式11-1】（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号户名：，地址：。（2022.09.01—2022.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【分析】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 1. 表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的起始位置和运动速度、方向，用含t的代数式表示其在数轴上的对应数。 2. 根据条件列方程：依据两点间距离公式或位置关系（如重合、中点）列方程，求解后检验时间和坐标的合理性。 例12．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．已知是最大的负整数，是多项式的次数．是数轴上的一个动点，其表示的数是． (1)_____，_____； (2)已知点到点的距离就是线段的长，点到点的距离就是线段的长，若线段，求的值； (3)若点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点也以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点之间的距离为2个单位长度时，求点表示的数． 【答案】(1)，5 (2)或 (3)或 【分析】该题主要考查了两点之间距离，一元一次方程，多项式的定义等知识点，解题的关键是理解题意． （1）根据有理数的分类和多项式的次数解答即可． （2）根据列出方程解答即可． （3）根据点之间的距离为2个单位长度列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数， ∴，， 故答案为：，5． （2）解：根据题意可得在数轴上点表示的数是，点表示的数是5， ∴， ∴， 解得：或． （3）解：设运动时间为t， 则运动t秒后点分别表示的数是，，点表示的数是， 则， 解得：或， 此时点表示的数是或． 【变式12-1】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． （1）________；________． （2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； ②点是线段的巧点，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）；；（2）①是；②；（3）或或，见解析 【分析】本题考查数轴，新定义和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分类讨论． （1）根据绝对值和偶次方的非负性，即可解答； （2）①根据“巧点”的定义，即可解答； ②根据“巧点”的定义，即可解答； （3）根据“巧点”的定义，分情况讨论，当或，或，分别计算即可． 【详解】解：（1）根据， 可得，， 解得， 故答案为：；； （2）①当一个点为线段的中点时， 线段是其余两条线段的2倍， 故线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； ②根据（1）可得， 点是线段的“巧点”， 当时，最长， 即， 故答案为：12； （3）当点为点、的“巧点”时，点在线段上， 根据题意，秒后，，，， 为、的“巧点”， 或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 当为或或时，为、的“巧点”． 【变式12-2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合与探究 【定义】已知点为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：． 【示例】如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点P表示的数为0，点Q表示的数为．因为，则，所以P是的“2倍点”，记作：；因为，则，所以Q是的“倍点”，记作：． 【问题解决】 （1）如图2，三点在数轴上表示的数分别是，回答下面问题： ①_______，_______，______； ②若点C是数轴上一点，，求点C表示的数； ③若点D是数轴上一点，，求点D表示的数． 【拓展提升】 （2）如图3，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25．点M从点A出发以3个单位/秒的速度向右运动，点N从点B出发以2个单位/秒的速度向左运动，点两点同时出发．当点M和点N相遇时点M立即掉头按原速沿数轴向左运动，点N运动速度与方向不变，记运动时间为t秒．在运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）①；②2；③3或11；（2）或 【分析】此题考查数轴上的动点问题和一元一次方程的应用． （1）①根据定义进行解答即可；②根据定义进行解答即可；③根据定义分两种情况进行求解即可； （2）两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）①由题意可得， ，， ∵， ∴，即； 故答案为： ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； ③， ， ∵点A表示，点B表示5， 或6， ∴点D所表示的数为3或11； （2）由题意可得，，则， 相遇前，如图， 由题意可知，， 此时， 由得到，， 解得， 相遇时，； 相遇点表示的数为， 相遇后，如图， 记相遇后运动时间为秒， 则，， 由得到，， 解得，即， 综上可知，运动时间为或 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该衣服的进价为x元，则售价为元，根据毛利率计算公式列出方程求出进价，进而求出售价即可求出对应的利润． 【详解】解：设该衣服的进价为x元，则售价为元， 由题意得，， 解得， 元， ∴销售该物品所得的利润为250元， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏；若人一组，每组个杏，则多个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是根据题意找相等关系，列出相应的方程．根据人一组，每组个杏，则多个杏，可知杏的总数为；若人一组，每组个杏，则多个杏，可知杏的总数为，即可列出方程． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：A． 4．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设个数中最小的数为，根据“”型框框中个数的位置关系可得：、、、，当框中的五个数的和是时，可列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】解：设个数中最小的数为，则其他个数分别为、、、， 根据题意得：， 整理得：， 解方程得：， 答：当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是. 故选：C ． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：或找大长方形的宽做相等关系得． 所以小宇正确，小颖不正确． 故选：A． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小红、小军分别从一条公路上的、两地同时相向而行，当小红行驶完600米时，小军恰好走了、两地之间距离的，此时两人相距100米，则、两地之间距离为 米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设、两地之间距离为米，分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：设、两地之间距离为米， ①两人未相遇前相距100米， 则， 解得：； ②两人相遇后相距100千米， 则， 解得：， 即、两地之间距离为或米， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·四川广安·期末）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 【答案】450 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设一次性购物满x元时，两种方案最终付款金额相等，则分别用x表示出两种方案付款金额，即可建立方程求解． 【详解】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等 根据题意，得， 解得， 故答案为：450． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 【答案】八 【分析】设商店应打x折，根据某种商品每件的进价为120元，标价为180元，利润率为，根据题意列方程,进行求解即可．本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设商店应打x折， 由题意可得， 解得 ∴商店应打八折， 故答案为：八． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶，它是由个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式加减的应用，设第一行第个数是，则第三行第个数为，即可得，进而得到第二行第个数是，再列出方程求出即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，设第一行第个数是，则第三行第个数为， 由题意得，， ∴， ∴第二行第个数是， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设小长方形的长为y，宽为x，根据大长方形的宽，，求出，然后根据阴影部分的周长是16，得出关于x的方程，解方程求出x，然后根据阴影部分的周长是22，得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，设小长方形的长为y，宽为x， 根据图形发现： ∴， ∵阴影部分的周长是16， ∴， 解得， ∴， ∴大长方形的长为， ∵阴影部分的周长是22， ∴ 解得， ∴， ∴长方形的面积是， 故答案为：3． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 【答案】或 【分析】先求出A点对应的数为，B点对应的数是5，设经过t秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴A点对应的数为，B点对应的数是5， 经过t秒后，A点对应的数为，B点对应的数为，P点对应的数为 ,则，，， ①当时， ， ， 当，即时，的值在某段时间内不随t的变化而变化； ②当时，， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着t的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随t着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 三、解答题 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 【答案】人数有21人，羊价是171元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 可设买羊人数为未知数，等量关系为：买羊人数买羊人数，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设有x个人，根据题意，得： ， 解得：， （元）， 答：人数有21人，羊价是171元． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． (2)440元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设该超市购进玩偶件，根据用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣得：，解方程可得答案； （2）用玩偶和钥匙扣利润相加，列式计算即可得答案． 【详解】（1）解：设该超市购进玩偶件，则购进钥匙扣件， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：该超市购进玩偶20件，购进钥匙扣30件． （2）解： （元）． 答：该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得利润440元． 17．（24-25七年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 (1)嘉嘉投中A区6次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； (2)琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分？如果能请求出，如果不能请说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的得分为分 (2)琪琪的得分不能正好超嘉嘉10分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）根据嘉嘉投中A区6次，B区2次，脱靶2次，结合表格列出算式可求解； （2）由题意列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵嘉嘉投中A区6次，B区2次，脱靶2次， ∴（分）， 答：嘉嘉的得分为分； （2）解：∵琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，即琪琪投中A区次，B区1次，脱靶次， ∴由题意可得：， 解得：． ∵为正整数， ∴不符合题意． 答：琪琪的得分不能正好超嘉嘉10分． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，线段 ，点在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，点在数轴上表示的数分别为________； (2)当为何值时，原点恰好是的中点． 【答案】(1)， (2)当时，原点恰好是的中点 【分析】本题考查了数轴与动点问题，掌握数轴上任意两点之间的距离公式和行程问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题意列出方程，即可求出点与点的相遇时所求时间，即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式即可求出和，然后根据点、点与点的相对位置分类讨论，分别列出方程求出值即可． 【详解】（1）解：（单位长度），点在数轴上表示的数是， 点表示的数是． 又（单位长度），点在数轴上表示的数是， 点表示的数是． 由题意可得：， 即， 解得， 当点与点相遇时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， 故答案为：，． （2）解：点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ，， 点运动到点所需时间为，点运动到点所需时间为， ①若运动后，点在点的左侧，点在点的右侧，是的中点，则， 此时，解得； ②若运动后，点在点的右侧，点在点的左侧，是的中点，则， 此时，解得，不符合，故舍去． 当时，原点恰好是的中点． 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)乙校单独购买服装应付元． (2)甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； (3)最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 【分析】考查一元一次方程的应用及方案选择问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出乙校参加演出的人数即可求解； （2）甲校的人数多于乙校的人数，可得甲校服装的单价为50，乙校服装的单价为60元，等量关系为：甲校服装的总价乙校服装的总价，把相关数值代入求解即可； （3）比较校合买服装的总价钱以及按照单价元买时的总价钱即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：（人）， ∴乙校单独购买服装应付：（元） 答：乙校单独购买服装应付元； （2）解：设甲校人，则乙校人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则, ∴， 解得：， ∴（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； （3）解：甲校有人参加演出，乙校有人参加演出， 两校联合：元， 而此时比各自购买节约了：元， 若两校联合购买了套只需：元， 此时又比联合购买每套节约：元， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买套服装， 即比实际人数多买套， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 20．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)22； (2)不会是90，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．观察日历，得到，中的各个数字的联系是解决本题的关键． （1）观察“U型”中最小的数和最大的数相差多少即可得到最大的数是多少； （2）设中正中心的数为a，表示出其余的数，进而根据和为90列出方程求得正中心的数，结合图形看是否在日历中即可； （3）分别表示出和，根据得到a和b关系，进而根据日历中a可取的最大值得到b的最小值，即可得到的最大值． 【详解】（1）“U型”中最小的数为13，“U型”中最小的数和最大的数相差9， 最大的数为22， 故答案为：22； （2）的值不会是90，理由： 设中正中心的数为a，则其余的数为，，，， ， ， 解得：， 观察日历可得：18不会在的正中心， 的值不会是90； （3）设中最小的数为，则其余的数为：中正中心的数为， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∵求的最大值，最大可取 24， ∴ b取最小值 8， ∴的最大值． 21．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【教材变式】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240千瓦·时，第二档：月用电量为240~400千瓦·时，第三档：月用电量超过400千瓦·时）．设居民每月用电量为（千瓦·时），收费标准如表． 月用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过240千瓦·时 每千瓦·时0.55元 240~400千瓦·时 超过240千瓦·时的部分每千瓦·时0.75元 超过400千瓦·时 超过400千瓦·时的部分每千瓦·时1.5元 (1)每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费_____元；每月用电量超过400千瓦·时，应交电费_____元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150千瓦·时，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)； (2)应交电费82.5元 (3)该户居民用电372千瓦·时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400千瓦时的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400千瓦·时，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电千瓦·时． 22．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 【答案】（1），；（2）4.4 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据“距离速度时间”即可列出骑手甲离开商店A的距离和骑手乙离开商店A的距离； （2）根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离”列方程，解出即可． 【详解】解：（1）设骑手甲行驶的时间为分钟． 因为甲的平均速度为600米/分， 所以骑手甲离开商店A的距离为米： 因为乙的平均速度为400米/分，2分钟后乙出发， 所以骑手乙离开商店A的距离为米． 故答案为：，； （2）依题意得， 整理得， 则， 解得， 答：的值为4.4． 23．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）在“如何设计宣传牌”校园主题活动中，老师向七（1）班的同学提出如下设计要求，请你根据内容帮助他们完成任务． 要求一：宣传牌呈长方形，长，宽，拟在上面书写24个字．中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等．（如图1） 要求二：为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．（如图2） 要求三：每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行的中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．（如图3） 任务一：分析数量关系．设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽； 任务二：确定四周宽度．求出四周宽度的值； 任务三：确定栏目大小．求每个栏目的竖直高度． 【答案】任务一：设计部分的长为，宽为；任务二：；任务三： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1，根据题意，设计部分的长为，宽为； 任务2，由设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，得，可解得答案； 任务3，设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行的中间间隔为， 则竖向两行中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，求解即可． 【详解】解：任务1： 根据题意，设计部分的长为，宽为； 任务2： ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍， ， 解得：， ∴四周宽度是； 任务3：设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行的中间间隔为， 则竖向两行中间间隔是， 根据正方形边长相等可得：， 解得：， ∴每个栏目的竖直高度为． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）观察可知，方框内的数下面一行的数比上面一行的数大7，由此列出对应的式子即可； （2）根据（1）所列式子建立方程求解即可； （3）仿照（2）进行求解即可． 【详解】（1）解：用一个正方形框在表中任意框住个数，记左上角的一个数为，另三个数用含的代数式表示，则另三个数用含的式子表示为：，，， 故答案为，，； （2）解：根据题意，得．， 解得． ∵， ∴是第8行第1个数， ∴符合题意； （3）解：不能．理由： 假设能框住这样的个数，它们的和等于156，则 ， 解得， 因为35是第5行最后一个数， 所以不符合题意， 因而不能． 25．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 【答案】（1），，， （2）点表示的数是，，，（3）秒，秒或秒 【分析】本题考查了数轴-新定义型，一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握分情况讨论的思想． （1）根据图形可直接解答； （2）分四种情况：当点在点的右边时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点的左边时；利用倍点的定义列式解即可； （3）点恰好是和两点的倍点，可分为三种情况：当在点，之间，且离点近时；当在点，之间，且离点近时；当在的左边时；解得有个值． 【详解】解：（1）如图，∵， ∴， 点既是点和点的倍点，点又是点和点的倍点， 故答案为：，，，； （2）解：设点表示的数是， 当点在点的右边时，此时是正数，点是点和的倍点，则，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点的左边时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 综上，点表示的数是，，，； （3）设运动秒，点恰好是和两点的倍点， 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在的左边时，则有，即，解得； 所以，点运动秒，秒或秒时，点恰好是和两点的倍点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题04 一元一次方程的应用的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 压轴专练 类型一、一元一次方程的应用之古代问题 1. 译古为今：将古代问题的文言表述转化为现代数学语言，提炼已知量、未知量和等量关系。 2. 建模求解：设未知数，依据等量关系列一元一次方程，解方程后验证解是否符合题意。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）列方程解应用题：我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方湊，玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四之一群，再把你的一只湊进来，才满只．”请问甲赶的羊一共多少只？ 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 类型二、一元一次方程的应用之销售问题 1. 理清公式：牢记核心关系式，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，折扣价=标价×折扣率，找准已知量和未知量。 2. 列方程求解：根据题目中的等量关系设未知数，代入公式列一元一次方程，求解后检验答案是否符合实际销售场景。 例2．（24-25七年级上·福建福州·期末）列方程解应用题 某文具店计划购进A、B两种文具套装，这两种文具套装的进价和标价如表所示： 进价（元/套） 标价（元/套） A种文具套装 10 16 B种文具套装 9 15 (1)若该文具店要花费480元同时购进两种文具套装共50套，求购进A种文具套装多少套? (2)在（1）的条件下，为了促销，文具店老板决定把A种文具套装中15套按标价的九折出售，B种文具套装中a套按标价打八折出售．剩下的A，B种文具套装按各自标价出售、要使购进的这批文具套装在完全售出后达到的利润率，求a的值． 【变式2-1】（23-24七年级上·福建莆田·期末）某超市第一次用元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品件，乙种商品件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵元．甲种商品售价为元/件，乙种商品售价为元/件． (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少元，那么的值是多少？ 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 类型三、一元一次方程的应用之方案问题 1. 列全方案：梳理题目给出的所有计费、分配等规则，分别列出每种方案对应的代数式，明确各方案的适用条件。 2. 分类求解：分情况列一元一次方程，计算不同方案下的结果，再通过对比结果选择最优方案，最后验证解的合理性。 例3．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 类型四、一元一次方程的应用之配套问题 1. 找配套比例：明确两种或多种零件的配套比（如1:2），这是列方程的核心依据。 2. 设未知数表数量：设生产某类零件的人数或数量为x，用含x的式子表示其他零件数量。 3. 按比例列方程：根据配套比列等式，求解后检验结果是否符合实际生产情况。 例4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）某校七（5）班共有学生49人，其中男生人数比女生人数多3人．综合实践活动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身10个或盒底29个． (1)七（5）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，1个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 类型五、一元一次方程的应用之工程问题 1. 定工作总量：通常设总工作量为1，再确定各主体的工作效率（效率=工作量÷工作时间）。 2. 抓等量关系：根据“各部分工作量之和=总工作量”列一元一次方程，求解后检验是否符合施工实际。 例5．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单，甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件，乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件． (1)如果两个小组此月一共实际完成了件，那么此月人均定额是多少件？ (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？ 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【变式5-2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 类型六、一元一次方程的应用之行程问题 1. 牢记核心公式：掌握 路程=速度×时间 及变形公式，这是解题的基础。 2. 判断运动类型：分清相遇、追及、相向、同向等运动形式，找准路程和、路程差等量关系。 3. 设未知数列方程：设时间或速度为x，代入等量关系列方程，检验解是否符合实际。 例6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式6-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某电影摄制组准备从A市到B市开展摄影工作，需要一天的行程．因为上午的路况较好，所以计划上午比下午多走100千米，中午到达C市吃午饭． (1)若上午行程的平均速度为100千米/小时，比下午行程的速度快20千米/小时，用时比下午多小时，求A，B两市的距离； (2)上午由于堵车，中午才赶到一个小镇D吃午饭，只行驶了原计划的三分之一，午饭后，汽车赶了400千米，傍晚才停下来在E处休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达B市了．求A，B两市的距离． 【变式6-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 类型七、一元一次方程的应用之数字问题 1. 表示多位数：掌握数位表示法，若十位数字为a、个位为b，两位数可表示为10a+b，同理表示三位数等。 2. 抓等量关系：根据数字位置互换、和差倍分等条件找等量关系，设未知数列方程，求解后验证数字合理性。 例7．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框5个数（十字框只能平移）． (1)若框住的5个数中，中间数为30，则这5个数的和为______，设中间数为，用含的代数式表示十字框内5个数的和为______． (2)十字框中的五个数之和能等于2026吗？若能，请求出中间数；若不能，请说明理由． 【变式7-1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【变式7-2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则在“三阶”幻方中有“幻方和”恰好是“中心数”的3倍． (1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值： ②将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值； (2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由． (3)如图⑥，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值． 类型八、一元一次方程的应用之比赛问题 1. 明确计分规则：先理清比赛胜、负、平对应的分值，以及总场次、总得分等已知条件，确定核心数量关系。 2. 设未知数列方程：设胜（或负、平）的场次为x，用含x的式子表示其他场次，根据总得分列方程，验证解的整数性（场次为正整数）。 例8．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？ 【变式8-1】（24-25七年级上·广东广州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对道题得______分，答错道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者得分，他答对了几道题？ (4)参赛者说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 类型九、一元一次方程的应用之几何问题 1. 牢记几何公式：掌握长方形、正方形、圆形等图形的周长、面积公式，这是列方程的关键依据。 2. 找几何等量关系：根据图形的边长、周长、面积的和差倍分等条件设未知数，代入公式列方程，检验解是否符合几何实际。 例9．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【变式9-2】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某工厂制作一款如图所示边长为的正方形装饰品，装饰品由四个三角形组成，分别采用甲，乙，丙，丁四种材料制作，点在上，点在上，，设的长为． (1)请用含的代数式分别表示下列各量． 甲面积是_____；乙面积是______； 丙面积是____；丁面积是______； (2)已知甲，乙，丙；丁四种材料单价分别为2元，元，元，元，若每块正方形装饰品的材料费用为96元，求的长； (3)若甲，乙，丙，丁四种材料单价分别为2元元元元（为常数）．要使每块正方形装饰品的材料费用不变，直接写出满足的数量关系以及每块正方形装饰品的材料费用． 类型十、一元一次方程的应用之日历问题 1. 抓日历规律：明确日历中上下相邻数差7，左右相邻数差1，据此用含未知数的式子表示相关日期数。 2. 依条件列方程：根据日期数的和、差等等量关系设未知数列方程，求解后检验日期是否在合理范围。 例10．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）图1是2025年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则 ．若，则 ； (2)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； (3)若“T”字形框框中的4个数满足为正整数，则直接写出符合条件的d的所有值的和为 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【变式10-2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 类型十一、一元一次方程的应用之电费和水费问题 1. 分清计费档位：明确水电费的分段计价规则，区分不同用量区间的单价，确定各档位的计费范围。 2. 按分段列方程：设总用量为x，根据分段费用之和等于总费用列一元一次方程，验证解是否匹配对应档位。 例11．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【变式11-1】（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号户名：，地址：。（2022.09.01—2022.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 类型十二、一元一次方程的应用之数轴上的动点问题 1. 表示动点坐标：设运动时间为t，根据动点的起始位置和运动速度、方向，用含t的代数式表示其在数轴上的对应数。 2. 根据条件列方程：依据两点间距离公式或位置关系（如重合、中点）列方程，求解后检验时间和坐标的合理性。 例12．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是．已知是最大的负整数，是多项式的次数．是数轴上的一个动点，其表示的数是． (1)_____，_____； (2)已知点到点的距离就是线段的长，点到点的距离就是线段的长，若线段，求的值； (3)若点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点也以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点之间的距离为2个单位长度时，求点表示的数． 【变式12-1】（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）【新知理解】如图，点，在数轴上分别表示有理数，，且，满足．如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． （1）________；________． （2）①线段的中点________这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； ②点是线段的巧点，则最长为________； 【解决问题】 （3）如图②，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【变式12-2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合与探究 【定义】已知点为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，即，则称P是的“k倍点”，记作：． 【示例】如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点P表示的数为0，点Q表示的数为．因为，则，所以P是的“2倍点”，记作：；因为，则，所以Q是的“倍点”，记作：． 【问题解决】 （1）如图2，三点在数轴上表示的数分别是，回答下面问题： ①_______，_______，______； ②若点C是数轴上一点，，求点C表示的数； ③若点D是数轴上一点，，求点D表示的数． 【拓展提升】 （2）如图3，在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为25．点M从点A出发以3个单位/秒的速度向右运动，点N从点B出发以2个单位/秒的速度向左运动，点两点同时出发．当点M和点N相遇时点M立即掉头按原速沿数轴向左运动，点N运动速度与方向不变，记运动时间为t秒．在运动过程中，当时，直接写出t的值． 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 2．（24-25七年级上·四川成都·期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏；若人一组，每组个杏，则多个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）冬天到了，商场一件羽绒服按成本价提高后标价，又以八折销售，这样每卖出一件商品可获利50元．设这件羽绒服一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 二、填空题 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）小红、小军分别从一条公路上的、两地同时相向而行，当小红行驶完600米时，小军恰好走了、两地之间距离的，此时两人相距100米，则、两地之间距离为 米． 8．（24-25七年级上·四川广安·期末）活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满 元时，两种方案最终付款金额相等． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）据云南网报道以“年货盛宴，滇味传承”为主题的2024云南网上年货节正式启动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，某网店准备打折销售，若使利润率为，则商店应打 折． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶，它是由个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得 ． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，七个一模一样的小长方形[（1）~（7）]平铺在大长方形中．若，阴影部分的周长是16，阴影部分的周长是22，则长方形的面积是 ． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点， ，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？请你用一元一次方程的知识解决． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 16．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某超市用1200元购进一批吉祥物玩偶和钥匙扣，两种商品共50件，它们的进价和售价如表所示（注：获利=售价进价）： 玩偶 钥匙扣 进价（元/件） 30 20 售价（元/件） 40 28 (1)该超市购进玩偶和钥匙扣各多少件？ (2)该超市将购进的玩偶和钥匙扣全部卖完后一共可获得多少利润？ 17．（24-25七年级上·河北承德·期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界不计入次数，需重新投．积分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 (1)嘉嘉投中A区6次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分； (2)琪琪投中A区次，B区1次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分？如果能请求出，如果不能请说明理由． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上线段，线段 ，点在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，点在数轴上表示的数分别为________； (2)当为何值时，原点恰好是的中点． 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 20．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 21．（24-25七年级上·河南安阳·期末）【教材变式】某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240千瓦·时，第二档：月用电量为240~400千瓦·时，第三档：月用电量超过400千瓦·时）．设居民每月用电量为（千瓦·时），收费标准如表． 月用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过240千瓦·时 每千瓦·时0.55元 240~400千瓦·时 超过240千瓦·时的部分每千瓦·时0.75元 超过400千瓦·时 超过400千瓦·时的部分每千瓦·时1.5元 (1)每月用电量不超过240千瓦·时，应交电费_____元；每月用电量超过400千瓦·时，应交电费_____元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150千瓦·时，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少千瓦·时? 22．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）【问题情境】 随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店A到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米/分，乙的平均速度为400米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 【数学思考】 （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店A的距离为________米，骑手乙离开商店A的距离为________米（均用含的式子表示）； 【问题解决】 （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店A的距离时，求的值． 23．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）在“如何设计宣传牌”校园主题活动中，老师向七（1）班的同学提出如下设计要求，请你根据内容帮助他们完成任务． 要求一：宣传牌呈长方形，长，宽，拟在上面书写24个字．中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等．（如图1） 要求二：为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．（如图2） 要求三：每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行的中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．（如图3） 任务一：分析数量关系．设四周宽度为，用含的代数式分别表示设计部分的长和宽； 任务二：确定四周宽度．求出四周宽度的值； 任务三：确定栏目大小．求每个栏目的竖直高度． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）把正整数1，2，3，4，…，2025按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______、______、______； (2)当（1）中被框住的4个数之和等于216，x的值为多少？ (3)在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于156？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由． 25．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $