期末专题02 整式及其加减的十二类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

期末专题02 整式及其加减的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 类型二、多项式系数、指数中字母求值 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 类型四、整式的加减运算 类型五、整式的加减中的化简求值 类型六、整式加减中的无关型问题 类型七、整式的加减运算与应用 类型八、带有字母的绝对值化简问题 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 类型十、已知式子的值，求代数式的值 类型十一、与图形有关的规律探究问题 类型十二、与数字有关的规律探究问题 压轴专练 类型一、单项式、多项式的系数和次数 1. 判类型定系数：单项式系数是数字因数（含符号，π是常数）；多项式无系数，需先找各项再判每项系数。 2. 数字母算次数：单项式次数是所有字母指数和（常数项次数为0）；多项式次数是次数最高项的次数。 3. 去括号合并项：遇带括号的多项式，先去括号再合并同类项，避免漏项、错判次数与系数。 例1．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．是多项式 B．次数最高的项是 C．的次数是7 D．单项式的系数是 【答案】D 【分析】此题考查单项式、多项式、整式的概念，分别根据相关概念进行逐项分析判断，即可作答． 【详解】解：A、不是整式，不是多项式，故原选项说法错误，不符合题意； B、次数最高的项是，故原选项说法错误，不符合题意； C、的次数是4，故原选项说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，故原选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是−2 B．的次数是6 C．是三次三项式 D．的常数项是1 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键． 根据单项式的系数、次数，多项式的系数、次数、项数和常数项的概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，故该选项错误； B、的次数是3次，原说法错误，故该选项错误； C、多项式是三次三项式，原说法正确，故该选项正确； D、多项式的常数项为，原说法错误，故该选项错误． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是1 B．多项式的常数项是5 C．单项式的系数是 D．是三次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；由此逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的概念及多项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：A、单项式的次数是2，故原说法错误，不符合题意； B、多项式的常数项是，故原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，故原说法错误，不符合题意； D、是三次三项式，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 类型二、多项式系数、指数中字母求值 1. 抓次数列等式：根据多项式次数定义，找到最高次项，令其字母指数和等于已知次数，列出方程求解字母值。 2. 依同类项定条件：若涉及同类项，需保证所含字母相同且相同字母指数相等，结合系数条件建立等式计算。 3. 验结果去矛盾：求出字母值后，代入原式检验，排除使某项系数为0导致次数改变的情况。 例2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的次数和项数的定义．由题意可知，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知多项式为5次多项式，则 ． 【答案】2或3/或 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的命名，b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据多项式为五次式可得方程或，求出m的值即可． 【详解】∵多项式为5次多项式， ∴或 解得，或． 当时，，不符合题意，舍去， ∴或3， 故答案为：2或3． 【变式2-2】（24-25七年级上·天津·期末）已知关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，理解多项式次数和项数的概念，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据多项式的项数和次数的概念列方程求得m和n的值，从而代入求值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ∴这个多项式为， ∴当时，原式， 故答案为：． 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 抓同类项核心条件：明确同类项需所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相等，据此对每个字母的指数列等式。 2. 解方程求字母值：通过解一元一次方程算出指数中字母的具体数值，若所求为代数式，直接代入求值。 3. 代入原式验证：将结果代入原单项式，检查是否满足同类项定义，排除系数为0等特殊情况。 例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义得出，，再求解即可． 【详解】解：由同类项定义可知：，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：81． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东梅州·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，有理数的乘方，掌握相关知识是解题的关键．根据同类项求、的值，再代入中计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 类型四、整式的加减运算 1. 去括号看符号：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，各项都要变号，括号前有系数时，需用分配律乘括号内每一项。 2. 找同类项合并：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，防止漏项或错改指数。 3. 验结果防出错：可反向代入原式计算，核对运算结果是否一致，避免符号和计算失误。 例4．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，即去括号合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式4-1】（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，去括号，合并同类项，正确括号，合并同类项是解本题的关键． （1）合并同类即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、整式的加减中的化简求值 1. 先化简再求值：先去括号（注意符号变化），再合并同类项，将整式化为最简形式，避免直接代入数值计算带来的繁琐运算。 2. 代入数值细计算：代入时，负数或分数要加括号，乘方运算需遵循运算法则，分步计算减少符号和计算错误。 3. 特殊值巧检验：化简后可代入简单值检验化简是否正确，再代入目标值计算，确保结果准确。 例5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）化简求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值．先去括号，再合并同类项，然后把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式5-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减——化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时 原式 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值． 其中 （2）已知求 的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并同类项得到最简结果，将，代入计算即可求出值． （2）原式去括号合并同类项得到最简结果，根据绝对值和偶次方的非负性求出将，再代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式 ， 当 时，原式 . （2）原式 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因此，原式 ． 类型六、整式加减中的无关型问题 1. 化简整式：先去括号、合并同类项，将整式整理成关于某个字母的降幂或升幂形式，清晰分离含该字母的项与不含该字母的项。 2. 令系数为0：“与某字母无关”即含该字母项的系数为0，据此列方程求解字母参数的值，注意符号不要出错。 3. 代入验证：将求出的参数值代回原式，检验含无关字母的项是否确实消去，确保结果无误。 例6．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知，请按要求解决以下问题： (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，则，即可作答． （2）先整理得，因为的值与y的取值无关，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：依题意，， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知多项式，． (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与x的取值无关，求的值． 【答案】(1)14 (2)5 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质； （1）先计算，再结合非负数的性质可得，，再代入求解即可； （2）先计算，再根据代数式的值与x的取值无关，求解的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，， ∴上式； （2）解： ∵该代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴，， ∴； 【变式6-2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于题目：整式的值与的取值无关，求的值．通常的解题方法是把x，y看作字母，把看作系数合并同类项．因为整式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； 【拓展提升】 （2）用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设，则左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式加减运算、解一元一次方程等知识点，熟练掌握知识的加减运算法则是解题的关键． （1）先通过合并同类项化简，然后根据多项式的值与的取值无关，列关于m的方程求解即可； （2）观察图形，将和代入进行运算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴， ∵当的长度发生变化时，的值始终保持不变， ∴，即． 类型七、整式的加减运算与应用 1. 实际问题转整式：根据题意提炼数量关系，用字母表示未知量，将文字描述转化为整式表达式，注意单位统一和符号规范。 2. 按法则化简计算：先去括号（括号前是负号要变号），再合并同类项，化简过程中分步核对，避免符号和系数错误。 3. 代入验证写结果：将已知数值代入化简后的整式求值，结合实际意义检验结果合理性，确保符合题意。 例7．（24-25七年级上·山西长治·期末）窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长是a米．（取3） (1)求窗户的面积． (2)求窗户框的总长（图中所有黑线的长度和）． (3)为了隔音保暖，窗户安装的是带有分割线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米的价格是20元，安装玻璃时，用到的窗户框材料每米的价格是30元．若，求安装好一个这样的窗户需要的总费用（总费用=玻璃的费用+窗户框材料的费用）． 【答案】(1)窗户的面积为平方米； (2)窗户框的总长为米； (3)总费用为280元． 【分析】本题考查了整式加减的应用，代数式求值，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据圆的面积公式和正方形的面积公式列式求解即可； （2）根据圆的周长公式和正方形的周长公式列式求解即可； （3）根据前两问所得面积乘以价格，再相加即可． 【详解】（1）解：窗户的面积为， 当时，（平方米）， 答：窗户的面积为平方米； （2）解：窗户框的总长为， 当时，原式（米）， 答：窗户框的总长为米； （3）解：根据题意，需要的总费用， 当时，（元）， 答：安装好一个这样的窗户需要的总费用为280元． 【变式7-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）小莹非常喜欢数学，十分爱护数学用书，她通常会选用封皮来精心包裹书本．现有一本如图的数学课本，其长为、宽为、厚为，小莹用一张长方形纸包好了这本数学书，封皮展开如图所示．图中虚线为折痕，阴影是被裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折进去的宽度． (1)求小红所用包书纸的周长是多少？（用含的代数式表示，并化简） (2)当封面和封底各折进去时，请帮小莹计算一下封皮的展开图面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，读懂题意是解题的关键． （1）将封面和封底各折进去列出代数式计算即可； （2）把分别求出长和宽，求解即可． 【详解】（1）解：小红所用包书纸的周长： ， 答：小红所用包书纸的周长为； （2）解：当时， 包书纸长为：， 包书纸宽为：， 所以面积为：， 答：需要的包书纸的面积为； 【变式7-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． (1)这样一扇窗户共需要铝合金_____米；（用含有x，y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃_____平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（取3）？ 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)该公司在乙厂购买窗户更合算． 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）求出窗框的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断； 【详解】（1）解：根据题意，得， 因此，一扇这种窗户共需要铝合金米； （2）解：根据题意，得 ， 因此，一扇这种窗户共需要玻璃平方米； （3）解：当，时，， ， 则共需铝合金米， 玻璃平方米； 根据甲厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 根据乙厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 因为， 所以该公司在乙厂购买窗户更合算． 类型八、带有字母的绝对值化简问题 1. 判符号定正负：根据已知条件（如数轴位置、不等式），确定绝对值内字母或代数式的正负性，这是化简的关键。 2. 去绝对值用法则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0，据此去掉绝对值符号并加括号。 3. 去括号合并化简：去掉绝对值后，按整式加减法则去括号、合并同类项，注意符号变化，避免漏变号。 例8．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示： (1)______0，______0；______0．（填或或） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2)c 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减运算，根据点在数轴的位置判断式子的正负，以及根据绝对值的意义化简绝对值． （1）根据数轴可知a．b，c的正负性，可得，即可求解． （2）根据绝对值的性质化解求解即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴ ． 【变式8-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）观察数轴并回答下列问题 (1)用“”或“”填空： ______0；______0；______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值的性质，准确识图确定出的正负情况，熟练掌握绝对值的性质及整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据数轴确定的正负情况及绝对值大小，再进行判断即可； （2）根据绝对值的性质进行化简合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． 化简代数式 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减．先判断，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴ 原式 ． 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号、公式或法则，明确运算对象、顺序和对应关系，不混淆新定义与常规整式运算。 2. 转化为常规运算：将新定义的式子，按规则转化为整式的加减运算，去括号、合并同类项时注意符号和指数，保证步骤准确。 3. 代入验证保正确：计算后代入简单数值检验，看是否符合新定义要求，避免因误解规则导致解题错误。 例9．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数，见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）解：与是关于2的“平衡数”，理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 【变式9-1】（24-25七年级上·北京平谷·期末）我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个有理数和，满足以下规则：． 例如： 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，整式加减化简求解； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，，进行整式加减化简，即可求解； 理解新定义，能熟练进行有理数混合运算及整式加减化简求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：由题意得 ， ， ， 当时， 原式 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【答案】(1)3； (2)数m与数n互为相反数，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴，，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即， ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 类型十、已知式子的值，求代数式的值 1. 整体代入巧转化：观察已知与所求代数式的结构，提取公共部分，将已知式子视为整体代入，避免求单个字母值的繁琐。 2. 变形构造求关联：对已知或所求式进行恒等变形，如添括号、拆项、系数配凑，构造出可直接代入的形式，注意变形前后等价。 3. 代入计算细检验：代入后按运算顺序计算，符号和系数是易错点，算完后反向验证，确保结果准确。 例10．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）已知，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数．根据已知条件请回答： (1)______，______； (2)求的值． 【答案】(1)1，0 (2)或 【分析】本题考查了代数式求值、倒数、相反数的定义、绝对值、负整数，熟练掌握定义和性质是解题关键． （1）根据倒数的定义、相反数的定义求解即可得； （2）先根据倒数、相反数的定义、绝对值、负整数的定义可得，，，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，互为倒数， ∴， ∵，互为相反数， ∴， 故答案为：1，0． （2）解：，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数， ∴，，，， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 【变式10-1】（24-25六年级上·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当，时，代数值的值是6，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将变形为，再将代入即可； （2）将，代入求出，再利用整体代入法即可求解． 【详解】（1）解：若，则； （2）解：将，代入， 得：， ， 当，时， ． 【变式10-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是正确解决本题的关键． （1）把得，整体代入计算即可； （2）先由，，可得，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 类型十一、与图形有关的规律探究问题 1. 列数据找规律：按图形序号，依次列出对应数量（如小正方形个数、线段条数），将图形问题转化为数字序列问题。 2. 析变化建模型：分析相邻数据的差值或倍数关系，判断规律类型（等差、等比等），用含序号\(n\)的代数式表示规律。 3. 验规律保准确：将序号代入代数式，验证是否与图形对应数量一致，确保规律通用。 例11．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 【答案】(1)14；； (2)第2024个图形中三角形的个数为6074个． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并从中发现规律，然后利用发现的规律解题即可． （1）通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （2）根据（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形的三角形个数为； 第2个图形的三角形的个数为； 第3个图形的三角形的个数为； ∴第4个图形的三角形的个数为； …； ∴第n个图形的三角形的个数为． 故答案为：14；； （2）解：当时，． 【变式11-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去． (1)第5个图案有 个三角形； (2)第n个图案有 个三角形；（用含n的式子表示） (3)第2024个图案有几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3)6073个 【分析】本题考查图形类规律探究，正确的找出图形规律，是解题的关键： （1）观察图形可知，后一个图形中三角形的个数比前一个图形中的个数多3个，进行求解即可； （2）根据（1）中的得到的规律作答即可； （3）将代入（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案有4个三角形， 第2个图案有个三角形， 第3个图案有个三角形， 第4个图案有个三角形， 第5个图案有个三角形； 故答案为：16； （2）由（1）可知：第n个图案有个三角形； 故答案为：； （3）第2024个图案有：个三角形． 【变式11-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【答案】（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 类型十二、与数字有关的规律探究问题 1. 标序号列数列：给数字序列标上序号n（n从1开始），列出序号与对应数字的表格，直观呈现两者关联。 2. 析变化找关系：分析相邻数字的差、商或奇偶性，判断是等差、等比还是周期规律，用含n的代数式表达规律。 3. 代数值验规律：代入不同的n值验证代数式是否成立，排除特殊项干扰，确保规律具有普适性。 例12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图是某月的月历，请仔细观察，回答下列问题： (1)“工”形框中7个数的和与最中间的数之间有什么关系？ (2)若把这个“工”形放到其他月份的月历中，请判断（1）中的关系是否还存在，并说明理由． 【答案】(1)“工”形框中7个数的和是最中间数的7倍； (2)（1）中的关系存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了数字类规律的探究问题，解题关键是从特殊数据分析解答． （1）设 “工” 形框中最中间的数为，根据月历规律，上下相邻数差7，左右相邻数差1，若工形框的7个数分别为，，，，，，， 求出这7个数的和即可得解； （2）关系仍存在．理由：无论哪个月份，月历的排列规律不变，上下相邻数始终差7，左右相邻数始终差1，故（1）中的关系对任意月份的月历均成立． 【详解】（1）解：设 “工” 形框中最中间的数为，根据月历规律，上下相邻数差7，左右相邻数差1，若工形框的7个数分别为，，，，，，， 则它们的和为：， 因此，“工” 形框中7个数的和是最中间数的7倍； （2）解：关系仍存在．理由：无论哪个月份，月历的排列规律不变，上下相邻数始终差7，左右相邻数始终差1，设中间数为，周围数与的差值固定，按上述方式求和仍为，故（1）中的关系对任意月份的月历均成立． 【变式12-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；2048，11 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给三行数，发现每行数字的变化规律是解题的关键. （1）根据所给三行数，发现每行数字的变化规律，据此表示出第几个数即可解决问题. （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题. 【详解】（1）观察第①行数可知， 后一个数总是前一个数的倍，且第个数是， 所以第①行的第个数可表示为：，即． 观察第②行数可知， 第②行的每一个数是第①行相应位置数的， 所以第②行的第个数可表示为：， 即． 观察第③行数可知， 第③行的每一个数是第①行相应位置数减去后的相反数， 所以第③行的第个数可表示为：， 即． 所以当时， ； ； ． 故答案为：；， （2）存在： 由得， ， 当为奇数时， ， 解得； 当为偶数时， ， 此方程无解， 所以的值为11． 所以． 【变式12-2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数（三边形数）；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数（四边形数）． (1)下面各数中，既是“三角形”又是“正方形”的是（   ） A．15B．25C．36D．55 (2)如图3，可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第个“三角形数”之和等于一个“正方形数”，其中为大于1的整数．你能说出其中的道理吗？ 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及数字变化的规律，能根据题意发现“三角形数”和“正方形数”的变化规律是解题的关键． （1）根据“三角形数”和“正方形数”的特征即可解决问题； （2）根据题意，用含的代数式表示出发现的规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…… 正方形数依次为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…… 第个“三角形数”可表示为： ， 第个“正方形数”可表示为：， 由题意第8个图的三角形数为， ∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36， 故选：C． （2）能，理由如下： 由（1）发现的规律可知， 第个“三角形数”可表示为： 第个“正方形数”可表示为：， 则 ， 所以第个“三角形数”与第个“三角形数”之和等于一个“正方形数”． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河南新乡·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，需根据合并同类项的法则逐一判断,合并同类项时，字母和字母指数不变，系数相加减由此判断 【详解】∵ 选项A：，∴ A错误； ∵ 选项B：，∴ B错误； ∵ 选项C：（除非或），∴ C错误； ∵ 选项D：，∴ D正确； 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．和是同类项 B．单项式的系数是，次数是4 C．是单项式 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的概念，分别利用单独的一个数或一个字母是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，多项式中项数是指单项式的个数，次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； C、不是整式，则不是单项式，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值8，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，掌握整式的加减是解题的关键．先化简代数式，再根据题意得出，得出n的值． 【详解】解： ， ∵无论x，y取什么值的值都等于定值8， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去…，第次输出的结果是（   ） A．3 B．6 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据题意可以先求出前几次输出结果，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，进而可得出第次输出的结果与第3次输出的结果一样． 本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 【详解】解：根据题意可知： 开始输入的值是7，第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， 依次继续下去， …， 发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环， 因为， 所以第次输出的结果与第3次输出的结果一样是． 故选：A． 6．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出，，再代入式子求值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东广州·期末）若多项式是关于x的三次二项式，则m的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念．先根据多项式是关于的三次二项式，列出关于的 方程，解方程求出即可． 【详解】解：多项式是关于的三次二项式， 解得：或， 故答案为：5或 9．（25-26七年级上·全国·期末）若，则多项式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 先化简多项式，再根据已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式 故答案为：10． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为相反数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，求一个数的相反数，正方体相对两面上的字，解题关键是掌握已知字母的值求代数式的值． 先分别求出，，，再代入求值即可． 【详解】解：由题意可得，的相对面上的数为， 的相对面上的数为， 的相对面上的数为3， 如果相对面上所标的两个数互为相反数， 那么，，， 所以， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·广东珠海·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，的值是 ． 【答案】520 【分析】本题考查了数字规律探索问题，观察各图形可发现a，b，c的规律及它们之间的关系，即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：1，，3，，，； 所在的位置的数字规律为，，，，； ， ∴在第⑧个图中，，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·湖北·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，平方差公式，熟练掌握绝对值的几何意义和有理数的运算法则是解题的关键．对于①，当时，即可判断；对于②，根据条件可推出，，则，然后化简绝对值，即可判断；对于③，根据，结合数轴，分类讨论得出a、b的符号，即可判断；对于④根据条件可推出且，，，进而化简绝对值，即可判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误， 对于②：∵ ， ∴与同号， 又， ∴，， ∴， ∴，故②正确， 对于③：∵，则有四种情况： i、如数轴所示，    此时， ∴， ∴； ii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iii、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； iv、如数轴所示：    此时， ∴， ∴； 综上，若，则，故③正确； 对于④：∵， ∴与同号， 又，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，故④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 三、解答题 13．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先根据去括号法则去括号，然后根据合并同类项即可完成化简，注意去括号时符号的变化．本题考查了整式的加减运算． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）先去括号，然后根据整式的加减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．直接去括号进而合并同类项，再利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ， 把代入， 原式． 16．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知，． (1)化简：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式加减的运算法则． （1）将与代入，然后去括号、合并同类项进行化简； （2）把代入化简后的式子计算出结果． 【详解】（1）解：已知，将其代入可得： ； （2）解：当时，将值代入可得： ． 17．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）设，． (1)当时，求的值； (2)若的值与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入代数式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可； （）求出的值，根据含项的系数为求出的值即可； 本题考查了整式的加减化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时， 原式 ； （2）解： ， ∵的值与取值无关， ∴， ∴． 18．（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数大小，绝对值化简，整式的加减；解题的关键是结合数轴上的位置关系，确定各代数式的正负符号，再根据绝对值定义进行化简；错点在于对代数式正负的判断错误，导致去绝对值时符号出错； （1）利用数轴信息确定的符号和相对大小：由题意可知，为正数，为负数，为负数，且满足，去比较，，与0的大小； （2）根据（1）中得到的符号，分别去掉绝对值符号后进行加减运算． 【详解】（1）解：∵，到0的距离到0的距离， ∴，，， 故答案为：>；<；>； （2）解：∵，，， ∴． 19．（24-25七年级上·陕西延安·期末）“囧（jiǒng）”本义为光明，后来在网络上成为一种流行的表情符号，被赋予“郁闷、悲伤、无奈、尴尬、困窘”之意．如图，一张边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y． (1)用含有x、y的式子表示图中“囧”（阴影部分）字的面积； (2)若，，求此时“囧”字的面积． 【答案】(1) (2)320 【分析】本题考查了列代数式、代数式的求值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意即可表示出图中“囧”字的面积； （2）根据，求出的值，再代入到（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，图中“囧”字的面积， 图中“囧”字的面积为． （2）解：， ，， ，， 当，，时，， 此时“囧”字的面积为320． 20．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的多项式和，其中（为常数），． (1)若多项式中不含项，求的值； (2)当时，求； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，求解代数式的值； （1）由多项式中不含项，可得，再进一步求解即可； （2）先代入，再去括号，合并同类项即可； （3）由条件可得：，再进一步变形整体代入计算即可. 【详解】（1）解：多项式中不含项 ， ； （2）解：当时 ； （3）解：由（2）可知， ， ， ； 21．（24-25七年级上·山东济宁·期末）我们知道． 类似地，我们把看成一个整体，则．“整体代入”是数学解题中一种重要的方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 已知． (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式化简求值，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）将整体代入（1）的结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）当 时， 原式 ． 22．（24-25七年级上·河北保定·期末）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了，请按照甲同学给出的数值化简整式； (2)乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则乙同学给出、的值分别是______，______：（请直接写出、的值） (3)丙同学给出了、的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则丙同学给出、的值分别是______，______；（直接写出、的值） 【答案】(1) (2)； (3)6； 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，正确的合并同类项是解本题的关键． （1）直接将a、b的值代入整式，然后再化简即可． （2）原整式与计算结果比较对应的二次项、一次项系数，即可求得a、b的值． （3）根据计算结果与x的取值无关可知，二次项与一次项的系数均为0，据此可求得a、b的值． 【详解】（1）解：将代入原整式： 故化简后的整式为：． （2）解： ， ∵最后计算的结果为， ∴， 解得：． （3）解：∵， 且计算结果与x的取值无关， ∴二次项与一次项系数均为0，即 解得：． 23．（25-26六年级上·全国·期末）振华体育用品商店出售的羽毛球拍和羽毛球的进价、售价如下表： 进价 售价 羽毛球拍 元/副 元/副 羽毛球 元/只 元/只 滨江中学计划从该商店购买副羽毛球拍，只羽毛球. (1)该中学需花费多少元？（用含，的代数式表示） (2)“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副羽毛球拍，赠送只羽毛球； 方案二：每购买只羽毛球，赠送副羽毛球拍． ①分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（用含，的代数式表示） ②当，时，选择哪种方案更划算？ 【答案】(1)元 (2)①方案一:元；方案二元；②方案二更划算 【分析】此题考查了列代数式表示并计算实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出代数式，并进行化简、计算． （1）表示出该中学购买羽毛球拍和羽毛球的钱数，再求和即可； （2）①按照两种方案分别表示出各自花的钱数即可；②将，分别代入方案一、方案二的花费表达式，进行计算比较即可． 【详解】（1）解： 元； 答：该中学需花费元； （2）①方案一： 元； 方案二： 元； ②当，时， （元）， （元）， ， 选择方案二更划算． 24．（23-24七年级上·福建厦门·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题02整式及其加减的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 类型二、多项式系数、指数中字母求值 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 类型四、整式的加减运算 类型五、整式的加减中的化简求值 类型六、整式加减中的无关型问题 类型七、整式的加减运算与应用 类型八、带有字母的绝对值化简问题 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 类型十、已知式子的值，求代数式的值 类型十一、与图形有关的规律探究问题 类型十二、与数字有关的规律探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 1.判类型定系数：单项式系数是数字因数（含符号，π是常数）：多项式无系数，需先找各项再判每项 系数。 2.数字母算次数：单项式次数是所有字母指数和（常数项次数为0）；多项式次数是次数最高项的次 数。 3.去括号合并项：遇带括号的多项式，先去括号再合并同类项，避免漏项、错判次数与系数。 例1.(24-25七年级上·浙江丽水·期末)下列说法中，正确的是() 5 A,x+是多项式 B.a2-2ab2+3次数最高的项是a2 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π3x2y2 的次数是7 D.单项式mn 的系数是 【变式1-1】(24-25七年级上·河北邢台·期末)下列说法正确的是() A.- 2x 3的系数是-2 B.2y2的次数是6 C.w2+x-1 是三次三项式 D.r2+2x-1 的常数项是1 【变式1-2】(24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期末)下列说法正确的是() 3ab A.单项式的次数是1 B.多项式4ab+3ah-5 的常数项是5 C.单项式的系数是2 3πay 3 D.3a-2ab-1是三次三项式 类型二、多项式系数、指数中字母求值 1.抓次数列等式：根据多项式次数定义，找到最高次项，令其字母指数和等于已知次数，列出方程求 解字母值。 2.依同类项定条件：若涉及同类项，需保证所含字母相同且相同字母指数相等，结合系数条件建立等 式计算。 3.验结果去矛盾：求出字母值后，代入原式检验，排除使某项系数为0导致次数改变的情况。 例2.(23-24七年级上山东济宁期未)若多项式2a-列+7是关于的二=次三项式，则“的值为 【变式2-1】(23-24七年级上湖北黄石期末)已知多项式a》-2ab++3 为5次多项式，则m 【变式2-2】(2425七年级上·天津期末)已知关于的多项式m-4-+-m”为二次三项式，则当 x=一1时，这个二次三项式的值是一· 类型三、已知同类项求指数中宇母或代数式的值 1. 抓同类项核心条件：明确同类项需所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相等，据此对每个字 母的指数列等式。 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.解方程求字母值：通过解一元一次方程算出指数中字母的具体数值，若所求为代数式，直接代入求 值 3.代入原式验证：将结果代入原单项式，检查是否满足同类项定义，排除系数为0等特殊情况。 -2x"y 3xy2n 例3.(24-25七年级上·浙江杭州·期末)若 与 是同类项，则”-m=一 【变式3-1】(24-25七年级上安徽合肥期末)已知单项式2y与-2的和为单项式，则m=一 【变式3-2】(2425七年级上广东梅州期未)若单项式3“y与5w是同类项，则a+b心 类型四、整式的加减运算 1.去括号看符号：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，各项都要变号，括号前有 系数时，需用分配律乘括号内每一项。 2.找同类项合并：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，防止漏项或错改指数。 3.验结果防出错：可反向代入原式计算，核对运算结果是否一致，避免符号和计算失误。 例4.（24-25七年级上·重庆南岸·期末)计算： 4x2+3xy-2x2+y (1) 22x+2y-(3x+) 【变式4-1】(24-25七年级上重庆大渡口·期末)化简： (1)2a+7b-5a-b: 2a2-2a-2a2-3a+1+2 【变式4-2】(24-25七年级上陕西宝鸡期末)计算： 03x2-[7x-54x-3)-3r] 2-7a2+6a2-4abl-3b2+ah-a） 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、整式的加减中的化简求值 1.先化简再求值：先去括号（注意符号变化），再合并同类项，将整式化为最简形式，避免直接代入 数值计算带来的繁琐运算。 2.代入数值细计算：代入时，负数或分数要加括号，乘方运算需遵循运算法则，分步计算减少符号和 计算错误。 3.特殊值巧检验：化简后可代入简单值检验化简是否正确，再代入目标值计算，确保结果准确。 1 例5.(24-25七年级下辽宁沈阳期末)化简求值：2(3y2-2x2y)-5(xy2+3xy-2,其中x=2,y=2· 【变式5-1】(24-25七年级上辽宁抚顺期未)先化简，再求值：3到mn+m-3mn-nm-1,其中 m=3,n=-1. 【变式5-2】(24-25七年级下·全国期末)(1)先化简，再求值. 2x2+3到2y2-x-23x+2y其中 x=-2,y=3. (2)已知a+'+b+b+到0求+-2ah-4-a-b的值 类型六、整式加减中的无关型问题 1.化简整式：先去括号、合并同类项，将整式整理成关于某个字母的降幂或升幂形式，清晰分离含该 字母的项与不含该字母的项。 2.令系数为0：“与某字母无关”即含该字母项的系数为0，据此列方程求解字母参数的值，注意符号 不要出错。 3.代入验证：将求出的参数值代回原式，检验含无关字母的项是否确实消去，确保结果无误。 例6.(24-25七年级上四川宜宾期末)已知 =3x2-6y+2x-1,B=x2-xy-y 请按要求解决以下问题： (1)求A-3B: (2)若A-3B的值与y的取值无关，求x的值. A=4x2-bx+8B=2ax2-6x+2 【变式6-1】(24-25七年级上·重庆巴南期末)已知多项式 0)若口-4+(3-=0，求代数式2A-B的值： 2若代数式4+2B的值与的取值无关，米“+6如-的值 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ax-y+6+3x-5y-1 【变式6-2】(24-25七年级上·河南驻马店·期末)对于题目：整式 的值与“的取值无 关，求a的值.通常的解题方法是把x,y看作字母，把a看作系数合并同类项.因为整式的值与x的取值 无关，所以含项的系数为0，即原式a+3列x-6y+5】 ，其中a+3=0,则a=-3 【理解应用】 (1)若关于的多项式2mx-m+2m2-5 的值与的取值无关，求m的值： 【拓展提升】 (2)用6张长为b,宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形 中未被覆盖的两个部分，设1D=,则左上角部分的面积为=bc-4a ,右下角部分的面积为 S,=2ax-2ab 当1D的长度发生变化时，58，-2 的值始终保持不变，求“与之间的数量关系。 S 0 S2 B 类型七、整式的加减运算与应用 1.实际问题转整式：根据题意提炼数量关系，用字母表示未知量，将文字描述转化为整式表达式，注 意单位统一和符号规范。 2.按法则化简计算：先去括号（括号前是负号要变号），再合并同类项，化简过程中分步核对，避免 符号和系数错误。 3.代入验证写结果：将己知数值代入化简后的整式求值，结合实际意义检验结果合理性，确保符合题 意。 例7.(24-25七年级上·山西长治期末)窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形， 下部是边长相同的四个小正方形.己知下部小正方形的边长是a米.（π取3） 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ja a (1)求窗户的面积. (2)求窗户框的总长（图中所有黑线的长度和）· (3)为了隔音保暖，窗户安装的是带有分割线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米的价格是20元，安装 玻璃时，用到的窗户框材料每米的价格是30元.若a=0.5，求安装好一个这样的窗户需要的总费用（总 费用=玻璃的费用+窗户框材料的费用)· 【变式7-1】(24-25七年级上·福建泉州期末)小莹非常喜欢数学，十分爱护数学用书，她通常会选用封 皮来精心包裹书本.现有一本如图1的数学课本，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为lcm,小莹用一张长方 形纸包好了这本数学书，封皮展开如图2所示.图中虚线为折痕，阴影是被裁剪掉的部分，四角均为大小 相同的正方形，正方形的边长即为折进去的宽度acm. 厚1cm a 八年级 26cm 数学 封面 封底 18.5cm 图1 图2 (I)求小红所用包书纸的周长是多少？（用含a的代数式表示，并化简） (2)当封面和封底各折进去2cm时，请帮小莹计算一下封皮的展开图面积. 【变式7-2】(24-25七年级上山东威海·期末)如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半 圆，下部由三个完全相同的长方形组成.窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃. 2 ←XXX 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()这样一扇窗户共需要铝合金米：（用含有x,y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x,y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报 玻璃的报价 价 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米超过100平方米的 名 180元/米 部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当术4 y=6 时， 该公司在哪家厂商购买窗户更合算(”取3)？ 类型八、带有字母的绝对值化简问题 1.判符号定正负：根据已知条件（如数轴位置、不等式），确定绝对值内字母或代数式的正负性，这 是化简的关键。 2.去绝对值用法则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0，据此去掉绝对值 符号并加括号。 3. 去括号合并化简：去掉绝对值后，按整式加减法则去括号、合并同类项，注意符号变化，避免漏变 号。 例8.(24-25七年级上·四川泸州期末)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示： a -5-4-3-2102→ ()b0,a+c0:b-a0.(填>或<或=) 2化简：+b+d-b-@ 【变式8-1】(24-25七年级上山东日照·期末)观察数轴并回答下列问题 a 0b C (I)用“>”或“<”填空： a_0:a+b0:c-b0: (②化简：++2e--回 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式82】(2425七年级上湖北十堰期未)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且4> a 0 c-a-2a+b+c-b 化简代数式 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号、公式或法则，明确运算对象、顺序和对应关 系，不混淆新定义与常规整式运算。 2.转化为常规运算：将新定义的式子，按规则转化为整式的加减运算，去括号、合并同类项时注意符 号和指数，保证步骤准确。 3. 代入验证保正确：计算后代入简单数值检验，看是否符合新定义要求，避免因误解规则导致解题错 误。 例9.(24-25七年级上河南鹤壁期末)定义：若a+b=2,则称a与b是关于2的“平衡数” (1)5与 是关于2的“平衡数”，3-x与 是关于2的“平衡数”；（用含x的代数 式表示) 2)若a=2×-3到r+d+4,b=2x-[3x-(4+)+2],判断a与b是否是关于2的“平衡数”，并说明理 由 【变式9-1】(24-25七年级上·北京平谷·期末)我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个 有理数a和b,满足以下规则：a田b=3a-b. 例如：3田2=3×3-2=7 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： 2⊕(-4)= (1) ； a⊕(-b)=-4(a+2b)⊕(3b-6a) (2)若 ，求 的值. 【变式9-2】(24-25七年级上江苏盐城期末)定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数 时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的.如果两个多项式恒等，那 么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等， x3+2x2-cx+d x-dx2+bx-2 已知关于x的多项式 与多项式 是恒等的. 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a=-;d= 2若数m=3到2a+h+1,数”=-2(3a-c+c-3 则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 类型十、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入巧转化：观察已知与所求代数式的结构，提取公共部分，将已知式子视为整体代入，避免 求单个字母值的繁琐。 2.变形构造求关联：对已知或所求式进行恒等变形，如添括号、拆项、系数配凑，构造出可直接代入 的形式，注意变形前后等价。 3. 代入计算细检验：代入后按运算顺序计算，符号和系数是易错点，算完后反向验证，确保结果准 确。 例10.(24-25七年级上黑龙江大庆期末)己知a,b互为倒数，C,d互为相反数， m=3 n是最大的 负整数.根据已知条件请回答： (1)ab= ,c+d= 2求+g-o2,c+ 4的值. 【变式10-1】(24-25六年级上山东威海·期末)在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中 非常重要.例如：已知2a2+4a=2,则f代数式4-2a2-4a=4-(2a2+4a=4-2=2 请你根据以上材料解答以下问题： 2-3x=21-x2+3x (1)若 ,求 的值： 2)当x=-1,y=2 时，代数值-的值是6则当=1，少=- 时，求代数式y-ary+b2 的值。 x2+x+3 【变式10-2】(24-25七年级上·四川成都·期末)有这样一道题“代数式 的值为7，则代数式 2x2+2x-3的值是多少？”我们可以这样来解：设x2+x=m,:x2+x+3=7,即m+3=7,m=4, .2x2+2x-3=2x2+x-3=2m-3=2×4-3=5 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便.仿照以上的解题方法，完成 下面问题： 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+x+1 (1)若代数式 的值为15，求代数式2r-2x+3 的值： 7 2)已知a2+2ab=-2,b-2=-4,求20+2b+-2的值. 类型十一、与图形有关的规律探究问题 1.列数据找规律：按图形序号，依次列出对应数量（如小正方形个数、线段条数），将图形问题转化 为数字序列问题。 2.析变化建模型：分析相邻数据的差值或倍数关系，判断规律类型（等差、等比等），用含序号\() 的代数式表示规律。 3.验规律保准确：将序号代入代数式，验证是否与图形对应数量一致，确保规律通用。 例11.(24-25七年级上·江西吉安·期末)按如右图所示的规律摆放三角形 △△△公△△△ (1)第4个图形中三角形的个数为 第n个图形中三角形的个数为 (2)求第2024个图形中三角形的个数. 【变式11-1】(24-25七年级上·安徽合肥·期末)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角 形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…照此 规律摆下去。 XXXXXXXXXX… 第1个 第2个 第3个 第4个 (1)第5个图案有个三角形： (2)第n个图案有_个三角形；（用含n的式子表示） (3)第2024个图案有几个三角形？ 【变式11-2】(24-25七年级上·河南商丘·期末)【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第1个图案由4个基本图形组成：第2个图案由7个基本图 形组成：第3个图案由0个基本图形组成：…按此规律排列下去. 10/18