期末专题01 有理数及其运算的八类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

期末专题01 有理数及其运算的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 类型二、用科学记数法表示较大的数 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 类型五、有理数的混合运算 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 类型七、有理数的运算中规律探究问题 类型八、有理数的运算中应用问题 压轴专练 类型一、绝对值的非负性求解问题 1. 和为0型：利用，若，则a=0且b=0，多变量同理，据此列方程求解未知数。 2. 最值求解型：绝对值部分最小为0，求的最小值，直接取=0时，结果为n；求最大值则结合题目限定条件分析。 3. 等式拆分型：遇=a(a0)，拆成x=a或x=-a，解后需代入验证是否符合绝对值非负性。 【例1】（24-25七年级上·福建福州·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：3． 【变式1】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值得非负性，代入求值，现根据绝对值得非负性求出m，n的值然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．利用非负数的性质判断出，，再利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知线段，点C是直线上一点，点D为线段的中点，，且m、n满足，则线段的长为 ． 【答案】8或20 【分析】本题考查线段的和差，非负数的性质等知识，解题的关键或是学会用分类讨论的思想思考问题．利用非负数的性质求出，可得，设，分两种情形：当点C在线段上时，当点C在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴设 如图1中，当点C在线段上时，， ∴， ∴， ∴ ∴． 如图2中，当点C在是延长线上时，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为8或20． 故答案为：8或20． 类型二、用科学记数法表示较大的数 1. 确定a和n：a 满足 1≤a<10，将原数变为 a 时，小数点向左移动的位数就是 n。 2. 计数位验证：n 也等于原数整数位数减1，可快速核对结果是否正确。 3. 带单位换算：先把万、亿等单位转化为10的幂次形式，再结合前两步写出科学记数法。 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）地球和月球之间的平均距离约是384 400 000 m，384 400 000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法是将一个数表示为的形式，其中，n为整数求解即可． 【详解】384 400 000 中，将小数点向左移动 8 位，得到3.844， 因此表示为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）新华社记者5月从教育部获悉，2025年全国高考报名人数1335万人．请将数据“1335万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1335万． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，平凉市地区生产总值为亿元，按不变价格计算，同比增长．亿可用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1”是解题的关键． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）据报道，年国庆假期，兰州市累计接待游客万人次，数据万用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 按照科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：数据万用科学记数法可以表示为， 故答案为：． 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 定数的正负：数轴上，原点左侧的点表示负数，右侧表示正数，原点为0，先明确每个点对应数的符号。 2. 判运算结果：两数相加看绝对值大小，异号相减取绝对值大的符号；相乘除时，同号得正、异号得负。 3. 结合绝对值化简：绝对值内式子为正，去绝对值不变号；为负则变号，化简后再判断最终正负。 【例3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算法则．根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，，． 四个选项只有选项A符合题意． 故选∶A． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案． 【详解】解：①∵， ∴， 故①说法错误； ②∵， ∴， ∴故②说法正确； ③∵， ∴， ∴故③说法正确； ④∵， ∴， ∴故④说法错误； ∴正确的有②③． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）数轴上表示数的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，整式的混合运算，掌握数轴特点得到式子的符号，整式运算法则是解题的关键． 根据数轴的特点得到，结合整式的混合运算确定符号即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴，故原选项错误，不符合题意； ，原选项正确，符合题意； ，原选项错误，不符合题意； ，原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 【变式3】（24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．有理数的运算法则．根据数轴，可得结合有理数的运算法则逐项判定即可． 【详解】解：①∵ ∴， ∴①正确； ②∵ ∴， ∴②正确； ③∵ ∴， ∴③正确； ④∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的有①②③④． 故选：D． 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 1. 先化简有理数：先算乘方（注意符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负），再根据绝对值非负性去绝对值，将式子化为最简有理数。 2. 确定数轴位置：正数在原点右侧，负数在左侧，0 在原点处，根据数值大小确定与原点的距离。 3. 标注并验证：在数轴对应位置标注点，结合有理数的大小关系，验证标注是否符合左小右大的数轴规则。 【例4】（24-25七年级上·福建龙岩·期末）画出数轴并表示下列各数：0，，，，2 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数．熟练掌握在数轴上用点表示数，是解题的关键． 画出数轴，在数轴直接表示出所给数的位置即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）在数轴上表示下列各数，并将各数用“＜”号连接起来： ，，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查数轴，绝对值，有理数的大小，熟练掌握在数轴上表示有理数是解题的关键； 先将各数在数轴上表示出来，比较大小即可求解； 【详解】解：，，， 在数轴上表示为： 将各数用“＜”号连接起来：； 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、利用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方、绝对值，先将各个数进行计算，再表示在数轴上，比较即可得解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式3】（24-25七年级上·广东韶关·期末）已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1)3，3； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 类型五、有理数的混合运算 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算。 2. 巧用运算律简算：加法交换律、结合律凑整，乘法交换律、结合律、分配律简化计算，同级运算可调整顺序。 3. 注意符号规则：负号个数决定结果符号，奇负偶正；减去一个数等于加它的相反数。 【例5】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方、去绝对值，再算除法，然后算减法即可； （2）先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，并根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘方，并根据乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，乘方，求一个数的绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用乘法对加法的分配律进行计算即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级上·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和顺序是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘除法，再计算加法即可； （2）原式先计算乘方和绝对值，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号（如＃、＊）的运算公式，明确参与运算的数的位置和计算步骤。 2. 代入已知数计算：将题目中给定的有理数，严格按照新定义的规则代入式子，转化为常规的有理数加、减、乘、除或乘方运算。 3. 遵循常规运算律：代入后按先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的顺序计算，同时注意符号判断。 【例6】（24-25七年级下·江西赣州·期末）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确理解题目中给出的新定义，按照要求计算为解题关键． （1）根据题目中给出的新定义列式计算即可； （2）根据题目中给出的新定义列式按照有理数混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)40 【分析】本题考查了新定义和有理数的混合运算，正确理解新定义和有理数的运算法则解题的关键． （1）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可； （2）按照新定义法则把原式转化为有理数运算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义新运算“□”：，如． (1)求的值． (2)写出一组的值使，且． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)和（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）按新定义的含义列式即可； （）按新定义的含义找出与的关系式即可求解； （）按新定义的含义列出一元一次方程即可； 此题考查了新定义运算及解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由， ∵， ∴，即与互为相反数， ∴与的值可以为和（答案不唯一）； （3）由， ∴， 整理得：， 解得：． 【变式3】（24-25七年级上·河南焦作·期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下：使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为．如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是 (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、代数式求值，正确理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义进行判断即可得； （2）根据“共生有理数对”的定义可得，则，由此即可得； （3）根据“共生有理数对”的定义可得，从而可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴数对不是“共生有理数对”． （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：是． （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型七、有理数的运算中规律探究问题 1. 列举前几项找规律：根据题目给出的初始算式，依次计算前3-4项的结果，观察数字、符号的变化特点，总结重复出现的模式。 2. 归纳通用表达式：结合项数n，把规律转化为含n的代数式，注意区分奇偶项的符号差异，常用(-1)n来表示符号交替。 3. 代入验证防出错：将n取简单数值代入表达式，核对结果是否与之前计算的项一致，确保规律准确。 【例7】（23-24八年级上·吉林四平·期末）观察下列各式的规律，然后回答问题． ； ； ______． (1)把横线处结果填出来． (2)猜想： ______． (3)说明你的猜想的合理性． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式发现计算规律是解题关键． （1）根据已知等式规律即可求解； （2）根据已知等式规律完成猜想即可； （3）根据已知等式规律即可求解． 【详解】（1）解：观察题中等式可知， , 故答案为：． （2）解：猜想：． 故答案为：． （3）解：由中的发现可知， ． 【变式1】（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 【变式2】（23-24七年级上·福建福州·期末）请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： (1)第四个等式为______，第100个等式为______，第个等式为______． (2)根据你发现的规律计算： 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四、第100、第n个式子； （2）类比（1）中的规律拆项，再乘即可． 【详解】（1）∵， ∴第四个等式为 第100个等式为， 第个等式为：． 故答案为：，；； （2） ． 【变式3】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：________；（n为正整数） (3)请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）根据（2）得出的一般规律，将，写成即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）根据（2）得出的一般规律， ， ， ． 类型八、有理数的运算中应用问题 1. 审题列关系式：抓住“多、少、和、差、倍、分”等关键词，区分正负数含义（如收入为正、支出为负），把实际问题转化为有理数运算式。 2. 按序准确计算：遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号先算括号内，巧用运算律简化计算，注意符号的正确判断。 3. 检验答对应题意：计算后对照实际情境验证结果合理性，确认单位统一，最后规范写出答语。 【例8】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）某校开展“幸福教育，健康同行”的校园健康跑活动．某数学老师坚持跑步锻炼身体，他以为基准，超过的部分计为“”，不足的部分计为“”，将连续7天的跑步时间（单位：）记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与差值 (1)该老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑多少？ (2)若该老师跑步的平均速度为，请计算这七天他共跑了多少？ 【答案】(1)老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑 (2)这七天他共跑了 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算的应用，正负数的应用； （1）用最大数减去最小数即可求解； （2）求出这七天的跑步时间，再乘速度即可求解． 【详解】（1）解：， 答：老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑； （2）解： ． 答：这七天他共跑了 【变式1】（24-25七年级上·广东东莞·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如表所示． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)汽车在巡视过程中，第______次离A地最远； (2)B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？ (3)如果汽车行驶平均耗油0.3L，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)五 (2)B地在A地的南方，B地与A地相距5千米 (3)这天汽车共耗油 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值的应用、有理数的乘法与加减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）分别求出汽车每次离A地的距离，然后进行判定即可； （2）根据解析（1）中求出的结果进行判断即可； （2）先将汽车的行驶记录的绝对值求和，再乘以，即可得． 【详解】（1）解：第一次离A地， 第二次离A地， 第三次离A地， 第四次离A地， 第五次离A地， 第六次离A地， 第七次离A地， ∴汽车在巡视过程中，第五次离A地最远，最远距离为， 故答案为：五； （2）解：根据解析（1）可知：B地在A地的南方，B地与A地相距； （3）解：因为， 所以共耗油， 答：这天汽车共耗油． 【变式2】（24-25七年级上·河北承德·期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的李明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但实际第天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出多少斤？ (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若冬枣每斤按7元出售，每斤的运费平均2元，那么李明本周共收入多少元？ 【答案】(1)根据记录的数据可知前三天共卖出297斤 (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售33斤 (3)李明本周共收入3585元 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解答此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）将总数量乘以价格差解答即可． 【详解】（1）解：（斤）， ∴根据记录的数据可知前三天共卖出297斤； （2）解：， ∴根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售33斤； （3）解：（元）， ∴李明本周共收入3585元． 【变式3】（23-24七年级上·北京通州·期末）春种一粒粟，秋收万颗子．为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周一到周五加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值（单位：件） (1)这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件小麦收割机配件； (2)这五天共加工了多少件小麦收割机配件？ (3)已知该厂对这个车间实行日计件工资制，每加工1件得10元，若当天超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若当天没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这五天的工资总额． 【答案】(1)110 (2)这周共加工了2020件小麦收割机配件 (3)该车间这周的工资总额为20300元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）用最多的一天加工的小麦收割机配件数减去最少的一天加工的小麦收割机配件数，列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（件）， 即这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件， 故答案为：110； （2）解： （件） 答：这五天加工了2020件小麦收割机配件． （3）解： （元）， 答：该车间这五天的工资总额为20300元． 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、相反数和绝对值，将四个选项中的各数计算出来是解题的关键． 将四个选项中的各数都计算出来，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：A、，，，故不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、，，，故不符合题意； D、，，，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）“一带一路”建设项目2600多个累计发放贷款超过2000亿美元，涉及交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．将2000亿转换为数字，利用科学记数法的定义（数字部分在1到10之间）进行表示． 【详解】解：2000亿， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 根据数轴，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ， ，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意， ，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 5．（24-25七年级上·广西梧州·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）．如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 7．（24-25七年级下·江西赣州·期末）赣县位于江西省赣州市中部，被誉为“千里赣江第一县”，是一个非常宜居的城市．2024年，赣县区的常住人口已经达到万人，其中万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 【答案】92天 【分析】本题考查有理数的混合运算，六进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满六进一”的算式. 【详解】解：∵“满十进一”的数， ∴图片中“满六进一”的数表示的为， ∴孩子已经出生的天数为92天 故答案为：92天 9．（24-25七年级上·全国·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上处，且，则C点表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法运算，先求出的长，再由折叠的性质得到，再分当点在的右侧时，当点在的左侧时，两种情况分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵点A、B表示的数分别是，10， ∴， 由折叠可知， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点在的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：4或 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及绝对值、乘方、乘除、加减运算，按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减的顺序计算． （）按照先算绝对值，再从左到右依次进行乘除运算的顺序求解， （）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数除法转化为乘法，再去括号并约分化简即可； （2）先算括号里面的，乘方，再算乘除，最后算加减即可． 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（25-26七年级上·江苏·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内减法，再将除法化为乘法计算，最后进行加法计算； （2）先计算乘方，再进行乘除计算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 原式． 14．（25-26七年级上·河南新乡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，化简绝对值，再计算括号里的加法，然后计算乘法，最后计算加法即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1） （2） 15．（25-26七年级上·全国·期末）为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的个小时空窗期乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修时长基准为分钟，超过分钟，记为正，不足分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长的记录（单位：分钟）：，，，，，，，，，． (1)收工时，他们检修线路一共花费了多长时间? (2)若每两个相邻检修点之间的平均距离为千米，检修车的速度为千米/分钟，那么请你计算检修小组能否在空窗期结束前回到点? 【答案】(1)分钟 (2)检修小组能在空窗期结束前回到点 【分析】本题考查正负数的应用及有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）用个检修点的基准总时间加上每个检修点超过或不足的时间即可得答案； （2）先计算个检修点之间的距离，即可得出检修车在路上需要的时间，加上检修时间，得出总时间，与分钟比较，即可得答案． 【详解】（1）解：（1）（分钟）， 答：收工时，他们检修线路花费了分钟． （2）解：个检修点来回共需行驶（千米）， 因为检修车的速度为千米/分钟， 所以检修车在路上需要行驶（分钟）， 所以本次检修所需要的总时间为（分钟）， 因为检修空窗期为（分钟），分钟分钟， 所以检修小组能在空窗期结束前回到A点． 16．（25-26七年级上·吉林长春·期末）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． (1)初步探究：直接写出计算结果：______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 17．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）对有理数a，b，定义一种新运算T：规定．例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的加减运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某地将腌制的萝卜泡菜出口国外，现有20箱萝卜泡菜，以每箱25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录情况如下表所示． 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1.5 2 箱数 4 2 4 3 6 1 (1)在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求每箱萝卜泡菜的平均重量； (3)若萝卜泡菜每千克的售价为15元，求售完这20箱萝卜泡菜的销售总额． 【答案】(1)千克 (2)千克； (3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的减法进行列式计算，即可作答． （2）根据题意，结合平均数的公式进行列式计算，即可作答． （3）结合（2）的结论，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（千克）， ∴在这20箱萝卜泡菜中，最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解：（千克）， ∴每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； （3）解：由（2）得每箱萝卜泡菜的平均重量为千克； 依题意，（元）， ∴售完这20箱萝卜泡菜的销售总额为元． 20．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）在数学活动课上，张老师让同学们观察下列算式： 第个：； 第个：； 第个：； … 完成下列问题： (1)请根据上述规律填空：_______； (2)根据上述规律猜想第个算式：_______； (3)； (4)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数字类的规律型，有理数的混合运算，分式的加减法，读懂题目信息，观察出规律是解答本题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）根据规律即可猜想出第个算式； （3）根据规律即可求解； （4）根据规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律猜想第个算式为， 故答案为：； （3）解：原式 （4）解： ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题01有理数及其运算的八类综合题型 月录 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 类型二、用科学记数法表示较大的数 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 类型五、有理数的混合运算 类型六、有理数的运算中的新定义型问题 类型七、有理数的运算中规律探究问题 类型八、有理数的运算中应用问题 压轴专练 典例详解 类型一、绝对值的非负性求解问题 1.和为0型：利用a≥0，若a+b=0,则a0且b=0,多变量同理，据此列方程求解未知数。 2.最值求解型：绝对值部分最小为0，求x一m+的最小值，直接取x一m=0时，结果为n;求 最大值则结合题目限定条件分析。 3.等式拆分型：遇x=a(a≥0)，拆成=a或x=-a,解后需代入验证是否符合绝对值非负性。 【例1】(24-25七年级上福建福州期末)如果x-2+(y+1)2=0,那么x-y的值为一· 【变式1】(24-25七年级上四川泸州期末)如果m+1+(n-2024)2=0,那么m"的值为 【变式2】(24-25七年级上·重庆沙坪坝期末)若a-b+3+(ab-4)2=0,则代数式3a+2ab-3b的值为 【变式3】(24-25七年级上·四川成都期末)已知线段AB=10,点C是直线AB上一点，点D为线段AC的 中点，BC=m,且m、n满足m-3引+5m+2m-72=0,则线段BD的长为一 AC n 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、用科学记数法表示较大的数 1. 确定a和n:a满足1sa<10,将原数变为a时，小数点向左移动的位数就是n。 2. 计数位验证：n也等于原数整数位数减1，可快速核对结果是否正确。 3. 带单位换算：先把万、亿等单位转化为10的幂次形式，再结合前两步写出科学记数法。 【例2】(25-26七年级上，全国·期末)地球和月球之间的平均距离约是384400000m,384400000用科学 记数法表示为」 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)新华社记者5月从教育部获悉，2025年全国高考报名人 数1335万人.请将数据“1335万”用科学记数法表示为 【变式2】(24-25七年级上甘肃平凉期末)根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，平凉市地区生 产总值为497.16亿元，按不变价格计算，同比增长3.8%.497.16亿可用科学记数法表示为一 【变式3】(24-25七年级上·甘肃兰州期末)据报道，2024年国庆假期，兰州市累计接待游客540.91万人 次，数据540.91万用科学记数法可以表示为」 类型三、根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 定数的正负：数轴上，原点左侧的点表示负数，右侧表示正数，原点为0，先明确每个点对应数的符 2. 判运算结果：两数相加看绝对值大小，异号相减取绝对值大的符号；相乘除时，同号得正、异号得负 3.结合绝对值化简：绝对值内式子为正，去绝对值不变号；为负则变号，化简后再判断最终正负。 【例3】(24-25七年级上河北邯郸期末)有理数，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是 () b-1 0a1 A.a+b<0 B.a-b<0 C.ab>0 D.80 【变式1】(2425七年级上陕西西安期末)如图，数轴上的点A,B,C分别表示数a,b,c给出下列结 论：①a+b>0;②abc<0;③a-c<0;④9>0.其中正确的是() b ⊙ b 0 a c A.①② B.①③ C.②③ D.②③④ 【变式2】(24-25七年级上·河南驻马店期末)数轴上表示数α，b的点如图所示，则下列结论正确的是() 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b -10 0 10 A.a+b>0 B.a-b>0 C.abx0 D.80 【变式3】(24-25七年级上河北廊坊期末)如图，数轴上的点A,B,C分别表示数Q,b,C,有下列 结论：①c-b>0;②abc<0;③a+c>0;④-1<2<0.其中正确的结论有() b 6 A 6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型四、数轴上表示含绝对值乘方的有理数 1. 先化简有理数：先算乘方（注意符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负），再根据绝对值非负性去绝对 值，将式子化为最简有理数。 2. 确定数轴位置：正数在原点右侧，负数在左侧，0在原点处，根据数值大小确定与原点的距离。 3. 标注并验证：在数轴对应位置标注点，结合有理数的大小关系，验证标注是否符合左小右大的数轴规 则 【例4】(24-25七年级上福建龙岩期末)画出数轴并表示下列各数：0，-(+1)，-4，（-2)2,2 【变式1】(24-25七年级上·全国期末)在数轴上表示下列各数，并将各数用“<”号连接起来： ,-35,；,-,0,-2. -6-5-4-3-2-10123456 【变式2】(2425七年级上全国期末)在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“<”将这些数连接起来： (-22,-4,-(-1.5),-12，,0. -5-43-21012345→ 【变式3】(2425七年级上广东韶关期末)已知有理数：-，3分-，0，-15， ()这些有理数中，整数有个，负数有个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上： (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、有理数的混合运算 1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，多层括号从内到外依次计算 2.巧用运算律简算：加法交换律、结合律凑整，乘法交换律、结合律、分配律简化计算，同级运算可调 整顺序。 3.注意符号规则：负号个数决定结果符号，奇负偶正；减去一个数等于加它的相反数。 【例5】(24-25七年级上·甘肃兰州期末)计算： (1)-12--12÷(-22: 2--（1-》3×3-(] 【变式1】(24-25七年级上山东枣庄期末)计算： ②-1-2好638 【变式2】(24-25七年级上辽宁盘锦期末)计算： 0-24×g4 a-2+2x-+3 【变式3】(24-25七年级上·河南商丘期末)计算： a2引-〔引 回-r+-48+p-1小氵 类型六、有理数的运算中的新定义型问彪 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号（如#、*）的运算公式，明确参与运算的数的位 置和计算步骤。 2.代入己知数计算：将题月中给定的有理数，严格按照新定义的规则代入式子，转化为常规的有理数加 减、乘、除或乘方运算。 3.遵循常规运算律：代入后按先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的顺序计算，同时注意符 号判断。 【例6】(24-25七年级下江西赣州·期末)我们定义一种新运算：a*b=a2-b.例如：3*2=32-2=7. (1)求(-2)*1的值： 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求(-4)*2*-3)的值. 【变式1】(24-25七年级上广东惠州期末)若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=a2-ab,如 2*3=22-2×3=4-6=-2. (1)求3*(-4)的值； (2)求(-2)*(6*3)的值. 【变式2】(23-24八年级上·浙江金华.期末)定义新运算“口”：aob=ab+b2,如2o3=2×3+32=15. (1)求3加2的值. (2)写出一组a,b的值使aob=0,且b≠0. (3)若m+2加(-3)=6，求m的值 【变式3】(2425年级上河商焦作期末)观察下列两个等式：232X3+1,5人5x2+1,给出定 3 义如下：使等式a-bEah+1成立的一对有理数a,乃为共生有理数对”，记为a,b如：数对2， 都是“共生有理数对”. (1)通过计算判断数对1,2)是不是“共生有理数对”： (2)若(m,n是“共生有理数对”，则(-n,-m)“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果(m,n)是“共生有理数对”，且m-n=4,求(-2)的值. 类型七、有理数的运算中规律探究问题 1. 列举前几项找规律：根据题目给出的初始算式，依次计算前3-4项的结果，观察数字、符号的变化特 点，总结重复出现的模式。 2.归纳通用表达式：结合项数，把规律转化为含n的代数式，注意区分奇偶项的符号差异，常用 (-1)”来表示符号交替。 3.代入验证防出错：将取简单数值代入表达式，核对结果是否与之前计算的项一致，确保规律准确。 【例7】(23-24八年级上·吉林四平.期末)观察下列各式的规律，然后回答问题. 1-11 1 1×2 22: 1111 2×3236 1,11 十 1 十…十 1×2'2×33×49×10 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)把横线处结果填出来. 111 (2)猜想： 十…十 1×22×33×4 n(n+1) (3)说明你的猜想的合理性， 【变式1】(23-24七年级上·湖北随州期末)观察以下等式： 2 第1个等式： 1 1 31×2×325 1 第2个等式： 3 1 82×3×43 41 1 第3个等式： 153×4×54 第4个等式： 1 1 244×5×65 … 按照以上规律，解决下列问题： (①)写出第n(n取正整数)个等式： (用含的等式表示)； 3611） (2)利用以上规律计算 83524210 ×12的值 【变式2】(23-24七年级上·福建福州期末)请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题： 334 1 ()第四个等式为 ,第100个等式为，第n个等式为 ②張据你发现的规律计算： ,1,1,1 1 1x33x55x77x ++19×21 【变式3】(23-24七年级上·安徽阜阳·期末)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ●● ●●●● ●●● ● ●●●● ● ●●● ●●●●● ●● ●● ●●●● ●●●●● ① ② ③ (④ ⑤ (I)在④后面的横线上写出相应的等式： ①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④ (2)试用含有n的式子表示这一规律：1+3+5+7+9+…+ =n2;(n为正整数) (3)请计算：1+3+5+7+…+147+149. 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、有理数的运算中应用问题 1. 审题列关系式：抓住“多、少、和、差、倍、分”等关键词，区分正负数含义（如收入为正、支出为 负)，把实际问题转化为有理数运算式。 2.按序准确计算：遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，有括号先算括号内，巧用运算律简化计算 注意符号的正确判断。 3. 检验答对应题意：计算后对照实际情境验证结果合理性，确认单位统一，最后规范写出答语。 【例8】(24-25七年级上·陕西渭南期末)某校开展“幸福教育，健康同行”的校园健康跑活动.某数学老师 坚持跑步锻炼身体，他以30min为基准，超过30min的部分计为“+”，不足30min的部分计为-”，将连续 7天的跑步时间（单位：min)记录如下： 星期 四 五 六 日 与30min差值 ×0 +11 +15 +10 (I)该老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑多少min? (2)若该老师跑步的平均速度为0.1km/min,请计算这七天他共跑了多少km? 【变式1】(24-25七年级上·广东东莞期末)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨 他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：k)如表所示. 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +10 -9 +6 -12 +16 -6 -10 (1)汽车在巡视过程中，第 次离A地最远； (2)B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？ (3)如果汽车行驶1km平均耗油0.3L,那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式2】(24-25七年级上河北承德期末)随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起 了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售.刚大学毕业的李明把自家的冬枣产品也 放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但实际第天的销售量与计划量相比有出入，下表 是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤） 星期 四 六 日 与计划量的差值 +4 +10 +25 (①)根据记录的数据可知前三天共卖出多少斤？ 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？ (3)若冬枣每斤按7元出售，每斤的运费平均2元，那么李明本周共收入多少元？ 【变式3】(23-24七年级上·北京通州期末)春种一粒粟，秋收万颗子.为了确保能够按时完成农田小麦 收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务.该车间接到任务后，计划平 均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不 足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周一到周五加工这种配件的记录情况： 星期 四 与每天的计划量相比的差值（单位：件） +55 -20 +60 -50 ()这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了 件小麦收割机配件： (2)这五天共加工了多少件小麦收割机配件？ (3)己知该厂对这个车间实行日计件工资制，每加工1件得10元，若当天超额完成任务，则超额部分每件再 奖5元；若当天没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这五天的工资总额. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26七年级上全国·期末)下列各组的两个数中，运算后结果相等的是() A.-24与(-2)9 B.53与 c.-(-3)与--3 D.(-13与(-1)2 2.(25-26七年级上福建泉州期末)“一带一路”建设项目2600多个累计发放贷款超过2000亿美元，涉及 交通、基础设施、装备出口等多个领域，其中2000亿用科学记数法表示为() A.2×10 B.2×10 C.1x102 D.2000×10 3.(25-26七年级上江苏徐州期末)数m、n在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是() m0n→ A.m-n>0 B.m +nx0 C.mn>0 D.m-n >0 4.(25-26七年级上·江苏宿迁期末)如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 果为18，第二次输出的结果为9，…，第2025次结果为() x为偶数 -x 输入x 输出 r+3 x为奇数 A.3 B.6 C.9 D.12 5.(24-25七年级上·广西梧州期末)利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统， 图2是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为 a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×2+c×2+d×2°（规定2°=1)，如图2， 第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，序号为0×23+1×22+0×2+1×2°=5，表示该生为5班的学生.图 3中表示学生所在班级序号是() ▣ ▣这 图1 图2 图3 A.6 B.9 C.10 D.12 二、填空题 6.(24-25七年级下湖南郴州期末)若(a+34+b-2=0,且a,b都是有理数，则a= 7.(24-25七年级下·江西赣州期末)赣县位于江西省赣州市中部，被誉为“千里赣江第一县”，是一个非常 宜居的城市.2024年，赣县区的常住人口已经达到57.68万人，其中57.68万用科学记数法表示为 8.(24-25七年级上·辽宁铁岭期末)生活中常用的十进制是用09这十个数字来表示数的，满十进一， 例如：212=2×102+1×10+2.在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如 图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一， 根据图示，孩子已经出生的天数为一 9.(24-25七年级上全国期末)若a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值为4，则a+b-cd+x-1的 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值为 10.(24-25七年级上全国期末)如图，一条数轴上有点A、B、C,其中点A、B表示的数分别是-14,10 ,现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上处，且A'B:A'C=2:3,则C点表示的数 是 B 三、解答题 11.(25-26七年级上·全国期末)计算： 05+2-(引3 -4-6-2+25 12.（24-25七年级上山东聊城期末)计算： 06x26x号}（8》： a-r-6*2--]( 13. (25-26七年级上江苏期末)计算： ；38-（2号 2)-1225+16÷(-2)3×-3 14.(25-26七年级上河南新乡期末)计算： 0-5-4 2-+-x-2 15.(25-26七年级上·全国·期末)为保证粤海铁路的运输安全，检修小组会定期在凌晨的3个小时空窗期 乘坐检修车由北向南检修线路，从A点开始检修，共检查了10个检修点（包含A点），若每个检修点检修 时长基准为10分钟，超过10分钟，记为正，不足10分钟，记为负，下面是某次他们对每个检修点检修时长 的记录（单位：分钟）：+12，+5,0，+11，-3，-2，+14，+2，-6，+5. ()收工时，他们检修线路一共花费了多长时间？ 10/12