5.2 二元一次方程组的解法（七大题型）同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.2 二元一次方程组的解法 题型一 代入消元法 1．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的解法，求出是解答本题的关键． 通过解方程组得到x和y关于a的表达式，然后分别验证各选项是否正确． 【详解】解方程组：， 由方程②得：③， 将③代入①：， ， ， ， 将代入③，得 ， ∴方程组的解为： 验证选项： A：当时，，∴x与y互为相反数，A正确． B：，与a无关，∴B正确． C：当时，， ∵，∴，C错误． D：当时，， ∴满足，D正确． 故选：C． 2．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法．通过消去参数m，将y用含x的代数式表示 【详解】解：由，得． 代入，得． 故答案为：． 3．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤． （1）用代入消元法求解方程组； （2）先整理方程，再用加减消元法求解方程组． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 整理得：， 解得：， 把代入②得：， 因此，原方程组的解为：； （2）解： 整理得： ①得：③， ③②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 因此，原方程组的解为：． 题型二 加减消元法 4．已知二元一次方程组则该方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 通过加减消元法求解方程组，先消去变量y求出x，再代入方程求出y． 【详解】解：∵ 方程组为， 将两方程相加：， ， ， 把代入 得：， ， ∴ 方程组的解为 ， 故选：C． 5．若二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求解二元一次方程组，得到x和y的值，再代入中求出k． 【详解】解： 将得：， 将③与②相加：， 即， 解得， 将代入②得：， 即， 解得， 所以方程组的解为， 则， 代入得：， 解得． 故答案为：． 6．已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可得满足方程②，满足方程①，分别代入方程进行求解即可得到答案； （2）根据（1）所求得到原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， 满足方程②， ， ； 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 满足方程①， ， ； （2）解：由（1）得原方程组为， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 7．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 8．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 【答案】2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 9．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴， ，得， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴， ，得， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 10．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 11．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 12．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：∵甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得， ∴， ∴， ∴原方程组为 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型五 构造二元一次方程组求解 13．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 14．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 15．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 17．已知方程组的解满足，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用整体代换的思想，通过对原方程组进行线性组合（方程②方程①），得到与已知条件形式相同的表达式，进而建立关于k的方程求解． 【详解】解：， ②①，得， 即， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：2． 18．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，小明的方法比较简单，先解方程组，再将的值代入，即可求出m的值． 【详解】解：采用小明的方法． ，得：， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 解得． 题型七 方程组相同解问题 19．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 20．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 21．若关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的没有参数的方程联立，解方程组即可求解； （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解，然后求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：依题意可联立方程组：， 解这个方程组可得相同的解为：； （2）解：将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：， 解得：， ， 的算术平方根为3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 二元一次方程组的解法 题型一 代入消元法 1．已知关于x，y的二元一次方程组，则下列结论错误的是（   ） A．当时，方程组的解x，y的值互为相反数 B．无论a为何值，的值始终不变 C．当时，方程组的解x，y的值相等 D．当时，方程组的解满足方程 2．已知，用含x的代数式表示y，则 ． 3．解下列方程组： (1) (2) 题型二 加减消元法 4．已知二元一次方程组则该方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．若二元一次方程组的解满足，则 ． 6．已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 7．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 9．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以， ，， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 10．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 12．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 题型五 构造二元一次方程组求解 13．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 14．对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值 ． 15．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 16．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 17．已知方程组的解满足，则k的值是 ． 18．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 题型七 方程组相同解问题 19．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 20．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ． 21．若关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求的算术平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $