7.3 平行线的证明（十大题型）同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.3平行线的证明 题型一同位角相等两直线平行 1.如图，△ABC≌△DEF,下列说法不正确的是( D B E A.AB=DE B.∠B=∠F C.BE=CF D.AC∥DF 2.如图，点E、F分别在AB、BC的延长线上，不添加其他角与线的前提下， 写出一个条件 ,使得AD∥BF.(写一个即可) D B E 3.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求证：AB∥DE. A D B E 题型二内错角相等两直线平行 4.如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是() A.∠2=∠3 B.∠B=∠3 C.∠1=∠3 D.∠1=∠4 1 5.如图，点B(2,0在x轴上，过点(0,2作轴的平行线，与正比例函数y=2x的 图像相交于点A,连接AB,点P在直线I上，满足∠OAB=∠ABP.则点P坐标是 B 6.如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE ,证明：CD=AB且CD∥AB. C D 题型三同旁内角互补两直线平行 7.如图，点E在BA的延长线上，∠DCA=60°，下列条件能判定AB∥CD的是 E A D A.∠EAD=60° B.∠B=60° C.∠EAC=120° D.∠BCD=120° 8.如图，因为∠B=39°，∠BDE=141°，所以∠B+∠BDE=,所以 ,理由是 2 B 9.如图，点O为直线AB上一点，OF⊥OE,∠DOE=55°，OF平分∠AOD, ∠D=110°.证明：CD川AB. C D E ○ 题型四在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10.将一副三角尺如图放置，∠A=∠ABC=45°，∠C=∠DBE=90°，∠E=30°，当 ED所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是() D E A.120° B.135° C.150° D.165° 11.两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点F,B,E,C在一条直线上， 则有DFI‖AC,理由是 D E 12.如图，DE⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为E、G,∠CDE=∠FGM.求证： AC∥GM, 3 F M 2 题型五平行公理的应用 13.下列说法中不正确的是() A.过任意一点可作已知直线的一条平行线 B.同一平面内两条不相交的直线是平行线 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 14.如图，∠EPF=75°，直线a平移后得到直线b,∠2=45°，则∠1=°. 、E -b 15.综合与实践 如图1， AB∥CDM,N AB,CD 上的点，EM和EN交于点E EN 为直线 B A B M D 图1 图2 (1)若∠EMB=35,∠END=65°，则∠MEN的度数是 ∠MEN,∠END,∠EMB (2)写出 之间的数量关系，并说明理由. (3)如图2， 平分∠EMB NO MO 平分BD.∠MEN=a,直接用合“的代数式 表示∠MON的度数. 4 题型六平行公理推论的应用 16.如图，AB∥CD,∠MBN=3∠ABM,∠MDN=3∠CDM,∠N=160°，则∠M为 ( B M C D A.45° B.50° C.60° D.65° 17.如图，已知直线a∥b,b∥c,若∠I=50°，则∠3的度数是 人2 b 人3 18.如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的 断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题， 我们不妨取名叫“木尺断口问题”. A (1) (2) (3) (4) (1)如图(2)所示，已知AB∥CD,请问∠BED=∠B+∠D成立吗？并说明理由： 2)如图(3》所示，已知48/CD,请间 ∠B,∠E,∠D 又有何关系？并说明理由： (3)如图(4)所示，已知AB∥CD.若∠E+∠G=70°，则∠B+∠F+∠D=_ 题型七两直线平行同位角相等 19.如图，已知a∥b,若∠1=58°，则∠2的度数为( 5 2入 A.122° B.32 C.42° D.58 20.如图，点E在CB的延长线上， ABCD,∠ABE=50°，∠D=∠C ,则∠A的度数 为 D E 21.如图，点A,F,C,E在同一条直线上，AB∥DF,AB=DF,AF=CE.求 证：△ABC≌△FDE. 题型八两直线平行内错角相等 22.如图，在△ABC中，∠C=60°，直线DE经过点A,且DE∥BC.若 ∠DAB=20°，则∠BAC的度数为() D AE B A.70° B.80° C.90° D.100° 23.如图，点A、D、C、E在一条直线上，AB∥DF,BC∥EF,BC=EF,若 AD=2CD,CE=4,则AE的长度为 6 B F D C E 2A.如图，点A、E、B、D在一条直线上，AC∥DF,AC=DF,AE=BD 求证：∠C=∠F. E D 题型九两直线平行同旁内角互补 25.如图，直线AB,CD被直线CE所截，AB∥CD,∠I=128°，则∠C的度数为 ( D A.28° B.38 C.52° D.128 26.如图，AD、BC相交于点F,AB=AD,AC=AE,∠I=∠2=35°.若AB∥ED, 则∠BFD的度数是 B 27.如图所示，BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,BE和DE相交于AC上一点E ,如果∠BED=90°，证明： E (1)∠A+∠C=180°； ②cc 题型十根据平行线判定与性质证明 28.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且EF∥AB.要使 DF∥BC,还需要添加的条件可以是() 3 了2 E A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1=∠4 D.∠2=∠4 29.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C恰好落在如图N的位置， BN交AD于M,BM=7,则DM的长为 M D ----C 30.如图，已知∠I=∠C,∠2+∠3=180°，试判断∠ADE与∠B的大小关系，并说 明理由. D 30 B F 8 7.3 平行线的证明 题型一 同位角相等两直线平行 1．如图，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可判断，即两个全等三角形对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 2．如图，点、分别在、的延长线上，不添加其他角与线的前提下，写出一个条件 ，使得．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，根据，得出，利用全等三角形的判定得，进而得出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出． 【详解】证明：， ∴，即， 又，， ， 则， ． 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意 B．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、平行线的判定，等腰三角形的性质和判定，两点间的距离等知识点，熟知相关性质进行分类讨论是正确解答此题的关键． 分两种情况：①点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标．②点P在点A左侧，根据等腰三角形的性质及两点距离即可求解． 【详解】解：①点P在点A右侧，如下图所示，过点作， ， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． ②点P在点A左侧，如图所示：交于点， ， ， 点在直线上， 设， 当时，， ，得， 解得， ， ， 设直线为， 分别代入，， 得， 解得， 直线为， 时，，， ， 故答案为：或． 6．如图，点、、、在一条直线上，，，，证明：且． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．根据线段的关系得出，根据证，推出，，根据平行线的判定推出． 【详解】， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 8．如图，因为，，所以 ，所以 ，理由是 ． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 9．如图，点为直线上一点，，，平分，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．将一副三角尺如图放置，，，，当所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵所在的直线与AC垂直，， ∴， ∴， 故． 故选：C． 11．两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点，，，在一条直线上，则有，理由是 ． 【答案】内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解决此题的关键，利用平行线的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） 故答案为：内错角相等两直线平行或在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． 12．如图，，，垂足分别为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．先根据证明，根据平行线的性质得出，再根据，得出，最后根据平行线的判定，得出答案即可． 【详解】证明：， ， ， ， ，即， ． 题型五 平行公理的应用 13．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 14．如图，，直线平移后得到直线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，如图，过作，证明，再进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过作， ∴， ∵直线平移后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 故答案为： 15．综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 题型六 平行公理推论的应用 16．如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，，则，，，，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行公理推论可得，，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：设，，则，， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图，已知直线，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18．如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”． (1)如图（2）所示，已知，请问成立吗？并说明理由； (2)如图（3）所示，已知，请问又有何关系？并说明理由； (3)如图（4）所示，已知．若，则 ． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （2）过E作，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得结论； （3）分别过E，F，G作的平行线，根据平行公理可证，再利用平行线的性质可得，即可得解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，过E作， ， ， ， ． （3）解：如图，分别过E，F，G作的平行线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型七 两直线平行同位角相等 19．如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 20．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 题型八 两直线平行内错角相等 22．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 23．如图，点在一条直线上，，，，若，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和差，由，，则，，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由平行线的性质得到，再由得到，根据全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 题型九 两直线平行同旁内角互补 25．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 26．如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 27．如图所示，平分，平分，和相交于上一点，如果，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质得出角的关系，再结合三角形内角和定理推出同旁内角互补，从而证明两直线平行，最后根据平行线的性质得到角的关系． （2）通过作辅助线，利用角平分线的性质得到线段相等，进而证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出线段相等，最终得到结论． 【详解】（1）证明：平分，平分 ， （2）解：过作于，于，于 平分，， 同理 ， 在和中 题型十 根据平行线判定与性质证明 28．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定． 根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，找出符合要求的答案即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使，只要就行， ∵， ∴还需要添加条件即可得到（等量代换）， 故选：B． 29．如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用相关知识点；先根据折叠得到相关角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到答案即可； 【详解】解：由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：7． 30．如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定和性质定理，即可得到结论． 【详解】解：与的大小关系是．理由如下： 证明：∵（已知）（对顶角相等） ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 1 学科网（北京）股份有限公司 $