7.3.2平行线的证明(平行线的性质)同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.3.2平行线的证明(平行线的性质) 考点1: 平行线的性质定理 1. 平行线的性质定理(一) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等(简述：两直线平行，同位角相等). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 2. 平行线的性质定理(二) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(简述：两直线平行，内错角相等). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3. 3. 平行线的性质定理(三) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补(简述：两直线平行，同旁内角互补). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠2＋∠4＝180°. · 平行线的判定是利用角之间的数量关系推出两直线平行，即由角定线;而平行线的性质是由两直线平行推出角之间的数量关系，即由线定角. 考点2: 定理：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF. 考点3: 证明的一般步骤 (1)理解题意，画出图形→根据题意画出图形，标上必要的字母； (2)写已知、求证→用字母、符号表示命题的条件和结论； (3)分析题意，写证明过程(运用数学语言和数学符号，条理清晰地写出证明过程) →用“∵……”、“∴……”表示因果关系，再注明相应的依据，写出证明过程(合理即可). · 通常文字证明题要有这三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题→题目已经明确地用字母、符号把命题表示出来，甚至还给出了示意图，对于此类题，我们只需从第三步开始作答即可. 练习1. 1. 如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝45°，则∠2的度数为( A ). A. 45° B. 35° C. 65° D. 75° 2. 如图，AD∥BC，则下列说法正确的是( C ). A. ∠ABC＝∠ADC B. ∠2＝∠4 C. ∠1＝∠3 D. ∠BAD＝∠BCD 3. 如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示的位置放置.若∠AEG＝18°，则∠HFD的度数为( B ). A.23°　 　B.33°　 　C.36° 　　D.38° 4. 如图所示，已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，则在结论①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是( C ). A.1　　 B.2　 　C.3　 　D.4 5. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1＝70°，那么∠2的度数是( A ). A.20°　 　B.25°　 　C.30°　 　D.45° 6. 将三角板和直尺按如图所示放置，三角板的直角顶点A在直尺上.若∠1＝26°，则∠2的度数为 64° . 7. 如图所示，点A、B、C在同一条直线上，且∠1＝∠2，∠3＝∠D.试说明BD∥EC. 解：∵∠1＝∠2(已知), ∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行). ∴∠D＝∠DBE(两直线平行,内错角相等). 又∵∠D＝∠3(已知), ∴∠3＝∠DBE(等量代换), ∴DB∥EC(内错角相等,两直线平行). 题型1：平行线的实际应用 1. 如图所示，∠AOB的两边 OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出的一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( B ). A.35° B.70° C.110° D.120° 2. 如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的∠A是120°，第二次拐弯的∠B是150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则∠C等于( A ). A.150°　　 B.140°　　 C.130°　　 D.120° 3. 一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的路线与原来的路线平行，这两次拐弯角度不可能是( B ). A.第一次向左拐 40°，第二次向右拐 40° B.第一次向右拐 40°，第二次向左拐 140° C.第一次向右拐 40°，第二次向右拐 140° D.第一次向左拐 40°，第二次向左拐 140° 4. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝30°，∠2＝50°,则∠3的度数为 160° . 题型2：巧添平行线解题 · 在有关图形的计算和证明题中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的一般方法是经过拐点作平行线建立已知角和未知角间的联系. 1. 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是( C ). A.35°　　　　B.45°　　　　C.55°　　　　D.65° 2. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ满足的关系式为( C ). A. α＋β＋γ＝360°　　B.α－β＋γ＝180° C.α＋β－γ＝180°　　　D.α＋β＋γ＝180° 3. 如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是( C ).   A.80°　　　 B.76°　　　 C.66°　　 　D.56° 巩固练习： 1. 如图所示，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( D ). A.140° B.60° C.50° D.40° 2. 一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( B ). A.40°　　　B.43°　　　C.45°　　　D.47° 3. 如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( C ). A.40°　　　　B.50°　　　　C.60°　　　　D.70° 4. 如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°－．其中正确的有( C ). A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5. 如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　20°　　.  6. 如图所示，AB∥ED.若∠A＝135°，∠ACD＝80°，则∠CDE的度数为　　35°　　. 7. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2. 求证：∠B＝∠ADG. 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)， ∴∠CDE＝∠FEB＝90°(垂直的定义)， ∴CD∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∴∠2＝∠BCD(两直线平行，同位角相等). ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠BCD＝∠1(等量代换)， ∴DG∥BC(内错角相等，两直线平行)， ∴∠B＝∠ADG(两直线平行，同位角相等). 8. 如图，已知AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，求证：BA平分∠EBF. 证明：设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x， ∵AB∥CD，∴2x＋3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°， ∵∠EBD＝180°，∴∠EBA＝72°， ∴BA平分∠EBF. 9. 如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别在线段AB、CD上，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC. (1)求证：AB∥CD； (2)若∠AGE＋∠AHF＝180°,求证：∠B＝∠C； (3)在(2)的条件下,若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数. 解：(1)证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC， ∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD. (2)证明:∵∠AGE＝∠DGC，∠AGE＋∠AHF＝180°， ∴∠DGC＋∠AHF＝180°， ∴EC∥BF， ∴∠B＝∠AEG， 由(1)得∠AEG＝∠C. ∴∠B＝∠C. (3)由(2)得EC∥BF，∴∠BFC＋∠C＝180°， ∵∠BFC＝4∠C， ∴∠C＝36°， ∴∠DGC＝36°. ∵∠C＋∠DGC＋∠D＝180°, ∴∠D＝108°. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2平行线的证明(平行线的性质) 考点1: 平行线的性质定理 1. 平行线的性质定理(一) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等(简述：两直线平行，同位角相等). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠1＝∠2. 2. 平行线的性质定理(二) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(简述：两直线平行，内错角相等). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3. 3. 平行线的性质定理(三) 文字语言：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补(简述：两直线平行，同旁内角互补). 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，∴∠2＋∠4＝180°. · 平行线的判定是利用角之间的数量关系推出两直线平行，即由角定线;而平行线的性质是由两直线平行推出角之间的数量关系，即由线定角. 考点2: 定理：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言：如图所示，∵AB∥CD，EF∥CD，∴AB∥EF. 考点3: 证明的一般步骤 (1)理解题意，画出图形→根据题意画出图形，标上必要的字母； (2)写已知、求证→用字母、符号表示命题的条件和结论； (3)分析题意，写证明过程(运用数学语言和数学符号，条理清晰地写出证明过程) →用“∵……”、“∴……”表示因果关系，再注明相应的依据，写出证明过程(合理即可). · 通常文字证明题要有这三个步骤，而在我们所接触到的证明题中，有相当一部分不是文字证明题→题目已经明确地用字母、符号把命题表示出来，甚至还给出了示意图，对于此类题，我们只需从第三步开始作答即可. 练习1. 1. 如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝45°，则∠2的度数为( ). A. 45° B. 35° C. 65° D. 75° 2. 如图，AD∥BC，则下列说法正确的是( ). A. ∠ABC＝∠ADC B. ∠2＝∠4 C. ∠1＝∠3 D. ∠BAD＝∠BCD 3. 如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示的位置放置.若∠AEG＝18°，则∠HFD的度数为( ). A.23°　 　B.33°　 　C.36° 　　D.38° 4. 如图所示，已知∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＋∠4＝180°，则在结论①a∥b；②a∥c；③b∥c；④∠3＝∠2中，正确的个数是( ). A.1　　 B.2　 　C.3　 　D.4 5. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1＝70°，那么∠2的度数是( ). A.20°　 　B.25°　 　C.30°　 　D.45° 6. 将三角板和直尺按如图所示放置，三角板的直角顶点A在直尺上.若∠1＝26°，则∠2的度数为 . 7. 如图所示，点A、B、C在同一条直线上，且∠1＝∠2，∠3＝∠D.试说明BD∥EC. 题型1：平行线的实际应用 1. 如图所示，∠AOB的两边 OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出的一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( ). A.35° B.70° C.110° D.120° 2. 如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的∠A是120°，第二次拐弯的∠B是150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则∠C等于( ). A.150°　　 B.140°　　 C.130°　　 D.120° 3. 一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的路线与原来的路线平行，这两次拐弯角度不可能是( ). A.第一次向左拐 40°，第二次向右拐 40° B.第一次向右拐 40°，第二次向左拐 140° C.第一次向右拐 40°，第二次向右拐 140° D.第一次向左拐 40°，第二次向左拐 140° 4. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝30°，∠2＝50°,则∠3的度数为 . 题型2：巧添平行线解题 · 在有关图形的计算和证明题中，常见一类“折线”“拐角”型问题，解决这类问题的一般方法是经过拐点作平行线建立已知角和未知角间的联系. 1. 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是( ). A.35°　　　　B.45°　　　　C.55°　　　　D.65° 2. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ满足的关系式为( ). A. α＋β＋γ＝360°　　B.α－β＋γ＝180° C.α＋β－γ＝180°　　　D.α＋β＋γ＝180° 3. 如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是( ).   A.80°　　　 B.76°　　　 C.66°　　 　D.56° 巩固练习： 1. 如图所示，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( ). A.140° B.60° C.50° D.40° 2. 一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( ). A.40°　　　B.43°　　　C.45°　　　D.47° 3. 如图，AB∥CD，点E、F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( ). A.40°　　　　B.50°　　　　C.60°　　　　D.70° 4. 如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°－．其中正确的有( ). A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 5. 如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝ .  6. 如图所示，AB∥ED.若∠A＝135°，∠ACD＝80°，则∠CDE的度数为 . 7. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，EF⊥AB，垂足为E，且∠1＝∠2. 求证：∠B＝∠ADG. 8. 如图，已知AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，求证：BA平分∠EBF. 9. 如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别在线段AB、CD上，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC. (1)求证：AB∥CD； (2)若∠AGE＋∠AHF＝180°,求证：∠B＝∠C； (3)在(2)的条件下,若∠BFC＝4∠C，求∠D的度数. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $