精品解析：陕西省汉中市龙岗学校2025-2026学年上学期开学考试九年级数学试卷

陕西省汉中市龙岗学校2025-2026学年上学期开学考试九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程．据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 4. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 1或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得：x=1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴菱形是正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接，构造平行线． 6. 已知不等式组无解，则的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组无解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，M为中点，连接，过D作于E，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，掌握这两个知识点是解题的关键；连接；由矩形的性质及勾股定理求出，再利用面积关系即可求解． 【详解】解：如图，连接； 在矩形中，； ∵M为中点， ∴， 在中，； ∵， ∴； 故选：B． 8. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 把多项式因式分解的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解的方法，先进行提公因式变为：，再进行公式法变为：即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是因式分解方法的应用，利用口诀“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，依次进行分析是解题的重点，注意分解要彻底． 10. 若，则 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，由得到，代入式子约分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2 11. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 12. 如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接，若的面积为18，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，求出的面积是解题的关键． 连接，根据点B与点A关于x轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数k的几何意义可求出k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵点B是点A关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴． 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 13. 如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图： 由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共11小题，计78分） 14. 解方程及化简： （1） （2） （3） （4）化简： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、分式方程和分式的化简; （1）通过因式分解解一元二次方程，即可求解； （2）使用求根公式求解； （3）通过去分母化为整式方程求解，并检验； （4）先分解因式，再通分化简，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴，， ∴， 解得：， 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问4详解】 解： ． 15. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】根据菱形的判定和性质即可求解． 【详解】解：尺规作图法作菱形，即对角线为， ∴（1）连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点； （2）连接，交于点，交于点； （3）连接，，交于点，如图所示， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在四边形中，，，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）如果，求的长． 【答案】（1） 相似，理由如下： ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据相似三角形的判定即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ， ， ， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为6． 17. 国产动画电影《哪吒2》在全球上映后引发强烈反响．小伟购买了《哪吒2》电影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰从中随机抽取两张，用树状图或列表的方法求他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率．熟练掌握画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“哪吒”，“敖丙”，“太乙真人”，“申公豹”四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的结果有：，，共2种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率为，． 18. 如图，在平行四边形中，． （1）求与的周长之比； （2）若求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）由是平行四边形，得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴, ， ∴ ∴与周长的比等于相似比等于． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ ∵ ∴． 19. 某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度． 【答案】1米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据平移的性质可知草坪的面积可以看作一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为1米． 20. 近期某地出现疫情．某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同． （1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？ （2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共200件，为了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费．已知甲种物资每件运费3元，乙种物资每件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种物资每件的价格分别为70元、60元；（2）当购买甲种物资50件，乙种物资150件时，才能使得运费最低，最低运费是900元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以计算出甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元； （2）根据题意，可以得到运费与甲种物资件数的函数关系式，再根据计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资，可以得到甲种物资件数的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可到最低运费，从而可以解答本题． 【详解】（1）设乙种物资的价格是x元/件，则甲种物资的价格为（x+10）元/件， ， 解得，x=60， 经检验，x=60是原分式方程的解， 故x+10=70， 答：甲、乙两种物资每件的价格分别为70元、60元； （2）设购买了x件甲种物资，则购买了（200﹣x）件乙种物资，运费为w元， w=3x+5（200﹣x）=﹣2x+1000， ∵计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资， ∴70x+60（200﹣x）≤12500， 解得，x≤50， ∵﹣2<0， ∴当x=50时，w取得最小值，此时w=900，200﹣x=150， 答：当购买甲种物资50件，乙种物资150件时，才能使得运费最低，最低运费是900元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验． 21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ． （1）求这两个函数的解析式． （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 【答案】（1）y=﹣；y=﹣x+2（2）4 【解析】 【分析】（1）根据 S△ABO=，即，所以 ，又因为图像在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，求出反比例函数解析式，再将 k=-3代入 ，求出一次函数解析式； （2）将两个函数关系式 y=﹣和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标； （3）将x=0代入 y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可. 【详解】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0 则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y= ∴xy=﹣3 又∵ ∴k=﹣3 ∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x +2 （2）A、C两点坐标满足 解得 ∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1） （3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2． ∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2） 【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积，解答本题的关键是求出两个函数的表达式. 22. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面的长为，标杆的长为，且的长为，的长为，求电视塔的高． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点G，交于点H，构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】解：如图，过点A作交于点G，交于点H， 根据题意得：， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 答：电视塔的高为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可． 23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， （2）时,四边形EGCF是矩形，理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG=AE，OA=OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 24. 实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 【答案】 （1）①如图，即为所作： ②；（2）3；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，多边形的内角和定理，难度大，解题的关键在于面积的转化． （1）①延长至点，使得，而O为中点，则点E与点C重合，连接即可；②先证明，再证明，即可得到； （2）取得中点记为点N，连接，则由上可得，由于，因此当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q，可得为等腰直角三角形，，，则，证明，则，，导角证明，而，由于，当最大时，最小，由上知：，则，即可求解． 【详解】（1）解：①略 ②∵为斜边的中点， ∴， 由作图可得，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：取得中点记为点N，连接， ∵， ∴由上可得， ∵， ∴当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，五边形内角和为 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小， 由上知：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省汉中市龙岗学校2025-2026学年上学期开学考试九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7 4. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 1或0 5. 如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6. 已知不等式组无解，则的取值范围是　　 A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，M为中点，连接，过D作于E，则长为（ ） A. 2 B. C. D. 5 8. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 把多项式因式分解的结果是__________． 10. 若，则 ______． 11. 如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 12. 如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接，若的面积为18，则k的值为______． 13. 如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________． 三、解答题（共11小题，计78分） 14. 解方程及化简： （1） （2） （3） （4）化简： 15. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 16. 如图，在四边形中，，，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）如果，求的长． 17. 国产动画电影《哪吒2》在全球上映后引发强烈反响．小伟购买了《哪吒2》电影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四张人物卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰从中随机抽取两张，用树状图或列表的方法求他抽到的两张纪念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率． 18. 如图，在平行四边形中，． （1）求与的周长之比； （2）若求． 19. 某小区为了美化环境，准备在一块长30米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是551平方米，求道路的宽度． 20. 近期某地出现疫情．某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同． （1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？ （2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共200件，为了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费．已知甲种物资每件运费3元，乙种物资每件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？ 21. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ． （1）求这两个函数的解析式． （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 22. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面的长为，标杆的长为，且的长为，的长为，求电视塔的高． 23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ． （1）求证： △ABE≌△CDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 24. 实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $