精品解析：江西省南昌市进贤县第一初级中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级上学期期中检测 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件． 【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的， ∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号， ∴ 该事件是随机事件． 故选：C． 3. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 故选：D． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据，配方得进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于点P，若OP＝3，则CD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC，则OC=AB=5，OP=3，利用勾股定理即可求得PC，最后由CD=2PC完成解答. 【详解】解： 连接OC，则OC=AB=5，OP=3， 由勾股定理得： 所以CD=2PC=8 故答案为D. 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线、构造出直角三角形、运用勾股定理求得PC是解答本题的关键. 6. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为．有下列结论：①；②；③；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，利用二次函数的图象与性质逐一对选项进行分析即可．①利用开口方向，对称轴及抛物线与轴的交点即可判断；观察函数图象，当时，函数值与时的函数值相等，即，则即可判断②，根据抛物线与轴有两个不同交点，即可判断③，根据方程的四个根关于对称，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为 ∴对称轴为直线， 根据图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵ ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴当时，函数值与时的函数值相等，即，则，故②正确； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，故③不正确； 若方程有四个根，则这四个根关于对称，设四个根从小到大依次为， ∴ ∴这四个根的和为，故④正确 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个不透明袋子中装有3个红球、2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，掌握概率是部分除以整体是解题的关键． 用红球的个数除以球的总个数即可解答． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果， ∴摸出的小球是红球的概率为． 故答案为． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 9. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有可能的结果是解题的关键． 利用列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，共有闭合，，，3种等可能的结果，其中闭合，时小灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 10. 已知一个圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积是___cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的全面积等于圆锥的底面圆的面积与圆锥的侧面积之和即可得． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的底面圆的面积为， 这个圆锥的侧面积为， 则这个圆锥的全面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的全面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：，其中是底面半径，是母线长． 11. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________时，与坐标轴相切． 【答案】4或8或12 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．设与坐标轴的切点，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③仅与轴相切，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与轴相切于点，则 ， ， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒或秒时，与坐标轴相切， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法； （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴． 因式分解得． 所以或， 解得． 【小问2详解】 解： 移项得 因式分解得． 所以或， 解得． 14. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 15. 如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． （1）求证：． （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为直径， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一的性质以及圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质与判定； （1）连接，由为直径，可证得，根据，利用三线合一即可得证； （2）根据已知可得，根据圆内接四边形对角互补可得，进而得出是等边三角形，得出，即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 16. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若且k为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 17. 如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图1中作圆心． （2）在图2中作弦左上方的弧的中点． 【答案】（1） 如图， （2） 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角形的外心，垂径定理，中位线的性质，弧与圆周角的关系； （1）连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）作直线交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 根据作图可得为的重心，则为的中点， 又， ∴点即为圆心； 【小问2详解】 解：∵分别为，的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴点即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． （1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）； （2）15个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的频率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）． 设需要往盒子里再放入个白球． 根据题意，得，解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 答：需要往盒子里再放入15个白球． 19. 如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． （1）求证：． （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质与判定； （1）连接，根据等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换可得则，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据三角形的外角可得，根据是的直径，得出，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴ 又∵是的直径， ∴， ∴ 20. 如图，抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A的左侧），对称轴为直线，顶点为C，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式． （2）先求得，，得出，再根据三角形的面积公式列式计算，即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入函数解析式得，， 又因为抛物线的对称轴为直线，则②． 由①②解得，，． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令得，， 解得，． ∴B点坐标为． 将代入函数解析式得，， ∴C点坐标为． ∵，， ∴， 又因为点C坐标为， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． （1）的半径为________． （2）求证：是的切线． （3）求图中两阴影部分面积的和． 【答案】（1） （2） 证明：∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴是的半径， ∴是的切线． （3）. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，切线的性质与判定，求扇形面积； （1）根据切线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，结合题意即可得出 （2）证明四边形是正方形，进而可得，且是的半径，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵以点为圆心的半圆与边相切于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，即的半径为； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）铅球推出的水平距离为10米 （2）推出铅球行进的最大高度为2.45米 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为，设，即可得，则，故，令解得的值即可； （2）由推出的水平距离刚好与第一次相同，且，可得是的解，进而可以得解； （3）根据小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，知，而推出的水平距离超过第一次，但不足米，求得当时，，当时，，列出不等式，即可解得答案． 【小问1详解】 解：铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 抛物线顶点为， ， 铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是， ， ， ， 令，则， 舍去或， 铅球推出的水平距离为米； 【小问2详解】 推出的水平距离刚好与第一次相同，且， 是的解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 推出铅球行进的最大高度为米； 【小问3详解】 小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同， ， 推出的水平距离超过第一次，但不足米， 的一个根在到之间， 当时，，即，解得：， 时，，即，解得：， ， 的范围是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． 【观察与思考】 （1）如图1，猜想直线与的位置关系，并证明． 【迁移与运用】 （2）如图2，将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点时，求的值． 【操作与拓展】 （3）如图3，将图1中的绕点旋转，当直线经过的中点时，连接，求证：． 【答案】 （1）． 证明：如图，延长交于点， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴ ∴，， ∴都是直角三角形， ∴ ∴，即； （2）； （3）连接，延长至点，使，连接． 在中 ， ， ． ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）延长交于点，根据旋转的性质可得，进而得出都是直角三角形，则，即可得出，即； （2）连接，过点作于点，先证明，再证明，得到，利用勾股定理计算解答即可； （3）连接，延长至点，使，连接．证明，再证明，利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1） 略 （2）连接，过点作于点，根据旋转可得， ， 在中 ， ， ， ， ， ，， 在中 ， ， ∴， ∴, ∴, ∴． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期中检测 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于点P，若OP＝3，则CD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为．有下列结论：①；②；③；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个不透明袋子中装有3个红球、2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是_____． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 9. 如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是___________． 10. 已知一个圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积是___cm2． 11. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________时，与坐标轴相切． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 15. 如图，以的边为直径的分别交，于点，，连接，且． （1）求证：． （2）若，求证：为等边三角形． 16. 已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若且k为整数，求方程的根． 17. 如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图1中作圆心． （2）在图2中作弦左上方的弧的中点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图． （1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______． （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 19. 如图，是的直径，是弦的延长线上的一点，的延长线交于点，且． （1）求证：． （2）连接，若，求的度数． 20. 如图，抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A的左侧），对称轴为直线，顶点为C，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． （1）的半径为________． （2）求证：是的切线． （3）求图中两阴影部分面积的和． 22. 如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度(单位：米)与水平距离(单位：米)之间的函数关系式是． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为米时，铅球行进的高度最大为米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足米，请直接写出的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，． 【观察与思考】 （1）如图1，猜想直线与的位置关系，并证明． 【迁移与运用】 （2）如图2，将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点时，求的值． 【操作与拓展】 （3）如图3，将图1中的绕点旋转，当直线经过的中点时，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $