广东省中山市第一中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试题

中山市第一中学2025届高二第二学期期末热身练 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 不可能把直线作为切线的曲线是（ ） A． B． C． D． 2. 用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为 A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 4. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白球各个，甲、乙两人依次从袋中有放回地随机摸取球，记事件为“甲和乙至少一人摸到红球”，事件为“甲和乙摸到的球颜色不同”，则 A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 6. 若，则的值为 A. B. C. D. 7. 若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是      A. B. C. D. ， 8. 若对任意的，，且，都有，则的最小值是  A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 年月日，某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如表所示： 价格 销售量 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有 A. 变量，线性负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为 D. 相应于点的残差约为 10. 甲袋中装有个白球、个红球和个黑球，乙袋中装有个白球、个红球和个黑球，先从甲袋中随机取出个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出个球用，，分别表示从甲袋中取出的球是白球、红球和黑球，用表示从乙袋中取出的个球同色，则(    ) A. B. C. D. ，相互独立 11. 已知函数，下列选项正确的有    ． A. 函数在(-1,0)上单调递减，在上单调递增 B. 对任意 C. 当时， D. 且 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 12. 中国光谷武汉某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布且各个元件能否正常工作相互独立现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况各部件能否正常工作相互独立，那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值为          台 13. 某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在=0.05的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为          ． 附：，其中． 14. 若函数恰有两个极值点，则的取值范围是          ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 15. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率； 用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列． 16. 已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为：． 求的值及展开式中的常数项； 求展开式中系数最大项． 17. 已知函数． 讨论函数的单调性 设为自然对数的底数，当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 18. 当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式．网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求．而作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实、虚拟现实、超高清视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物、物与物的通信问题，从而满足移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等物联网应用需求．为更好的满足消费者对网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费单位：元与购买人数单位：万人的数据如下表： 套餐 月资费元 购买人数万人 对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表： 其中，，且绘图发现，散点集中在一条直线附近． 根据所给数据，求出关于的回归方程； 已知流量套餐受关注度通过指标来测定，当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用．记四人中使用“主打套餐”的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：对于一组数据，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，． 19. 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式如果无限接近于亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么． (1) 求； (2) 设函数． 若恒成立，求实数的取值范围； 数列满足，利用定积分几何意义，证明：． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市第一中学2025届高二第二学期期末热身练答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B B B D A D A ABC AC BCD 二、填空题 12. 375 13.   14. （，1） 15.【答案】 解：设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为， 则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 恰好抽到个礼品果的概率为： 用分层抽样的方法从个水果中抽取个， 则其中精品果个，非精品果个， 现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为， 则；； ；， 的分布列如下：                                                                 16.【答案】解：由题意知：， 因为第项与第项的二项式系数之比为：， 则有，即， 解得， 所以， 由，得， 所以展开式中的常数项为 设展开式中第项的系数最大， 则 解得，又， ， 故系数最大项为．  17. 【答案】解：函数的定义域为，， 当时，由得，即的单调递增区间是； 由得，即单调递减区间是． 当时，由得，即的单调递增区间是； 由得，即单调递减区间是． 综上所述，当时，单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，由知，函数在上单调递减， 所以， 对任意，存在，使， 即等价为恒成立即可，即， ， 设，，， 在上单调递增，在上单调递减， ， ， 故实数的取值范围是：．  18. 【答案】解：因为散点集中在一条直线附近，设回归方程为， 由，， 则， ，故变量关于的回归方程为． 又，， 故， 综上，关于的回归方程为． 由，解得， 而，，所以，，，即、、、为“主打套餐”． 则四人中使用“主打套餐”的人数服从超几何分布，，，， 且，，． 分布列为 期望．  19. 解：根据定义可知： ， 恒成立，即． 令，则． 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立，所以当时，； 当时，对，有，所以在上单调递减， 所以， 即当时，存在，使， 故不恒成立． 综上，． 证明：由，可得，所以， 即数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． 是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积， 而是图一中阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式左边得证． 是图二中阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式右边得证． 故有 ． 第2页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$