精品解析：河北省衡水中学2025-2026学年高三上学期期中综合素质评价数学试卷

2025-2026学年度高三年级上学期期中综合素质评价 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可. 【详解】因为集合，集合， 则. 故选：B. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出后由虚部的概念求解 【详解】，则，虚部为 故选：C 3. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 4. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质和充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】是的对称中心，但不满足坐标是，故该条件不具备必要性; 若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，则充分性成立， 故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：C. 5. 等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 588 B. 448 C. 896 D. 548 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式结合等比数列下标的性质解出，再利用下标的性质求解即可； 【详解】由，可得， 因为等比数列的各项均为正数， 则（舍）或2，， 故选：B. 6. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数以及对称性求出函数周期为，所以，即可求解. 【详解】因为函数图象关于对称，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 而， 又因为当时，，所以，即， 所以. 故选：B. 7. 设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出等差数列的通项，再求出数列的通项公式，后利用两角差的正弦公式和叠加法即可求数列的前项和. 【详解】设数列的公差为，则，解得， 则； ， 设数列的前项和为， ， ， …… 将这个式子累加，可得. 故选：C. 8. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，，，将题干翻译成对应点的轨迹，再根据平面几何知识即可求解. 【详解】如图：不妨设，，，，， 又，即， 也即动点到两定点的距离之和等于，故点的轨迹为线段， 又因，即，即， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 而， 当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立（即图中的或处）， 故要求的最大值，只需求的最大值，由图可知，当与或重合时最大， 此时，故的最大值为. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】由条件得： 选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确； 选项B：当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又， 所以当时，的值域为，故B错误； 选项C：由于在上单调递减，在和上单调递增， 即， 又， 所以只有一个零点，故C正确； 选项D：因为， 所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， ， 即， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B错误； 对于C，的平分线交于点，，又 ，即，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，若有两解，则，，D错误. 故选：ABD. 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由是正方形，则以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为，写出各点坐标，求出，利用数量积的坐标公式求解. 【详解】是正方形，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为， ， 是的中点，， 是边上靠近的三等分点，， ，. 故答案为：. 13. 已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】若函数有两个零点， 即与交于两点， 因为与在定义域内均为单调递增函数， 当时，当时，所以， 则的取值范围是． 14. 意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标，计算向量的数量积得到，均为锐角，为钝角，故，解得答案. 【详解】由题可知：，， ，则，， 则：， 同理：，故， 所以， 于是， 因为，所以， 所以，均为锐角，从而为钝角. 由得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题. 方法点睛： 当三角形中为钝角时，转化为； 当三角形中为直角时，转化为； 当三角形中为锐角时，转化为； 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）5； （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答. （2）利用向量夹角的坐标表示计算作答. 【小问1详解】 向量，由得：，解得，即， 则，所以. 【小问2详解】 当时，，，则， 所以与夹角的余弦值是. 16. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且 是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）若，都有成立，求正整数的值. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】 【分析】(1)先求出等差数列的通项，再求等比数列的通项即得的通项公式.(2) 由题意，应为数列的最大项. 计算出，对n分类讨论即得存在或，使，都有成立. 【详解】（1）设的公差为，则， 所以. 故的通项公式为（）. 设，则为等比数列. ，， 设的公比为，则，故. 则，即. 所以（） 故的通项公式为（）. （2）由题意，应为数列的最大项. 由（） 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述, 数列中的最大项为和. 故存在或，使，都有成立. 【点睛】（1）本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查数列的最大项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)研究数列的单调性，一般利用作差法，先求出，再研究函数的图像和性质. 17. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若内心为，求的周长范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得； （2）方法一：由内心和求得，设，可得，在中，利用正弦定理求出和,表示出，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得周长范围；方法二：同法求得，设，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范围，即得周长范围. 【小问1详解】 由可得： ， 化简得， 由正弦定理， ， 又由余弦定理，，因，则． 【小问2详解】 方法一：如图，因内心为，则和分别平分和， 则，则． 设，则有，，， 由，可得， 在中，，由正弦定理，， 则，，则 ， 又，，则 则的周长范围为． 方法二：与方法一同法求得，设，， 在中，由余弦定理可得，， 即，则， 因为，所以，即， 且，可得，即， 当且仅当时，即时等号成立． 综上的周长范围为． 18. 已知在数列中，，其前项和为，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的公比为，若数列满足． ①若用表示不大于的最大整数，试求的值； ②设数列的前项和为，若存在正整数，使得成等比数列，试求出所有的的值． 【答案】（1） 因为， 所以， 两式相减，得， 在中，令，得 ， 显然， 所以数列是等比数列. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合之间的关系进行运算证明即可； （2）①根据等差数列的通项公式和前项和公式，结合题中定义进行求解即可； ②运用裂项相消法，结合等比数列的定义进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ， 所以数列是公差为的等差数列，； ①： ， 所以 ②：， ， 当成等比数列时，， 因为， 所以，， 所以存在正整数，使得成等比数列. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【小问1详解】 ，得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三年级上学期期中综合素质评价 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2 3. 已知是等边三角形，边长为4，则（ ） A. B. 8 C. D. 4. “点A的坐标是，”是“的图象关于点A对称”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 588 B. 448 C. 896 D. 548 6. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 7. 设等差数列的前项和为，已知，设，则数列的前项和为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，，，，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若函数，则（　　） A. 在上单调递减 B. 当时，的值域为 C. 只有一个零点 D. 曲线关于点对称 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 13. 已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 14. 意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且 是等比数列. （1）求数列和的通项公式； （2）若，都有成立，求正整数的值. 17. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）若内心为，求的周长范围． 18. 已知在数列中，，其前项和为，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的公比为，若数列满足． ①若用表示不大于的最大整数，试求的值； ②设数列的前项和为，若存在正整数，使得成等比数列，试求出所有的的值． 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $