精品解析：江苏省镇江市京口区联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价I 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 2. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列实数：，，，，，中无理数的个数有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 小明同学在学习完全等三角形以后，思考怎么用三角板平分一个角，经过研究他得到一种方法：如图，在已知的两边上，分别取，再分别用三角板过点，作，的垂线，交点为，画射线，则，所以平分．在此画图过程中的判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 7. 如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图， 是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　 ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题3分，共18分） 11. 近似数2.03亿精确到__________位 12. 比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 13. 如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了______ 14. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_______． 15. 如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则_______． 16. 如图，在等边△中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，若，．则_____ ． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列各式中的值： （1） （2） 19. 如图，，，．求证：． 20. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为． （1）的值是_________； （2）求的值； （3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 21. 如图①，是平分线上一点，点、分别在射线和射线上． （1）若和互补，求证：． （2）反过来，如果，那么和一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图②中画出反例（要求尺规作图）． 22. 中，． （1）请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 24. 定义：如图1，平面内有一点到△的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为△关于点的勾股点 【知识感知】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△的顶点在格点上，则这个点是不是△关于点的勾股点　 　 （填“是”或“不是” ； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是△外一点，且点是△关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】 （3）如图4，△为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角△（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为△关于点的勾股点； 【知识拓展】 （4）如图5，△是等边三角形，点为△内一点（不与点、、重合），当点是△关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初中阶段性学习评价I 八年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的判定条件“三个正整数且满足勾股定理”是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项 A：，，则，是勾股数，故本选项不符合题意； 选项 B：，，则，不是勾股数，故本选项符合题意； 选项 C：，，则，是勾股数，故本选项不符合题意； 选项 D：，，则，是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案． 【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近， A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项符合题意； D、，，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有立方根；③16的算术平方根是4；④表示a的平方根，表示a的立方根；⑤一定是负数；其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①64的平方根是，立方根是4，因此①不正确； ②负数有立方根，因此②不正确； ③16的算术平方根是4，因此③正确； ④表示的算术平方根，表示的立方根，因此④不正确； ⑤不一定是负数，当时，；当时，，因此⑤不正确． 综上所述，正确的只有③，共1个， 故选：． 4. 下列实数：，，，，，中无理数的个数有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】整数与分数统称有理数，无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：， 无理数有：，， 所以无理数一共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数与无理数的概念，掌握“根据无理数的概念判断无理数”是解题的关键． 5. 小明同学在学习完全等三角形以后，思考怎么用三角板平分一个角，经过研究他得到一种方法：如图，在已知的两边上，分别取，再分别用三角板过点，作，的垂线，交点为，画射线，则，所以平分．在此画图过程中的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可知OM=ON，OP为公共边，再结合两三角形为直角三角形，则可求得答案． 【详解】解：∵两三角尺为直角三角形， ∴∠OMP=∠ONP=90°， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握直角三角形的特殊判定方法HL是解题的关键． 6. 如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AE，再由线段垂直平分线的性质得到BE=AE即可． 【详解】在中， ， 垂直平分 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，灵活运用知识点是解题的关键． 7. 如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由轴对称的性质可得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果． 【详解】解：连接，，， 点关于、所在直线的对称点分别是、， ，， ， ， 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角形三边关系定理． 8. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 9. 如图， 是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（　 ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在火车自左向右运动的过程中，车长BC可以是腰，也可以是底边．所以共有5个等腰三角形． 当车长为底时，AB=AC， 得到的等腰三角形是△ABC； 当车长为腰时，B1C1=C1A，C1A=C1B2，C2A=B3C2，AC2=C2B4，分别得到的等腰三角形是△AB1C1，△AB2C1， △AB3C2，△AC2B4． 故得到的等腰三角形共有5个． 考点：等腰三角形的判定． 10. 如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、， 点在上，于点， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二、填空（每题3分，共18分） 11. 近似数2.03亿精确到__________位 【答案】百万 【解析】 【分析】本题考查了精确度，熟练掌握精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定，是解题的关键． 近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定．对于以亿为单位的数，需先转换为整数形式，再确定最后一位有效数字对应的数位． 【详解】解：近似数． 最后一位有效数字是3，位于百万位上， 因此精确到百万位． 故答案为：百万． 12. 比较大小：___________3（选填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出，即可判断出，问题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正确估算出的取值是解题关键． 13. 如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了______ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．证明是的垂直平分线，得，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：点C是的中点，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 即橡皮筋被拉长了， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出面积标记为的等腰直角三角形的直角边长，得到，同理求出，根据规律解答．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ∴， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，、分别是对角线、的中点，，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．连接、，根据四边形内角和等于求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 在△中，是的中点， 则， ， ， 同理可得：，， ，， 是的中点， ， 故答案为：6． 16. 如图，在等边△中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，若，．则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．过点作于．设，则，首先证明，求出，，可得结论． 【详解】解：△是等边三角形， ，， 由对称可知， 设，则， ， ， ， ， ； 过点作于， 则， 在△中，，， ，， 在△中，， ， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根，立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式=， =， =． 18. 求下列各式中的值： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，， 当时，， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据平行线的性质得到，然后根据“”证明即可． 【详解】略 20. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为． （1）的值是_________； （2）求的值； （3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，非负性，求一个数的平方根： （1）根据数轴上点的移动规则，左减右加，求出的值即可； （2）根据点的位置，确定式子的符号，进而化简即可； （3）根据非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：； 【小问2详解】 由图可知：， ∴， ∴； 【小问3详解】 由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 21. 如图①，是平分线上一点，点、分别在射线和射线上． （1）若和互补，求证：． （2）反过来，如果，那么和一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图②中画出反例（要求尺规作图）． 【答案】（1） 证明：如图①，过点作于点，于点， 平分，，， ，， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）不一定互补，如图②，当时， ． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，于点，结合平分可得，，根据，可推出，证明△△，即可解答； （2）不一定成立，作出图形回答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接， 当时，和不一定互补，如图②，当时，； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，解题的关键是掌握相关知识． 22. 中，． （1）请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且； （2）在（1）的条件下，若，则 ． 【答案】（1） 如图：点P即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作图成为解题的关键． （1）分别作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点即为点P； （2）设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、，则可得，由角平分线的性质可得．利用勾股定理求出的长，根据可求出的长，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 设， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【小问1详解】 在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． 【小问2详解】 作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； 【小问3详解】 如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 24. 定义：如图1，平面内有一点到△的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为△关于点的勾股点 【知识感知】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△的顶点在格点上，则这个点是不是△关于点的勾股点　 　 （填“是”或“不是” ； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是△外一点，且点是△关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】 （3）如图4，△为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角△（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为△关于点的勾股点； 【知识拓展】 （4）如图5，△是等边三角形，点为△内一点（不与点、、重合），当点是△关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）是；（2）15；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）求出，，，得到，即得出点是△关于点的勾股点； （2）根据勾股点的定义求出的长，再利用勾股定理求解即可； （3）证明△△，得出，，证明，进而根据勾股定理得出，即可得出，根据新定义，即可得出结论； （4）把△绕点旋转到△的位置，连接，由旋转的性质可得，，，，由题意及勾股定理的逆定理可证，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，连接，，， ，，， ， 点是△关于点的勾股点； 故答案为：是． （2）解：，是中点，， ，， 点是△关于点的勾股点， ， ，， ， 在△中，； （3）证明：△和△为等腰直角三角形， ，，， ， 即， △△， ，， ， ， ， ， 点为△关于点的勾股点． （4）解：如图，把△绕点旋转到△的位置，连接， △是等边三角形， ，， 把△绕点旋转到△的位置， ，，，， △是等边三角形， ，， 点是△关于点的勾股点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $