专题08 双角平分线模型（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义以“双角平分线模型”为核心，通过“模型识别-思路提炼-应用拓展”的逻辑框架构建知识体系，明确无公共部分与有公共部分两大核心模型，结合“识别-应用-验证”三步解题步骤，用结构化呈现方式梳理知识脉络，突出七年级上册重点考查的无公共部分题型。 讲义亮点在于分层题型设计与素养导向的方法指导，基础层通过夹角计算典例强化抽象能力，提高层结合动点问题（如用时间t表示角建立方程）培养推理意识，应用层以钟表角度等实际问题发展模型意识。典例与梯度练习适配不同学生，易错点提醒助力教师精准教学，提升复习效率。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题08 双角平分线模型（8大基本题型） 题型1：双角平分线夹角计算 题型2：双角平分线与动点结合 题型3：双角平分线的实际应用 【题型1】双角平分线夹角计算 题型描述：已知两条射线分别平分两个有公共顶点的角（共顶点、共一边），求两条平分线之间的夹角。 核心模型： 1. 两个角无公共部分（如∠AOB与∠BOC共顶点O、共边OB，且∠AOB与∠BOC无重叠）：若OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE＝∠AOC（∠AOC＝∠AOB＋∠BOC）。 2. 两个角有公共部分（如∠AOB与∠AOC共顶点O、共边OA，且∠AOB与∠AOC有重叠）：若OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠DOE＝∠BOC（∠BOC＝|∠AOB－∠AOC|）。 【题型2】双角平分线与动点结合 题型描述：在角的边上存在动点，平分线与动点结合，求角度或线段长度（七年级上册常结合射线旋转）。 核心思路： 1. 确定动点运动后的角的表达式（如用时间t表示角的度数）； 2. 利用双角平分线模型建立方程； 3. 解方程求未知量。 【题型3】双角平分线的实际应用 题型描述：将双角平分线模型应用于实际问题（如钟表角度、折叠问题），求实际量。 核心思路： 1. 将实际问题转化为角的计算（如钟表指针的夹角）； 2. 应用双角平分线模型求解。 【核心解题思路与步骤】 双角平分线模型的解题核心是“角的平分线→半角→角的和差”，具体步骤如下： 1. 识别模型（关键步骤） (1) 找公共顶点：确定两条平分线的公共顶点（如O）； (2) 看角的位置：判断两个角是否有公共部分（共边则有公共部分，否则无）； (3) 标已知量：在图中标出已知的角的度数或表达式（如∠AOB＝60°）。 2. 应用模型（公式推导） (1) 无公共部分：∠DOE＝∠AOC＝（∠AOB＋∠BOC） (2) 有公共部分：∠DOE＝∠BOC＝|∠AOB－∠AOC| (3) 注：七年级上册重点考查无公共部分的情况（如直线AB上的角平分线），需重点掌握。 3. 验证与计算（确保正确） (1) 代入已知量计算； (2) 检查单位（七年级上册角度单位为度°）； (3) 验证合理性。 【易错点提醒】 1. 混淆公共部分与无公共部分：若两个角有公共边且有重叠（如∠AOB与∠AOC共边OA，且∠AOB＞∠AOC），则用有公共部分的模型； 2. 忽略角的范围：七年级上册中，角的度数通常在0°到180°之间，需避免出现负角或超过180°的角； 3. 动点问题中的变量设定：动点的角通常用时间t或字母表示（如2t°），需正确建立方程。 【题型1】双角平分线夹角计算 【典例1】如图所示，是的角平分线，是的角平分线，如果，，则 ______ 【答案】/度 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角之间的等量关系是解题的关键．根据角平分线的定义可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵、分别是、的角平分线， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例2】如图，已知，．、分别是、的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，根据角平分线的定义得出，，得出，，得出x，y的值代入解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分平分， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【练习1】如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得：，，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴． 【练习2】（1）如图1，已知，是的角平分线，当时，求的度数； （2）如图2，已知，，时，求的度数； （3）如图3，当，，且时，请直接用含有，，n的式子表示的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了几何图中角的计算，角平分线的有关计算，正确运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据、求解得出，再根据角的和差关系即可得出． （3）仿照（2）的解题步骤求解即可； 【详解】解：（1）∵，OE是∠AOC的角平分线，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【练习3】如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号）_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 【题型2】双角平分线与动点结合 【典例1】如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为____________________． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度和差关系和角平分线的性质，分两种情况：当、未相遇时，有，结合角平分线的性质得和，则有，即可求得；当、相遇后，结合角平分线的性质得和，由，得，结合即可求得答案． 【详解】解：①当、未相遇时，， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， 则； ②当、相遇后， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 【练习1】（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【练习2】如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为_； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为_（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 【练习3】问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长_；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴_，_ ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求_（用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【题型3】双角平分线的实际应用 【典例1】【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 （1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为_，_； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 （2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． 【答案】（1）①，；②每经过一分钟，时针转过，分针转过；（2） 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握钟面角是解题的关键； （1）①由表盘一周表示的角，结合钟表上有12个数字可得，每两个数字与表的中心所成夹角为，据此可直接进行求解；②根据①及钟面角可进行求解； （2）根据（1）可得，然后可得，进而根据角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：（1）①∵表盘一周表示的角，钟表上有12个数字 ∴每两个数字与表的中心所成夹角为， ∴巴黎时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 故答案为：，； ②由①可知，时针每60分钟转过，分针每5分钟转过， 则每经过一分钟，时针转过，分针转过； 答：每经过一分钟，时针转过，分针转过． （2）由（1）可知，依题意得，，， ， 平分，平分， ，， ． 【练习1】大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图1，为方便研究，定义两手手心位置分别为两点，两脚脚跟位置分别为两点，定义平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图1，三点在同一条直线上，两点重合，，求的度数； (2)如图2，三点在同一条直线上，且，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平角和求解即可； （2）首先根据平角和求出，，然后有由平分线得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：三点在同一条直线上 ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 【练习2】如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 【练习3】小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量． 操作1：如图1所示放置，其中，；，．分别作出、的平分线、，得到________； 操作2：将三角尺固定，三角尺绕点A以的速度逆时针旋转，当边与边重合时，此时A、D、B、M在同一条直线上，作出的平分线，如图2所示，得到________； 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中为一固定值，其中、分别是、的平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立； 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出、的平分线、，通过度量发现为另一值，求出此时的度数； 发现：三角尺固定，三角尺从图1位置开始绕点A以的速度逆时针旋转一周的过程中，只有某一时间段为另一值，请直接写出这一时间段的时长． 【答案】操作1：；操作2：；猜想、验证：成立；质疑：；发现：． 【分析】本题考查有关角平分线的动角问题，根据角度的运动及三角板角度得到相关角度，结合角平分线计算即可得到答案； 【详解】解：操作1，图1中，∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 操作2，图2中，∵，， ∴， ∵、是、的平分线， ∴， ∴， 故答案为：，； 猜想：图3中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ， ∴ ； 质疑：图4中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴发现：． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题08双角平分线模型(8大基本题型) 专题概览 题型1：双角平分线夹角计算 题型2：双角平分线与动点结合 题型3：双角平分线的实际应用 题型归纳 【题型1】双角平分线夹角计算 题型描述：己知两条射线分别平分两个有公共顶点的角（共顶点、共一边），求两条平分线之间的 夹角。 核心模型： 1,两个角无公共部分（如∠AOB与∠BOC共顶点O、共边OB,且∠AOB与∠BOC无重叠）：若 OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,则∠DOE=;∠A0C(∠AOC=∠AOB+∠BOC)。 0 2.两个角有公共部分（如∠AOB与∠AOC共顶点O、共边OA,且∠AOB与∠AOC有重叠）：若 OD平分∠AOB,OE平分∠AOC,则∠DOE=!∠BOC(∠BOC=|∠AOB-∠AOC)。 0 B 【题型2】双角平分线与动点结合 题型描述：在角的边上存在动点，平分线与动点结合，求角度或线段长度（七年级上册常结合射线 旋转)。 核心思路： 1. 确定动点运动后的角的表达式（如用时间t表示角的度数）； 2.利用双角平分线模型建立方程： 3. 解方程求未知量。 【题型3】双角平分线的实际应用 题型描述：将双角平分线模型应用于实际问题（如钟表角度、折叠问题），求实际量。 核心思路： 1.将实际问题转化为角的计算（如钟表指针的夹角）： 2.应用双角平分线模型求解 【核心解题思路与步骤】 双角平分线模型的解题核心是“角的平分线一半角一角的和差”，具体步骤如下： 1.识别模型（关键步骤) (1)找公共顶点：确定两条平分线的公共顶点（如O); (2)看角的位置：判断两个角是否有公共部分（共边则有公共部分，否则无）： (3)标己知量：在图中标出已知的角的度数或表达式（如∠AOB=60°）。 2.应用模型（公式推导） ()无公共部分：∠DOE=}∠AOC=} (∠AOB+∠BOC) (2) 有公共部分：∠DOE=2 1 =II∠AOB-∠AOC ∠BOC= (3)注：七年级上册重点考查无公共部分的情况（如直线AB上的角平分线），需重点掌握。 3.验证与计算（确保正确） (1)代入已知量计算： (2)检查单位（七年级上册角度单位为度°）； (3)验证合理性。 【易错点提醒】 1.混淆公共部分与无公共部分：若两个角有公共边且有重叠（如∠AOB与∠AOC共边OA,且∠AOB >∠AOC),则用有公共部分的模型； 2.忽略角的范围：七年级上册中，角的度数通常在0°到180°之间，需避免出现负角或超过180° 的角： 3.动点问题中的变量设定：动点的角通常用时间t或字母表示（如2t°），需正确建立方程。 配套练习 【题型1】双角平分线夹角计算 【典例1】如图所示，OB是∠AOC的角平分线，0D是∠C0E的角平分线，如果∠A0B=40°， ∠C0E=60°，则∠B0D= 【典例2】如图，己知∠A0E=10°，∠D0F=号∠A0E.OE、0F分别是∠D0C、∠A0C的角平分线， 求LEOF的度数. 【练习1】如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线. E (1)若∠A0C=120°，∠B0C-30°，求∠D0E的度数； (2)若LA0C=a,∠BOC=B,求∠D0E的度数. 【练习2】(1)如图1，已知∠A0B=∠C0D=90°，OE是∠A0C的角平分线，当∠B0D=42°时，求 ∠AOE的度数； 图1 图2 图3 (2)如图2，己知∠A0B=80°，∠C0D=110°，∠A0C=2∠B0D时，求∠A0D的度数： (3)如图3，当∠A0B=a,∠COD=B,且∠AOC=nZBOD(n>1)时，请直接用含有，B,n的式 子表示∠BOD的值. 【练习3】如图，己知0O是直线AB上的点，∠COD=90°，OE,OF分别是∠A0D和∠BOD的角平分 线，则下列结论中：①LEOF=90°；②∠C0E=LD0F;③2∠E0D-∠A0C=∠D0B;④ ∠A0C+90°=2∠A0E.正确的有（填序号） B 【题型2】双角平分线与动点结合 【典例1】如图，A、O、B在一条直线上，射线OP从OA出发，绕点O顺时针旋转，同时射线00也 以相同的速度从OB出发，绕点O逆时针旋转，当OP、OQ分别到达OB、OA上时，运动停止.己知 OM、ON分别平分LA0P和LB0Q,设∠M0N=x°，∠POQ=y°，则x与y之间的数量关系为 M A 【练习1】(1)探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①135°，②125°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ·(填序 号) (2)在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线 EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB)的顶点与60°角（∠COD)的顶点互相重合， 且边0A、OC都在直线EF上，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角 度a,当边OB与射线0F第一次重合时停止. (1) (2) ①当OB平分LEOD时，求旋转角度O; ②是否存在∠B0C=2LA0D?若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由， 【练习2】如图，∠A0B=130°，将一个直角三角尺C0D的顶点与点O重合，∠C0D=30°，OM平分 ∠AOB,三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA,OB重合）· B(D B(D 图1 图2 图3 (1)如图1，当0D在射线OB上时，∠C0M的度数为； (2)如图2，三角尺COD在∠B0M的内部，当0C平分∠B0M时，求∠BOD的度数； (3)如图3，三角尺COD从0D与OB重合开始，以每秒5°的速度绕点O按图中的方向旋转，当0D到达 OM处停止旋转.在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线时，t的值为（直接写出答案）· 【练习3】问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点 与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力. A E C D F B 图1 图2 图3 (1)【特例感知】 如图1，己知线段CD在线段AB上运动，线段AB=I0cm,CD=2cm,点E、F分别是AC、BD的中 点.解答下列问题： ①如图1，若AC=3cm,求EF的长cm;(直接写出结果) ②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变.小聪理由如下： :E,F分别是AC、BD的中点 .EC=AC,DF=DB .EF=EC+CD+DF =LAC+CD+-DB 2 =(AC+DB)+CD 1(AB-CD)+CD 2 = (AB+CD) 2 :AB=10cm,CD=2cm不变 .EF的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，己知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和 ∠BOD,则∠EOF与∠AOB、∠COD有数量关系，说明理由. (3)【知识迁移】 如图3，已知∠C0D在∠A0B内部转动，若∠A0B=150°，∠C0D=30°，∠A0E=k∠E0C, ∠BOF=kZDOF,求∠EOF=_(用含有k的式子表示计算结果)· 【题型3】双角平分线的实际应用 【典例1】【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下 探究.钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟， 1 12 11 1112 10 1 9 31 9 8 4 8 .6.5 76.5 76.5 巴黎 伦敦 北京 6 图1 【问题提出】 (1)①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为_，一； ②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？ 【问题推广】 (2)如图1，若此时为下午5：00，点A为下午4点钟的位置，OM平分LA0P,ON平分∠AOQ,请你 求出∠MON的角度， 【练习1】大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分 析如何能让班上同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论.如图1，为方便研究， 定义两手手心位置分别为A,B两点，两脚脚跟位置分别为C,D两点，定义平面内O为定点，将手脚运 动看作绕点0进行旋转. C(D) 图1 图2 (I)如图1，A,O,B三点在同一条直线上，C,D两点重合，LA0C=∠B0C,求∠A0C的度数： (2)如图2，A,O,B三点在同一条直线上，且∠A0C:∠B0C=2:3,0D平分∠B0C,求∠A0D的度数. 【练习2】如图1，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点0处，∠B0A=90°，∠C0D=60°，0C与 OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线 D 图1 图2 (1)求∠MON的度数； (2)如图2，若保持三角尺A0B不动，三角尺C0D绕点O逆时针旋转n°(0<n<90°且n≠60°)时，其 他条件不变，求∠MON的度数； (3)直接写出∠C0D绕点O逆时针旋转n°(0<n<360°且n≠90°，n≠60°)时∠M0N的值； (4)在旋转的过程中，当∠A0C+∠B0D=120°时，直接写出∠B0C的值. 【练习3】小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量。 操作1：如图1所示放置，其中∠BAC=∠D=90°，∠ABC=∠C=45°；∠DAE=60°，∠E=30°.分别 作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN,得到∠MAN= 操作2：将三角尺ABC固定，三角尺ADE绕点A以I0°/s的速度逆时针旋转，当AD边与AB边重合时， 此时A、D、B、M在同一条直线上，作出∠CAE的平分线AN,如图2所示，得到LMAN=; 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中∠MAN为一固定值，其中AM、AN分别是∠BAD、∠CAE的 平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立： 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出∠BAD、∠CAE的 平分线AM、AN,通过度量发现∠MAN为另一值，求出此时∠MAN的度数： 发现：三角尺ABC固定，三角尺ADE从图1位置开始绕点A以10°1s的速度逆时针旋转一周的过程中， 只有某一时间段∠MAN为另一值，请直接写出这一时间段的时长. D D D B M M 图1 图2 图3 E 图4