第24章《圆》期末单元复习卷 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十四章 圆 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】正六边形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【解答】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成个全等的部分，则旋转至少度，能够与本身重合． 故选：． 2.下列四个命题，其中正确的是（    ） A.弦是直径 B.经过三个点一定可以作圆 C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D.两个半圆是等弧 【答案】C 【解析】本题考查了圆的有关概念，弦，弧，圆的确定，外心等知识点． 根据弦、等弧的概念以及外心的性质，圆的确定条件判断各选项即可． 【解答】解：、直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； 、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原说法错误，不符合题意； 、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确，符合题意； 、能够互相重合的弧是等弧，由于两个半圆的半径不一定相等，故两个半圆不一定能重合，原说法错误，不符合题意； 故选：． 3.已知的半径为，长为，则下面图形正确的可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【解答】解：的半径长为，若， ， 点在圆外， 故选：． 4.如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分的面积是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的是扇形面积的计算，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，根据题意得出长方形的面积是解答此题的关键． 根据正方形的性质可知，，则阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【解答】解：正方形的边长为，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， 故选：． 5.如图所示，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是点关于所在直线的对称点，的半径为，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【解答】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点是的中点， ， ， 点是点关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：． 6.如图所示，在中，弦，连接交半径于点，平分，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由平分可得，由得，由圆周角定理得，再由三角形外角性质可得结论． 【解答】解：平分，且， ， ， ， 所对圆心角是，圆周角是， ， ， 故选：． 7.小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【解答】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 8.如图，正八边形内接于，若的半径为，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题结合正八边形，考查不规则图形面积的计算，核心素养主要表现为运算能力、几何直观． 把总面积转换成两个三角形和一个扇形面积之和即可算出答案． 【解答】 如图，连接． 根据圆和正八边形的对称性，可知题图中阴影部分的面积与如图所示的图形中阴影部分的面积相等． 易知， 则，且设交点为，则， 半径为 故选： 9.如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【解答】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ，， ，，分别与相切于，，三点， ， 四边形，是正方形， ， ， 是的切线， ，， 在中，， ， ， 故选：． 10.如图，内接于，半径，连接并延长交于点，过点作半径交于点，连接，以下结论：①；②；③；④四边形为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【解答】令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， 故四边形为菱形，选项④正确； 四边形为菱形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，②正确； ，③错误； 综上，①②④正确． 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为_____________. 【答案】 【解析】画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比． 【解答】解：如图： 在直角三角形中，， ， 是边上的高，，． ： 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为： 12.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_______________． 【答案】 【解析】本题考查圆锥的计算，正确运用弧长公式求出扇形的弧长是解题关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长，即圆锥底面的周长，即可求出圆锥底面的半径． 【解答】解：扇形的半径为，圆心角为， 扇形弧长为 ，即圆锥的底面周长为 ， 圆锥底面半径为 ， 故答案为：． 13.如图，已知是的两条直径，，则的度数为_____________． 【答案】度 【解析】本题主要考查了圆的半径相等，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据半径得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：是的两条直径， ， ， 故答案为：． 14.如图，在半径为的扇形中，，点是上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为、，则的长是_____________． 【答案】 【解析】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题． 连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可． 【解答】解：连接，如下图所示： ， ， ， ， 为的中位线， ， 故答案为：．   15.如图，中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作于、于、于，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到得到，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图：过点作于、于、于， 点是内切圆的圆心， ，、、， 四边形是正方形， 中，，，， ， 设，，， 则，解得：， ， 点为的外心， ， ， ． 故答案为． 16.如图，等边三角形的边长为，的半径为，为上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________________． 【答案】 【解析】连接、，由切线性质知，则(勾股定理)为半径(定值)，故当最小时，最小，而的最小值为到的垂线段长度(垂线段最短)． 【解答】如解图，连接，过点作于点． 是的切线， ，当时，最小，取最小值． 为等边三角形， ， ， 的最小值为． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】 【解析】（1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【解答】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， 该多边形的边数为 （2）解：由可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 18.（5分）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤：任意画一个圆； 步骤：以圆心为顶点，连续画 _______ 度的角，与圆相交于 ____8___ 个点； 步骤：连接每隔一个点的两个点； 步骤：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】；，图见解析 【解析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【解答】解：步骤：任意画一个圆； 步骤：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于个点； 步骤：连接每隔一个点的两个点； 步骤：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：；8 19.（7分）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】． 【解析】本题考查了圆的有关概念，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形性质可得，又，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：是直角三角形，， ， ， 是等腰三角形，， ． 20.(7分) 如图，在中，圆心角，． （1）求的半径； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】 【解析】（1）根据已知条件得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可； （2）先求出扇形的面积，再减去等腰直角三角形的面积即可． 【解答】（1）解：，， 为等腰直角三角形， 又， ， 即的半径为 （2）解：的半径为，， ，， ． 21.(7分) 如图，是的直径，点，均在上，，弦． （1）求直径的长； （2）求劣弧的长． 【答案】 【解析】（1）根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可求解． （2）连接，求出，根据弧长公式即可求解． 【解答】（1）解：是的直径， ， ，， ， 的直径为； （2）解：如图，连接， 则， 的长为． 22.(8分) 如图，，是的直径，是上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）根据可知，再由即可得出结论； （2）先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由可得出，根据补角的定义即可得出结论． 【解答】（1）解：证明：， ． ， ， ； （2），， ． 由知，， ， ． 23.(10分) 已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点． （1）如，，求的半径长； （2）求证：． 【答案】的半径为 证明见解答. 【解析】（1）连接．设的半径为．根据垂径定理得到 在中，利用勾股定理列式计算即可. 连接，根据垂径定理可得，得到根据四边形是圆内接四边形，得到根据等量代换即可得到 【解答】（1）连接．设的半径为． ， 在中， 解得 （2）连接， 弦, 四边形是圆内接四边形， ， 24.(10分) 如图，在四边形中，，，，过点，，的交于点，连接交于点， （1）求证：． （2）若的半径为，，求四边形的面积． 【答案】见解答 【解析】（1）根据题意得，由圆周角定理得；根据平行线性质得，可得 （2）连结，求得，设，则，由勾股定理得，求出，可得，最后根据四边形的面积的面积的面积解答即可． 【解答】（1）解：证明：，, ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ，又， 设，则， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，，， ，， 四边形的面积的面积的面积 ． 25.(12分) 如图，内接于，是的切线，于点，连接． （1）求证：； （2）如图，若，求证：四边形为正方形； （3）如图，交于点，若点为的中点，，求的长度． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）根据是的切线与于点，可得到角之间的关系，进而证明； （2）根据中结果得到四边形为矩形，再根据半径相等，可得到四边形为正方形； （3）连接，后，可证明，得到，得到，根据弧长公式解答即可． 【解答】（1）解：证明：是的切线， ， 于点， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知：，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； （3）解：连接，， 点为的中点， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 的长度为． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十四章 圆 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（    ） A. B. C. D. 2.下列四个命题，其中正确的是（    ） A.弦是直径 B.经过三个点一定可以作圆 C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等 D.两个半圆是等弧 3.已知的半径为，长为，则下面图形正确的可能是（    ） A. B. C. D. 4.如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分的面积是（  ） A. B. C. D. 5.如图所示，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是点关于所在直线的对称点，的半径为，则的长为（   ） A. B. C. D. 6.如图所示，在中，弦，连接交半径于点，平分，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 7.小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A. B. C. D. 8.如图，正八边形内接于，若的半径为，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A. B. C. D. 10.如图，内接于，半径，连接并延长交于点，过点作半径交于点，连接，以下结论：①；②；③；④四边形为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为____________. 12.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______________． 13.如图，已知是的两条直径，，则的度数为________． 14.如图，在半径为的扇形中，，点是上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为、，则的长是___________． 15.如图，中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为_________． 16.如图，等边三角形的边长为，的半径为，为上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 18.（5分）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤：任意画一个圆； 步骤：以圆心为顶点，连续画 ______ 度的角，与圆相交于 _____ 个点； 步骤：连接每隔一个点的两个点； 步骤：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 19.（7分）如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 20.(7分) 如图，在中，圆心角，． （1）求的半径； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 21.(7分) 如图，是的直径，点，均在上，，弦． （1）求直径的长； （2）求劣弧的长． 22.(8分) 如图，，是的直径，是上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23.(10分) 已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点． （1）如，，求的半径长； （2）求证：． 24.(10分) 如图，在四边形中，，，，过点，，的交于点，连接交于点， （1）求证：． （2）若的半径为，，求四边形的面积． 25.(12分) 如图，内接于，是的切线，于点，连接． （1）求证：； （2）如图，若，求证：四边形为正方形； （3）如图，交于点，若点为的中点，，求的长度． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $