专题04 圆（期末复习专项训练，16大题型）九年级数学上学期人教版

专题04 圆 题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点） 题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点） 题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点） 题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算 题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点） 题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点） 题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点） 题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本性质（共3小题） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 2．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，点在上，，，则 ． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知矩形的顶点，在半径为10的半圆上，顶点，在直径上．若，则矩形的面积是（   ） A．92 B．96 C．98 D．100 题型二 垂径定理及应用（共7小题） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 m． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 4．（24-25九年级上·广东汕头·期末）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 7．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 题型三 点与圆上一点最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 题型四 圆周角定理（共4小题） 1．（2024九年级上·辽宁·专题练习）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，、、是上的三个点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五 圆内接四边形（共6小题） 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点，，均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，等边三角形内接于，点P是上一点，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型六 点与圆的位置关系的判定（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）在矩形中，，，点为对角线，的交点，以点为圆心，为半径作，则（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点与位置关系不能确定 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内 题型七 三角形的外接圆（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，为直角三角形，，点在的延长线上，且． (1)尺规作图：作的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：直线是切线； (3)若，求的半径． 题型八 直线与圆的位置关系的判定（共5小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，与直线l的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·北京·月考）在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 3．（23-24九年级下·全国·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与 ． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 题型九 切线判定与性质综合（共8小题） 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，直线经过上的点C，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 3．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作于点E，与交于点F，的外接圆与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为点H，若，，求长． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 5．（23-24九年级上·山西朔州·期末）如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 7．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 题型十 三角形的内切圆(共5题） 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 题型十一 正多边形与圆的综合（共5题) 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 6．（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十二 弧长的计算（共4题） 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点C，并与量角器所在半圆相切于点D．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点D在量角器上对应的外圈刻度为，则的长为（   ） A． B． C．π D． 题型十三 扇形面积的计算（共4题） 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十四 圆锥的侧面积（共3题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆半径为，母线l长为，制作一个这样的烟囱帽至少需要铁皮（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 题型十五 不规则图形的阴影面积（共5题） 1．（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·月考）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，，分别以、为半径画圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共2题） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． $专题04 圆 题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点） 题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点） 题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点） 题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算 题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点） 题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点） 题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点） 题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆的基本性质（共3小题） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的弦的性质． 根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径．已知半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10． ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，点在上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用直径所对圆周角是90度得出，即可求解． 【详解】解：在中，，     在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知矩形的顶点，在半径为10的半圆上，顶点，在直径上．若，则矩形的面积是（   ） A．92 B．96 C．98 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，连接，，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：B． 题型二 垂径定理及应用（共7小题） 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长． 【详解】解：由题意可得：∵，， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 m． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用；依题意，交于，设半径为 ，则，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：依题意，交于， 设半径为，则，而， ， ，， ， 在中，有 ， 即 ， 解得， 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 4．（24-25九年级上·广东汕头·期末）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一点在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，为水面截线，为桌面截线，，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，则此时水面截线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：过O作，连接， ∴， ∵水面高度下降了， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 7．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 题型三 点与圆上一点最值问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．取的中点，得到，根据正方形的性质可得：，，证明，得到，推出，得到点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小，过作于，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小， ， 过作于， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接、，利用勾股定理得到，由切线的性质得到，得到，分析可知当线段长最小时，线段长也最小，根据垂线段最短性质可知当时，线段长有最小值，再利用三线合一和直角三角形的性质得到，即可求出线段长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的一条切线， ， ， 在中，， 当线段长最小时，线段长也最小， 当时，线段长有最小值， 由三线合一性质可得，此时点在的中点， ， ， 线段长的最小值为． 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和圆心角等知识点，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，，由轴对称性可得，则，故当、P、B三点共线时，最小，最小值为，由圆周角定理，弧和圆心角的关系可求，，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，， ∵点A与点关于对称， ∴，， ∴， 则当、P、B三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点B是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为2， ∵， ∴的周长的最小值是， 故选：A． 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了圆的直径所对的圆周角为直角、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、最短路径问题等问题，解题关键是灵活运用相关知识． 取的中点，连接、，由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当三点在同一直线上时，最短，即可求出的值． 【详解】解：如下图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当三点在同一直线上时，最短， 此时， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 题型四 圆周角定理（共4小题） 1．（2024九年级上·辽宁·专题练习）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，、、是上的三个点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角是圆周角的两倍这一性质． 先根据圆周角定理求出的度数，再利用角的计算求出的度数． 【详解】解：由圆周角定理得，， 故选：D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 题型五 圆内接四边形（共6小题） 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，先根据“圆的内接四边形对角互补”求出，再得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点，，均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，由等腰三角形得，所以，再根据圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形．如图，在优弧上取一点，连接，．利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解决问题． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接，． ， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，等边三角形内接于，点P是上一点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质及等边三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．首先根据等边三角形的性质计算出，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，再由圆内接四边形的性质得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是圆内接四边形， ∴． 故选：C． 题型六 点与圆的位置关系的判定（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，已知的半径为2，若，则点P与的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵ 的半径为2， ∴点P在内， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）在矩形中，，，点为对角线，的交点，以点为圆心，为半径作，则（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点与位置关系不能确定 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用勾股定理求出，再结合矩形的性质得到，最后根据点到圆心的距离与半径的数量关系判断到点与圆的位置关系判断，即可解题． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵以点为圆心，为半径作， ∴点在外 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图，在矩形中，，以点为圆心，4为半径作圆，下列说法中，正确的是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内 【答案】A 【分析】本题考查了点与直线的三种位置关系，根据题意确定点与圆心之间的距离是解题的关键．根据点与直线的三种位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内进行判断． 【详解】解：因为，，， 所以点在圆内； 因为在矩形中，，， 如图，连接 所以，，， 所以点在圆外； 因为，，， 所以点在圆上． 故选：A． 题型七 三角形的外接圆（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，为直角三角形，，点在的延长线上，且． (1)尺规作图：作的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：直线是切线； (3)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径为 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，切线的性质与判定，勾股定理； （1）作的垂直平分线交于点，以为半径，为圆心，作圆，即可求解； （2）连接，根据等腰三角形的性质可得，根据已知可得，进而可得，即，即可得证； （3）由（2）得，设，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求. （2）证明：如图所示，连接 ＝ ， ， ， ， 又， ， ， ， 又为半径 直线为☉的切线 （3）由（2）得 设， ， 在中，由勾股定理得 解得 的半径为． 题型八 直线与圆的位置关系的判定（共5小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，与直线l的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的几种位置关系．根据直线与圆有两个交点即可解答． 【详解】解：∵直线与圆有两个交点， ∴直线与圆的位置关系是相交． 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京·月考）在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 3．（23-24九年级下·全国·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：∵的直径等于， ∴该圆的半径是，即， ∵圆心O到直线l的距离为，即， ∴， ∴直线和圆相交， 故选：A． 4．（2025九年级下·浙江·专题练习）的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与 ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，清楚与 的大小与直线和圆的位置关系的对应关系是解题关键．根据与 的大小关系，即可判断． 【详解】∵的最大弦长为，即的直径为， ∴的半径， ∵，即， ∴直线与相离． 故答案为：相离． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，的半径为2，圆心在上，当时，与射线的位置关系为 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离，掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的关键．过点O作于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，得到，由的半径为2，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，， ， 的半径为2， 与射线的位置关系为相切， 故答案为：相切． 题型九 切线判定与性质综合（共8小题） 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． (1)求证：平分； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，直线经过上的点C，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定即可得出答案； （2）根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：， ， ， ， 在中，由勾股定理，得： ． 3．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作于点E，与交于点F，的外接圆与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为点H，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，因为是圆的半径，只需证即可得出是的切线； （2）连接，得出，接着证，最后利用勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径且E为半径的外端， ∴为的切线。 （2）连接， ∵平分，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆的半径相等的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确构造辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 5．（23-24九年级上·山西朔州·期末）如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论； （2）根据圆周角定理求得，然后利用含直角三角形的性质求得，则有，再利用含角的直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ∴， ， ，而为半径， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ∴， 即， ， ． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，折叠的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线的判定方法，含的直角三角形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）连接，得，根据折叠可得，，可证，在中，，即，根据切线定义即可求解； （2）根据题意可得，，由折叠的性质可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，设，则，运用勾股定理可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 证明：连接， ， ， 图形沿过点的直线翻折，点的对应点落在边上， ， ， ， 又在中，， ，即， 又 经过半径的外端， 与⊙O相切； （2）解：在中，， ， ∴， ∴，， ∵将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴半径为． 7．（24-25九年级上·湖北·期中）如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质和三角形中位线可证得，即可证得结论； （2）如图，作于点F，得到矩形，再通过勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线． ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， ∴， 中，． 8．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的外接圆．是的直径，过点O作于点E，延长至点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，推出，根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，最后再由垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 题型十 三角形的内切圆(共5题） 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理以及邻补角，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．由点是的内心知、，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴、， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，掌握内心的定义是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ∵点是的内心， ， 故选：B． 4．（23-24九年级上·天津河西·期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用30度直角三角形和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 题型十一 正多边形与圆的综合（共5题) 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·北京·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 5．（2025·山东聊城·三模）如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 6．（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．如图，过作于，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 圆的内接正八边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正八边形的面积为， 故选：． 题型十二 弧长的计算（共4题） 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角是，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了求弧长，求圆锥的底面半径， 先求出扇形的弧长，可得圆锥的底面周长，再根据周长公式求出半径． 【详解】解：扇形的弧长， 即圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而求出的长，可得答案．本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长公式，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 即． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是解题的关键．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故选：D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与的延长线交于点C，并与量角器所在半圆相切于点D．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点D在量角器上对应的外圈刻度为，则的长为（   ） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】连接，如图所示，，，先根据切线的性质得到，再由含的直角三角形性质得到，最后根据弧长公式计算的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ，， 与半圆相切于点， ， ， 在中，，则， ， 设，则， 由勾股定理可得， ，解得，则， 的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径、含的直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，熟记切线性质、三角函数及弧长公式是解决问题的关键． 题型十三 扇形面积的计算（共4题） 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，，， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现在从一块直径为的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩（在圆上，且），则这个扇形玉佩的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，关键是圆周角定理的应用．如图，连接，取的中点O，根据等腰直角三角形的性质得，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 在圆上，且 是的直径． , , ， ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算．根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积．即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积． 则阴影部分的面积是：， 故选：B． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键． 先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴扇形的面积为， ， 故选：B． 题型十四 圆锥的侧面积（共3题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知圆锥的底面积为，母线长为，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式（，其中为弧长，为扇形的半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用圆的面积公式求出圆锥的底面圆的半径，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设底面圆的半径为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵这个圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北·期末）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆半径为，母线l长为，制作一个这样的烟囱帽至少需要铁皮（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥求面积的实际应用，根据圆锥的侧面展开是一个扇形，而扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积等于圆锥的侧面积求出一个烟囱帽的面积即可． 【详解】解：一个圆锥的侧面积为（）， 故选：C． 3．（2024·山东东营·模拟预测）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3， ∴母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为． 故选：B． 题型十五 不规则图形的阴影面积（共5题） 1．（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆锥侧面积的计算，由题意得出，即圆锥的母线长为，由勾股定理得出底面半径为，再由圆锥侧面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的周长为48， ∴，即圆锥的母线长为， ∵该圆锥的高为8， ∴底面半径为， ∴由圆锥侧面积公式得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·月考）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，，分别以、为半径画圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，三角形的面积公式等知识点，由图中的面积关系得出“阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积”是解题的关键． 根据“阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积”直接列式计算即可． 【详解】解：由图形可知： 阴影部分的面积两个半圆面积之和三角形面积 ， 故选：． 4．（24-25九年级上·重庆·期末）两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．连接，得出为等边三角形，据此再结合扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】连接， ∵半圆与半圆的半径相等， ， ∴是等边三角形， ， ， 又， ． 故选：A． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，不规则图形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质．由等腰直角三角形的性质得，，由旋转得，，，即得，再根据计算即可求解． 【详解】解：∵等腰直角中，，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴， ∴， 故选：． 题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共2题） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 2．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． $