第二十四章圆训练2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 训练 一、单选题 1．一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，、、是上的点，且．在这个图中，仅用无刻度的直尺能准确画出的圆周角不可能是（   ） A． B． C． D． 3．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（   ） A．2 B． C． D． 5．如图，点A，B，C，D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的圆周角，，则大小是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 9．直角梯形中，，，，以为直径的切于点E，连交于点M，连交于点N，则四边形的面积为 （    ） A． B． C． D． 10．的半径是，圆心O到直线a的距离为，直线a与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 二、填空题 11．在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 12．如图，的直径，与弦交于点E，，，则图中阴影部分的周长为 ． 13．如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则 ． 14．如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ． 15．如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则 ． 三、解答题 16．如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 17．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 18．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 19．等边内接于，点L在上，点F在上，连接交于E，连接交于D，连接，． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长． 20．[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十四章 圆 训练2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B B D A C B C 1．A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，用无刻度的直尺作直径，连接，，由圆内接四边形的对角互补可得，由直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：用无刻度的直尺作直径，连接，， ， ∵是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即可以画出圆周角的度数是，，，不可能是， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 4．B 【分析】连接，根据圆周角定理，圆心角定理，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角的定理，圆心角定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，先得到，然后根据求出，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查圆周角定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质等基本知识． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 9．B 【分析】如图，连接，证明，为的切线；可得，，，过作于，证明四边形为矩形，可得，，，，求解，同理可得：，，证明四边形为矩形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，以为直径的切于点E， ∴，为的切线； ∴，， ∴， 过作于， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定，切线长定义的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线a的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交．根据，得出直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：的半径是，圆心O到直线a的距离为，且， ∴直线a与⊙O的位置关系是相离． 故选：C． 11．/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，弧长公式．根据等腰三角形的性质可以求出，根据等边对等角可以求出，从而可知，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度，则线段的长度与的长度之和是阴影的周长． 【详解】解：如下图所示，连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长是． 故答案为． 13． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 14． 【分析】连接，，，作交于点G．连接，．首先证明是等边三角形，再证明点在以为直径的圆上运动．得出当、、在同一直线时，长度最小，再求解可得结论． 【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 是中点， ， 又， 是中点， 即是斜边中线， ， 即点在以为直径的圆上运动． 所以，当、、在同一直线时，长度最小， 此时，，， 的半径是8，即，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理求出 ，由切线的性质得到，由平行线的性质即可求出答案，掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 17．(1)见解析； (2)图见解析，； (3)． 【分析】本题考查了利用中心对称变换作图，勾股定理的逆定理，求扇形面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）分别作出点A，B，C关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）分别作出的垂直平分线，交于点，则点为的外接圆，圆心M的坐标； （3）连接，由证明，再运用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图；即为的外接圆， 圆心M的坐标； （3）解：连接，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 18．（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，得到．根据等边三角形的性质得到，由此得到，再由，求出，即可证得是等边三角形． （2）连接得，结合得出，由此是等边三角形，，证明，得出即可． （3）连接，过点D作于H，交延长线于G，延长交于K，过点K作于N，于V．求出，证明得出，证明得出．利用等边对等角推出，得．根据结合三角函数求出，，由此得到，求出． 【详解】（1）证明：设． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴是等边三角形． （2）证明：连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴平分． （3）解：连接，过点D作于H，交延长线于G，延长交于K，过点K作于N，于V． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（2）知为等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵ ，∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查三角函数，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，是一道几何综合题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 20．[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$