第24章《圆》复习与小结2025-2026学年人教版数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十四章 圆 复习与小结题 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 2.下列说法正确的是（    ） A.三点确定一个圆 B.切线垂直于半径 C.长度相等的弧是等弧 D.若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 3.矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（      ）． A.点、均在圆外； B.点在圆外、点在圆内； C.点在圆内、点在圆外； D.点、均在圆内． 4.如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 5.如图所示，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是点关于所在直线的对称点，的半径为，则的长为（   ） 6.如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（    ） A. B. C. D. 7.如图，交于点，切于点，点在上．若，则为（   ） A. B. C. D. 8.已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A. B. C. D. 9.如图，是的直径，弦半径于点，为直径上一动点，若为的中点，，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 10.如图，内接于，半径，连接并延长交于点，过点作半径交于点，连接，以下结论：①；②；③；④四边形为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为       ． 12.如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是         ． 13.如图，点，，，在上，，点是弧的中点，则的度数是  ． 14.石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径_______． 15.如图，是半圆的直径，点、在半圆上，若，则的度数为______． 16.如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点时，连接，则的最大值为______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（5分）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 18.（6分）如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断点位置，求弧的长度． 19.（7分）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 20.(7分) 如图，在中，． 求证：（1）； （2） ． （3） 21.(8分) 如图，是的直径，点、均在上，，弦． （1）求的直径． （2）求的长． 22.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______． （2）这个圆的半径为_______． （3）直接判断点与的位置关系，点在_______填“内”“外”或“上”． （4）在网格中过点作的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标． 23.(9分) 如图，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 24.(10分) 如图，在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25.(12分) 如图，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 （1）求证：与相切 （2）如图，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十四章 圆 复习与小结题 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 【答案】C 【解析】本题考查圆与正多边形，根据正边形的中心角为计算即可． 【解答】解：设这个正多边形的边数为，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． 这个多边形是正五边形． 故答案为：．  2.下列说法正确的是（    ） A.三点确定一个圆 B.切线垂直于半径 C.长度相等的弧是等弧 D.若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 【答案】D 【解析】本题考查圆的基本概念，包括确定圆的条件、切线的性质、等弧的定义以及直线与圆的位置关系．根据以上知识逐项判断． 【解答】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故 错误； 切线垂直于经过切点的半径，而非任意半径，故错误； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故 错误； 直线与圆有公共点时，位置关系为相交或相切，故 正确． 故选：． 3.矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（      ）． A.点、均在圆外； B.点在圆外、点在圆内； C.点在圆内、点在圆外； D.点、均在圆内． 【答案】C 【解析】此题暂无解析 【解答】，点在边上，且， 根据勾股定理得出，， ， ， 点在圆内、点在圆外,故选． 4.如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等，然后即可求解； 【解答】解：， ； 故选：； 5.如图所示，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是点关于所在直线的对称点，的半径为，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【解答】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点是的中点， ， ， 点是点关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：． 6.如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查圆中扇形面积计算，弧长的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆中阴影面积的常见计算方法是解题的关键．连接，，，设半圆的半径为，先证明和是等边三角形．得出，可得，则， 则，即可求出，再利用弧长公式求解即可． 【解答】解：如图，连接，，，设半圆的半径为， ，是以为直径的半圆上的三等分点， ， ， ， 和是等边三角形． ， ， ， ， ， （负值舍）， 的长度为， 故选：． 7.如图，交于点，切于点，点在上．若，则为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【解答】解：切于点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8.已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【解答】 解：连接，过点作于，如图所示： 为直径， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 或， 或（此时不合题意，舍去）． 故选 9.如图，是的直径，弦半径于点，为直径上一动点，若为的中点，，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，过点作，并延长，交于点，则有当点与点重合时，有最小值，进而问题可求解． 【解答】解：， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 过点作，并延长，交于点，如图所示： ， 点与点关于对称， ， ， 点、、三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点与点重合时，如图，即最小值为， ， 即的最小值为； 故选． 10.如图，内接于，半径，连接并延长交于点，过点作半径交于点，连接，以下结论：①；②；③；④四边形为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【解答】 令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， 故四边形为菱形，选项④正确； 四边形为菱形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，②正确； ，③错误； 综上，①②④正确． 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为       ． 【答案】 【解析】根据扇形面积公式，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解． 【解答】解：扇形的圆心角为，扇形的面积为，， 解得（负值舍去）， 扇形的弧长． 故答案为：． 12.如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是    67.5     ． 【答案】 【解析】先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【解答】解：八边形为正八边形，， 正八边形的对角线、， ， 又由题意得， ， ． 13.如图，点，，，在上，，点是弧的中点，则的度数是     ． 【答案】度 【解析】 根据点是弧的中点，可得，再由圆周角定理，即可求解． 【解答】解：点是弧的中点，， ， ， ， ， ． 故答案为： 14.石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径_____10_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为，则，根据 得到，中根据，解得． 【解答】设圆弧形桥拱所在圆的半径为， 则， ，， ， ， 在中，， ， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是米． 故答案为：10 15.如图，是半圆的直径，点、在半圆上，若，则的度数为________． 【答案】度 【解析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， 是半圆的直径， ， ， 故答案为：． 16.如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点时，连接，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得 ，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【解答】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（5分）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解答 【解析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交于点，，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【解答】解：如图，任意作一条直径，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别交于点，，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 18.（6分）如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断点位置，求弧的长度． 【答案】，详见解答 【解析】本题考查了作图−基本作图，弧长公式等知识点，由作图可知，点在角的角平分线与弧的交点上，再根据弧长公式求解即可，熟记弧长公式是解题的关键． 【解答】由作图可知，点在角的角平分线与弧的交点上， ∴ ， ∴ 弧的长． 19.（7分）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 【答案】，． 【解析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解． 【解答】解：连接，如图， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， ． 20.(7分) 如图，在中，． 求证：（1）； （2） ． （3） 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【解答】（1）解：证明：， ，即， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 21.(8分) 如图，是的直径，点、均在上，，弦． （1）求的直径． （2）求的长． 【答案】的直径为． 【解析】（1）根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半即可求出 （2）连接,先算出,再利用弧长公式计算即可. 【解答】（1）解：是的直径， ． 同弧所对的圆周角相等， ． ， ＝ 的直径为． （2）连结，则． 的长为．   22.(8分) 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_______． （2）这个圆的半径为_______． （3）直接判断点与的位置关系，点在___外____填“内”“外”或“上”． （4）在网格中过点作的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标． 【答案】 外 ，，， 【解析】（1）作出线段，的垂直平分线的交点，根据点的位置写出坐标即可； （2）根据勾股定理求出半径即可； （3）求出的长与半径比较即可得出结论； （4）作出圆的切线即可判断出经过平面内的点． 【解答】（1）解：如图，圆心的坐标， 故答案为：； （2）解：的半径为， 故答案为：； （3）解：, 因此，点在外； 故答案为：外； （4）解：如图，为过点的的切线，过点，，，． 23.(9分) 如图，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】的度数为； 的长为． 【解析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【解答】（1）解：， 的度数为． （2）解：正六边形，是它的外接圆， 中心角， 劣弧的长为， ， 解得：， ，， 是等边三角形， ， 又， ， ， 的长为． 24.(10分) 如图，在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】 证明见解析 【解析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【解答】（1）解：证明：如图，连接， 为的直径， 为的斜边上的中线， 是的半径， 为的切线； （2）解：为的斜边上的中线， ． 25.(12分) 如图，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 （1）求证：与相切 （2）如图，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【答案】见解答 【解析】（1）过点作于点，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可； （2）设的半径为，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解． 【解答】（1）解：证明∶过点作于点， 与相切， ， 平分， ， 为半径， 与相切； （2）解∶设的半径为，则， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 与相切，与相切， ，，， ，， ， ，解得：或， 当时，，当时，， ， ， ， ，即， ， ，即， 弧、线段和组成的图形面积 ． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $