精品解析：广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学四校2026届高三上学期第一次联考数学试题

金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学 2026届高三年级第一次联考 数学 命题人：中山一中 鲁涛 审题人：中山一中 贺强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先分别求出集合与集合，再根据确定实数的取值范围，进而分析各选项. 【详解】集合，解得，集合，解得， 说明集合中的元素都属于集合，即. 故选：B 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再考虑特殊点代入检验，即得. 【详解】依题意得，函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，排除B,D两项， 又，排除C项，所以只有A选项符合. 故选:A． 3. 已知，且，则在的展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正态分布的对称性求出，在利用二项式定理求的系数. 【详解】因为，且， 则，得， 则，其含的项为， 即的系数为. 故选：B. 4. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解. 【详解】如图，延长，连接， 则， 所以， 又O为的中点， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍， 则， 所以，即. 故选：A 5. 我们初中所学的反比例函数图像其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数是等轴双曲线，结合实轴长，就可以求出焦距. 【详解】作出和的图象，它们的交点分别为， 由和联立方程组解得：或， 即交点，所以 根据双曲线的意义，可知实轴长，即， 又由双曲线的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所以这是等轴双曲线， 即，所以， 即双曲线的焦距为， 故选：C. 6. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将“”转化成，得到点的坐标与实数的关系，即. 根据的几何意义求得其取值范围，可得到的取值范围. 【详解】设点，则，. 若满足，则，即，即，所以. 令，则表示点到坐标原点的距离. 如图，当线段过圆心时，最大，最大值为. 所以的取值范围是. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】与分别平方相加，得到答案. 【详解】两边平方得①， 又，故，两边平方得 ②， 式子①+②得，， 故，故. 故选：C 8. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 10. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正四面体的结构特征，求出，再结合线面垂直、球的体积公式判断各选项即可. 【详解】在棱长为1的正四面体中，平面，连接， 则，,， ，同理， 对于A，，则，A正确； 对于B，由选项A知，，若，而平面， 则平面，又平面，于是，， 而，即，因此不垂直，B错误； 对于C，由选项A知，两两垂直，则有平面， 因此点到平面的距离为，C正确； 对于D，三棱锥的外接球与以为棱的正方体外接球相同， 则该球的直径为，半径为，体积为，D错误. 故选：AC 11. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ） A. ，函数都为“旋转函数” B. 若函数为“旋转函数”，则 C. 若函数为“旋转函数”，则 D. 当或时，函数不是“旋转函数” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，举例说明即可；对BCD，设将旋转后得出方程，则只需与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可. 【详解】对A：当旋转时与轴重合，此时个对应多个值，故A错误； 对B：将旋转后所得直线为，则只需与原函数仅有一个交点； 令，，当时，只有一个零点，所以，即，故B正确； 对C：令，当在定义域内仅有唯一解时，即， 当时，仅有一个解，故满足题意； 当时，的判别式， 对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意；故，故C正确； 对D：若是“旋转函数”，当仅有唯一解时，即，令， ，令，则 当时，方程为，得，仅有唯一解，符合题意； 当时，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为时，，，所以可得先减后增，不符合题意； 当时，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值也是最大值，即，则； 综上得存在时，是“旋转函数”，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13. 在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向时、线段在的内部时的面积，即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可得： ，即， 在中，由余弦定理可得： ，即， 当与反向时，； 当线段在的内部时，即如图所示的位置时，， 所以的面积为或. 故答案为：或. 14. 已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，利用二倍角公式将方程转换为，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解. 【详解】由已知得， 由成等比数列，且成公比为2的等比数列， 得，所以， 所以， 令，得到，恰好有两个根， 而满足的的值有，满足的的值之和为， 故所有满足条件的的和为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是首先得到，进一步通过换元即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在等腰梯形中，，则，，由为中点， ，得，则四边形为平行四边形，， ，又，则为等边三角形，即为等边三角形， 取中点，连接，于是， AI    由，，得为正三角形，， 则，又，于是，即， 而，且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得均为正三角形，取中点，利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面角的向量求法求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量是，则，取，得， 设平面的法向量是，则，取，得， 则， 所以平面和面夹角的余弦值为. 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义及对称性列式求出即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求解最值，即可求得直线方程. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 于是，由离心率为，得，而，因此，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设， 则，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的方程为或． 17. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】（1） （2）（ⅰ），；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 依题意可得抽到的个数字互不相同的概率； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 且（且）， 所以 ， 依题意的可能取值为，，， 且（且）， 所以 ； （ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为， 则，，，为期望（平均数）为， 所以， 消去得， 整理得，解得（负值已舍去）， 又，，所以. 18. 已知等差数列与递增等比数列满足：，，. （1）求和通项公式； （2）保持数列的各项顺序不变，在与之间插入个，使它们与数列的项组成一个新数列，记数列的前项和为，求； （3）记（其中），证明：. 【答案】（1），. （2）300 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题可得，据此可得答案； （2）设在数列的前100项中，来自的有项，分与两种情况讨论，可得数列前100项包含，，，，及95个3，据此可得答案； （3）设，由题意及错位相减法，可得；设，由裂项相消法可得.据此可完成证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得，或，， 因为等比数列递增，，所以，所以， 所以，. 【小问2详解】 设在数列的前100项中，来自的有项，若， 则应有，整理可得， 注意到函数在上单调递增，，， ，因，则无整数解，不满足题意. 若，则应有， 由以上分析，可得. 又在上单调递增，，. 则当时，满足题意. 即数列前100项包含，，，，及95个3， 所以. 【小问3详解】 当时，， 设， 则，. 从而， 得，即； 当时，. 设， 则. 所以，即. 19. 已知函数． （1）是否存在实数a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由； （2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）存在， （2） ①因为，令，即得， 由题意知的两个零点是， 即，则，则， 要证，即证，即， 即证，即， 由于，故， 即证，即， 令，设，则恒成立， 即在上单调递增，且， 故，即成立， 故； ②由于，令， 则，令， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 函数有两个不同的零点，即的两个零点是， 则，由于，故， 函数在处的切线方程分别为， 且在内，在内， 先证：，即，即， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 再证：，即， 令，则恒成立， 即在单调递减，则， 令，则可设；令，则， 则可得，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值范围，并判断导数正负，即可得答案； （2）①由题意得，从而，可得，从而要证，需证，进而构造函数，利用导数进行证明； ②利用构造函数，判断出，，进而先证明，再证，从而令，则可设；令，则，则可得，结合不等式知识即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知，则， 当时，，在上单调递增，没有最小值； 当时，令，则（负值舍）， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取最小值， 即，解得， 故存在实数使得在上有唯一最小值； 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，涉及到单调性、极值以及不等式证明，难度较大，解答的难点在于（2）中不等式证明，要结合不等式特征，构造恰当的函数，利用导数进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学 2026届高三年级第一次联考 数学 命题人：中山一中 鲁涛 审题人：中山一中 贺强 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则在的展开式中，的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 我们初中所学的反比例函数图像其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球体积为 11. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ） A. ，函数都为“旋转函数” B. 若函数为“旋转函数”，则 C. 若函数为“旋转函数”，则 D. 当或时，函数不是“旋转函数” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 13. 在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，.若，，则的面积______. 14. 已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四边形为等腰梯形，且，，.E为CD中点，将沿BE 翻折到，使 （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 17. 现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. （1）若，求抽到的4个数字互不相同的概率； （2）统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 18. 已知等差数列与递增等比数列满足：，，. （1）求和通项公式； （2）保持数列的各项顺序不变，在与之间插入个，使它们与数列的项组成一个新数列，记数列的前项和为，求； （3）记（其中），证明：. 19. 已知函数． （1）是否存在实数a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由； （2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是． ①求证：； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $