拓展专题 轻松破解嵌套函数的零点问题（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

拓展专题 轻松破解嵌套函数的零点问题 题型一：a[f(x)]2＋bf(x)＋c型 1 题型二：f(f(x))型 9 题型三：f(g(x))型的处理策略 22 【方法指导】 函数的零点问题是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或求参数范围，常考查二次函数与复合函数相关的零点问题，与函数的图象、性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”， 再将复合函数拆解为两个相对简单的函数，最后借助函数的图象、性质求解. 题型一：a[f(x)]2＋bf(x)＋c型 a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的处理策略 1.先作出函数f(x)的图象. 2.对a[f(x)]2＋bf(x)＋c进行换元解套. 3.数形结合解决问题. 1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A．是奇函数 B． C．若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D．若存在，使成立，则 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，若关于的方程有5个不同的解，则的取值范围为 . 8．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是 . 题型二：f(f(x))型 f(f(x))型的处理策略 1.换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点. 2.依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 9．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 10．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 12．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 15．(多选)（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则函数的零点个数为 ． 17．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为 ． 18．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 19．（25-26高三上·河南·月考）设函数，则关于的方程根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 ． 题型三：f(g(x))型的处理策略 f(g(x))型的处理策略 1.换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点. 2.依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 20．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 22．(多选)（25-26高一上·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 23．(多选)（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数、的定义域均为，其图象如图所示，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．在单调递减 D．关于的方程在有三个解 24．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 . 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题 轻松破解嵌套函数的零点问题 题型一：a[f(x)]2＋bf(x)＋c型 1 题型二：f(f(x))型 9 题型三：f(g(x))型的处理策略 22 【方法指导】 函数的零点问题是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或求参数范围，常考查二次函数与复合函数相关的零点问题，与函数的图象、性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”， 再将复合函数拆解为两个相对简单的函数，最后借助函数的图象、性质求解. 题型一：a[f(x)]2＋bf(x)＋c型 a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的处理策略 1.先作出函数f(x)的图象. 2.对a[f(x)]2＋bf(x)＋c进行换元解套. 3.数形结合解决问题. 1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解， 所以 故选：D 3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为. 所以或. 当时，，此时方程无解； 当时，. 因为为偶函数，所以有两解，分别为和. 又方程恰有4 个不同的实根， 所以也有两个不同于和的两根. 作出函数的草图如下：    要使有两个不同于和的两根，则或且. 故选：D 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 5．（多选）（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意有，得或，由解得，即有3个不等的实根，作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由，所以，所以或， 由有，，解得，即，故A正确； 所以有3个不等的实根， 作出的函数图像： 由图可知：，故B正确；，故C正确；由， ，所以， 由，所以，故D错误， 故选：ABC. 6．(多选)（25-26高一上·河北邢台·月考）已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A．是奇函数 B． C．若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D．若存在，使成立，则 【答案】ABD 【分析】A. 利用函数奇偶性的定义判断；B.直接计算验证；C.转化为有一个解，利用数形结合法求解；D.由 在上是增函数，转化为有解求解判断. 【详解】， 令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 方程，即为，作出函数，的图象，如图所示： 由题意知：或，解得或，故C错误； 在上是增函数，则等价于， 令，令， 则， 因为存在，使得成立，所以，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，若关于的方程有5个不同的解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，关于的方程有5个不同的解，令，则有两个根，设为，且，分类讨论即可求解. 【详解】的图象： 令，则由图可知：当时， 无解； 当时，有一根； 当时，有两个根； 当时，有三根； 当时，有两个根； 当时，有一根； 若关于的方程有5个不同的解，则 有两个根，设为，则，或 当时，，此时化为，不满足题意，舍去； 当时，，此时化为解得，不满足题意舍去； 当时，令，则 即，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一上·山西太原·期末）已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数，以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    令， 因为恰有7个零点， 所以有个不同的根， 令，不妨设， 当时，， 则，此时无解； 当时，， 则或 解得或， 综上，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象，将问题转化为图象交点个数即可求解. 题型二：f(f(x))型 f(f(x))型的处理策略 1.换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点. 2.依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 9．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 10．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知函数，若函数有7个零点，则可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据解析式，作出图象，根据有7个零点，可得与的图象有7个交点，分别讨论、、、和，5种不同的情况，根据图象交点个数，分析判断，可得a的范围，即可得答案. 【详解】当时，单调递减， 当时，单调递减，当时，单调递增， 作出图象，如图所示    因为函数有7个零点，所以有7个根， 即与的图象有7个交点， 令，则， 当时，与的图象只有一个交点，此时，    因为，所以与图象只有一个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，且为-1和2， 则和与图象共有4个交点，不符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为，    则， 此时与共有7个交点，符合题意；    当时，与的图象有3个交点，设为， 则， 此时与共有6个交点，不符合题意；    当时，与的图象有2个交点，设为， 则， 若时，此时与共有4个交点，不符合题意， 若时，此时与共有3个交点，不符合题意，参考上图， 综上，a的取值范围是，则可以为2. 故选：A 11．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】通过和都是奇函数，交点横坐标和为0，即可求解. 【详解】，定义域为， ， 所以为奇函数， 令，由题意定义域为， ， 所以为奇函数， 又也是奇函数， 所以方程的所有实数根，即为函数和图象交点的横坐标， 因为为奇函数，也是奇函数， 所以函数和图象交点的横坐标的和为0， 即方程的所有实数根之和为0， 故选：C 12．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 13．（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 14．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】设，先解出，再分别求解即可. 【详解】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 15．(多选)（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 【答案】BC 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 16．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】3 【分析】先根据的分段函数和对应的定义域，求出的解析式和对应的定义域，然后分别讨论不同定义域下其函数的零点个数即可. 【详解】因为， 所以①当时，，此时， 因为，当，即时，， 当时，时，， 即. ②当时，，此时. 因为，当时，即时，； 当时，即时，； 即. 综上，. 时，令，解得，此时有一个零点； 时，，此时无零点； 时，令，解得，此时有一个零点； 时，令，解得，此时有一个零点. 所以共有3个零点. 故答案为：3. 17．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】 【分析】计算可得，令，求解，可得的所有可能取值，再分类讨论，求出所有符合要求的的值即可得. 【详解】， 令，则令， 则当时，则，解得， 由，故舍去，故； 当时，，解得或； 即有三解，分别为、与； 而， 由时，， 则当时，与无解， 由时，， 则当时，无解； 当，令，即，解得或； 当时，令，即，解得； 令，即，解得， 由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、. 故答案为：. 18．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当，时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下：      令函数，，解得或， 即或， 根据图象有2个解，有1个解， 因此此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图像如下：    令函数，，解得或或， 根据图象，有3个解，有2个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 19．（25-26高三上·河南·月考）设函数，则关于的方程根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解. 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像： 由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 又因为时，，所以，且当时，， 又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以，所以. 故答案为：. 题型三：f(g(x))型的处理策略 f(g(x))型的处理策略 1.换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点. 2.依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 20．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 22．(多选)（25-26高一上·广东深圳·期中）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【分析】由函数图象得到方程和的解，由函数的极大值和极小值得到方程及的解个数，从而判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 23．(多选)（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数、的定义域均为，其图象如图所示，则（   ） A．为奇函数 B．在单调递增 C．在单调递减 D．关于的方程在有三个解 【答案】AB 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的性质可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】由图可知，函数为奇函数，为偶函数， 对于A选项，对任意的，，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，由图可知，函数在上为增函数，函数在上为减函数， 所以函数在上为增函数，故函数在单调递增，B对； 对于C选项，令，，由图可知，， 当时，，因为内层函数在时单调递增， 外层函数在时单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 当时，，内层函数在时单调递减， 外层函数在上不单调， 由复合函数法可知，函数在上不单调，C错； 对于D选项，令，结合函数的图象可知或、， 其中，， 由函数的图象可知，方程在时有两个解， 方程在时无解，方程在时无解， 综上所述，关于的方程在上有两个解，D错. 故选：AB. 24．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】 由题可得函数图象， 当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解， 设为，则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，显然， 则此时应满足，即，解得， 有3个解，有3个解，设即， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $