数学一模提分卷04（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C C C D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．、 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1由正弦定理， …………………………2分 可得， …………………………5分 （2）第一步：利用基本不等式与余弦定理求的取值范围 ，， …………………………6分 由余弦定理可得， …………………………8分 ， …………………………9分 第二步：利用同角三角函数的基本关系求sinC的取值范 ， ， …………………………11分 第三步：根据三角形的面积公式求面积的最大值 ， ………………………12分 当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值 …………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （2）第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 17．(本小题满分15分） 【解】（1）第一步：作于点，得出 过作于点，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， ………………2分    第二步：证明平面，得出 在四棱柱中，平面，即平面，而平面， 于是，又平面，则平面， 又平面，则， …………………………4分 第三步：利用三角形的边角关系计算体积 在底面四边形中，，即， 又，则，即，且， ………………………6分 又有，则在等腰直角中，， 即，又，则， ，又， 所以. …………………………8分 （2）第一步：建立空间直角坐标系 由四棱柱中，平面， 以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    第二步：写出相关点的坐标 设，则，， ， …………………………10分 第三步：求平面的法向量 在平面中，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， …………………………12分 第四步：直线与平面所成角等于列式求 则， ………………………14分 即，整理得，而解得， 所以. …………………………15分 18．(本小题满分17分） 【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. …………………………………………2分 第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，， …………………………………………4分 第三步：求出 所以. …………………………………………6分 （2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. …………………………………………9分 第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. …………………………………………12分 第三步：用，分别表示出， 于是， 同理可得，. …………………………………………15分 第四步：利用证明结论 因为，所以 整理得，，而，所以. ………………………………………17分 19．(本小题满分17分） 【解】（1）第一步：写出与的关系式 当时，，依题意，①，②， ……………………2分 第二步：求出 两式作差，，则或， 若，代入①式解得，或，而，于是； 若，将代入②式解得，. 因此必有. …………………………………………4分 第三步：求出的通项公式 注意到，，从而由归纳即知是常数列. 所以的通项公式为. …………………………………………5分 （2）第一步：假设连续三项构成等比数列，得 假设，，构成等比数列，则. 那么由，可知. ……………………7分 第二步：得到矛盾，从而得结论 又，则，解得，与矛盾. 所以中不存在连续的三项构成等比数列. …………………………………………9分 （3）第二步：证明 由于当时，有，，即. 而，，故归纳即知对任意正整数都有. …………………………12分 第二步：判断数列的单调性 又由及可知，故数列单调递减. …………………………14分 第三步：利用放缩法证明不等式 又由于，故 . …………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A D B C B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ……… ………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ___________ ___________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（    ） 附：若，则，，． A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C． D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（　　） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的横坐标x0的取值范围为 D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 ． 13．若圆与椭圆外切，则 ． 14．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）在中，角所对的边分别为． (1)若，求的值； (2)求面积的最大值． 16．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 17．(本小题满分15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.    (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 18．(本小题满分17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. (1)当时，若满足对，有，求的通项公式； (2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若，，记，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，故选B 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得， 所以.故选：B 3．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 【答案】C 【解析】（方法一）由，，得． 由，得，即，解得．故选：C． （方法二）由，得，即， 将代入得，，解得．故选：C． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，解得， 所以，故选：C 5．已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方形与正三角形的边长为2，则圆柱的体积为， 圆锥的体积为，所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为.故选：C 6．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为.故选：D. 7．已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期， 所以，且，结合，可得，所以． 作出函数与函数的图象，如下图所示， 可知函数的图象与函数的图象有个交点，故选：D．    8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故，故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（    ） 附：若，则，，． A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C． D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 【答案】BC 【解析】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布， 可得数据的期望是，方差是 ，标准差是，所以A错误； 由，可得， 所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确； 由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确； 由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选BC. 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增， 且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误故选：ACD 11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（　　） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的横坐标x0的取值范围为 D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点 【答案】BCD 【解析】因为曲线，点为曲线C上一点， 所以. 将点代入曲线C的方程左端中，可得：. 因为不一定成立， 所以曲线C不关于y轴对称，故选项A错误； 将点代入曲线C的方程中，可得：， 所以曲线C关于原点对称，故选项B正确； 由曲线，整理得：. 因为，所以，解得：，故选项C正确； 联立，消去y并整理得：， 此时， 所以直线与曲线C有且仅有两个公共点，故选项D正确．故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 ． 【答案】、 【解析】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为. 13．若圆与椭圆外切，则 ． 【答案】 【解析】圆的圆心，半径为1， 椭圆的左、右顶点分别为，， 由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点， 因此或，所以. 14．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为 . 【答案】/ 【解析】设组出男生为事件，组出女生为事件， 组出男生为事件，组出男生为事件， 根据已知条件有：，， ，； 两组各自出哪个人相互独立，设交换后组中男生的人数为， 则的可能取值为，，； ， ， ； 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）在中，角所对的边分别为． (1)若，求的值； (2)求面积的最大值． 【解】（1由正弦定理， …………………………2分 可得， …………………………5分 （2）第一步：利用基本不等式与余弦定理求的取值范围 ，， …………………………6分 由余弦定理可得， …………………………8分 ， …………………………9分 第二步：利用同角三角函数的基本关系求sinC的取值范 ， ， …………………………11分 第三步：根据三角形的面积公式求面积的最大值 ， ………………………12分 当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值 …………………………13分 16．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 【解】（1）第一步：求导，判断导函数的单调性，求出导函数的零点 （）（）， 令，则， …………………………………………1分 第二步：求时函数的最值 当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以， …………………………………………3分 第三步：求时函数的最值 当时，，则当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以， 而，.所以………………………………………6分 第四步：总结 综上所述，当时，，； 当时，所以，. ………………………………………7分 （2）第一步：放缩，将问题转化为证明 因为，，所以，欲证，只需证明，…………8分 第二步：构造函数，求导 设，（），，……………………………………9分 第三步：构造函数，确定的零点 令，易知在上单调递增， 而，， 所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得， 即， …………………………………………11分 第四步：判断函数的单调性，求出的最值 因此，， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增；……………………13分 所以 第五步：得出结论 所以，因此. …………………………………………15分 17．(本小题满分15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.    (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 【解】（1）第一步：作于点，得出 过作于点，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， ………………2分    第二步：证明平面，得出 在四棱柱中，平面，即平面，而平面， 于是，又平面，则平面， 又平面，则， …………………………4分 第三步：利用三角形的边角关系计算体积 在底面四边形中，，即， 又，则，即，且， ………………………6分 又有，则在等腰直角中，， 即，又，则， ，又， 所以. …………………………8分 （2）第一步：建立空间直角坐标系 由四棱柱中，平面， 以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    第二步：写出相关点的坐标 设，则，， ， …………………………10分 第三步：求平面的法向量 在平面中，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， …………………………12分 第四步：直线与平面所成角等于列式求 则， ………………………14分 即，整理得，而解得， 所以. …………………………15分 18．(本小题满分17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【解】（1）第一步：设点的坐标，并表示出两直线的斜率 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. …………………………………………2分 第二步：将点的坐标代入双曲线方程，并作差 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，， …………………………………………4分 第三步：求出 所以. …………………………………………6分 （2）第一步：设直线的方程及点的坐标，表示出和 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. …………………………………………9分 第二步：联立方程，消去，写出根与系数的关系 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. …………………………………………12分 第三步：用，分别表示出， 于是， 同理可得，. …………………………………………15分 第四步：利用证明结论 因为，所以 整理得，，而，所以. ………………………………………17分 19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. (1)当时，若满足对，有，求的通项公式； (2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若，，记，证明：. 【解】（1）第一步：写出与的关系式 当时，，依题意，①，②， ……………………2分 第二步：求出 两式作差，，则或， 若，代入①式解得，或，而，于是； 若，将代入②式解得，. 因此必有. …………………………………………4分 第三步：求出的通项公式 注意到，，从而由归纳即知是常数列. 所以的通项公式为. …………………………………………5分 （2）第一步：假设连续三项构成等比数列，得 假设，，构成等比数列，则. 那么由，可知. ……………………7分 第二步：得到矛盾，从而得结论 又，则，解得，与矛盾. 所以中不存在连续的三项构成等比数列. …………………………………………9分 （3）第二步：证明 由于当时，有，，即. 而，，故归纳即知对任意正整数都有. …………………………12分 第二步：判断数列的单调性 又由及可知，故数列单调递减. …………………………14分 第三步：利用放缩法证明不等式 又由于，故 . …………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 4．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（    ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（    ） 附：若，则，，． A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C． D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（　　） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的横坐标x0的取值范围为 D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 ． 13．若圆与椭圆外切，则 ． 14．某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分）在中，角所对的边分别为． (1)若，求的值； (2)求面积的最大值． 16．（本小题满分15分）已知函数（）. (1)求在区间上的最大值与最小值； (2)当时，求证：. 17．(本小题满分15分）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.    (1)若平面平面，求三棱锥的体积； (2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值. 18．(本小题满分17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. (1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； (2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 19．(本小题满分17分）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中. (1)当时，若满足对，有，求的通项公式； (2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若，，记，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $