精品解析：广东省江门市棠下中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

江门市棠下中学2025-2026学年第一学期高一12月份考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，函数的定义域为，则为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：要使有意义，需满足，即，故，故选D． 考点：集合的运算． 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】∵，∴，∴； 又∵，当时，， ∴是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数在上单调递增，，的零点所在区间为，故选C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 5. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 已知的最大值是 B. 的最大值为5 C. 已知的最小值为3 D. 的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以的最大值为，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故D错误； 故选：D. 6. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性可知在上单调递增且大于恒成立，即可得到，解得即可. 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 7. 某灭菌剂每喷洒一次就能除去某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒的次数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】假设喷洒次数为，根据题意得出，再结合题干求解. 【详解】设喷洒次数为，喷洒一次细菌的剩余量为原来，要使该物质上的细菌少于原来的， 则，不等式两侧均大于零，对不等式两侧同取以10为底的对数可得， 即，整理得，因为，所以， 又，所以. 故选：D. 8. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据实数和的大小关系进行分类讨论，再解不等式，即可判断. 【详解】当时，的解集为，故B正确； 当时，的解集为，故C正确； 当时，的解集为，故A正确； 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是 B. 若定义在[1，2]上的函数满足，则为增函数 C. 函数的定义域为，则 D. 已知函数，则值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，令方程等于0，即可求得零点；B选项，由函数单调性的定义即可判断；C选项，根据函数有意义的条件，分母不为0，对参数进行分类讨论；D选项，由分段函数的定义即可求解. 【详解】A选项，令，解得，所以函数的零点是，故A选项正确； B选项，根据增函数的定义可知，若定义在[1，2]上的函数满足，则不一定为增函数，故B选项错误； C选项，函数的定义域为，，当时，符合题意，当时，，解得，综上，，故C选项错误； D选项，， ，故D选项正确； 故选：AD. 11. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 若函数的值域为，则的取值范围为 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 D. 是非奇非偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义域值域，结合函数的奇偶性性质然后逐项判断. 【详解】选项A，若函数，则在处没有意义，故两者没有公共点，故A错误； 选项B，因为函数的值域为，设函数， 所以函数可以取遍所以大于0的数，故有， 解得：，故B正确； 选项C，当时，， 当时，，， 因为函数是奇函数，所以，故C正确； 选项D，函数的定义域，解得：且，定义域关于原点对称， 则， 所以，故函数为奇函数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简即可求解． 【详解】 ． 故答案为：1． 13. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性建立方程组，求出解析式，进而求出的值. 【详解】由题意知，，. 因为①， 则，即②， 由①②联立解得，. 所以. 故答案为：9 14. 已知，若，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】对进行换元，得，再根据基本不等式求解的取值. 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 所以； 【小问2详解】 由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 16. 已知关于x的不等式 的解集为或. （1）求a， b的值; （2）当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a是方程的两个实数根且，从而利用韦达定理建立方程组即可求解； （2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得，从而解一元二次不等式即可得答案. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或（）， 所以1和a是方程的两个实数根且， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 依题意有，即， 所以，解得， 所以k的取值范围为. 17. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由： （2）判断在上的单调性，并证明你的判断． 【答案】（1）为偶函数，证明如下： 由题意得，解得， 所以函数的定义域为，所以，， 又因为，所以为偶函数. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， ， 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，根据偶函数的判定方法即可判断； （2）根据单调性的证明方法即可判断. 【小问1详解】 函数为偶函数，理由略； 【小问2详解】 函数在上单调递减，证明略. 18. 为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） （1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可． 【小问1详解】 依题意， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 若，， 当时，， 若，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，又， 故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； （2）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 由得，当时，， 化简得，可知，方程无实数根，即不存在实数x，满足， 所以函数不是“局部反比例对称函数”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，列出方程，根据一元二次方程判别式，判断是否有解； （2）根据题意，列出方程，根据方程在给定范围内有解，对参数进行讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 等价于方程在上有解， 化简得， 令，因为，有基本不等式得，即. 则原方程换元得，化简得， 设，可知函数对称轴为，开口向上， 当时，由得，解得； 当时，由得，解得， 综上所述，当时，方程在上有解， 即方程在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市棠下中学2025-2026学年第一学期高一12月份考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，函数的定义域为，则为 A. B. C. D. 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数零点存在的区间为 A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数的最值中错误的是（ ） A. 已知的最大值是 B. 的最大值为5 C. 已知的最小值为3 D. 的最小值为2 6. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 某灭菌剂每喷洒一次就能除去某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒的次数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为常数，则关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点是 B. 若定义在[1，2]上的函数满足，则为增函数 C. 函数的定义域为，则 D. 已知函数，则值为 11. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 若函数的值域为，则的取值范围为 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 D. 是非奇非偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：___________． 13. 已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 14. 已知，若，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知关于x的不等式 的解集为或. （1）求a， b的值; （2）当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 17. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由： （2）判断在上的单调性，并证明你的判断． 18. 为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本） （1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； （2）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $