精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年高二上学期12月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 2. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直的斜率关系和点斜式方程即可求解. 【详解】线段的中点为， 的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式即， 故选：B. 3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为：， 根据圆的标准方程知圆心坐标为， 故选：C． 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 5. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解. 【详解】 故选：B 6. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述：. 故选：A. 7. 已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，结合图象求得直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以 ，而， 当直线PC⊥l时，最小，此时最小. 结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即. 故选：A 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 9. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 10. 已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，直接说明即可；对于②，直接用数学归纳法即可证明；对于③，用数学归纳法证明，对于④，根据数列单调递减的定义结合③的结论即可证明. 【详解】对于①，当时，，故①错误； 对于②，当时，有，这意味着只要就有，而，从而由数学归纳法即可证明，故②正确； 对于③，当时，下面用数学归纳法证明，当时，由知结论成立；假设当时结论成立，即， 则由可知，所以， 展开即，即， 同时，由可得， 即时，结论成立，所以对于任意正整数，都有，故③正确； 对于④，当时，， 所以是递减数列，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④. 故选：B 第二部分 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 点到直线距离的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为. 【详解】解：直线恒过点， 则点到直线的距离的最大值为点到点的距离， ∴点到直线距离的最大值为： . 故答案为：. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的关系作差即可求解； 【详解】由， 可得：， 两式相减可得：， 当时，，不满足上式， 所以， 故答案为： 13. 若双曲线的离心率为，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则__；__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过抛物线的焦点坐标，即可求解，利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解的面积． 【详解】解：抛物线的焦点为， 所以，所以p=2； 如图所示， 过点作，交直线于点，由抛物线的定义知，， 且， 所以，， 所以， 所以直线的斜率为； 设直线的方程为，点，， 由，消去整理得, 所以, 所以， 所以， 所以的面积为. 故答案为：；． 15. 曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上的任意两点间的距离不超过4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2． 其中正确的结论序号是___________． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】分别讨论、、和四种情况，去掉绝对值，可得曲线C的方程，作出其图象，可判断①的正误；根据图象的对称性及特殊值，可判断②的正误；根据面积公式，代入求解，可判断③的正误；根据圆的性质及图象，分析可得曲线C上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，代入数据，即可判断④的正误；根据点到直线距离公式，变形整理，结合直线与圆的位置关系，即可判断⑤的正误. 【详解】当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 当时，曲线C：，化简为， 表示圆心为，半径为的半圆； 作出曲线C的图象，如下图所示 对于①：由图象可得，曲线关于坐标轴和直线均对称，故①正确； 对于②：当时，曲线C：，则过点， 同理曲线还过， 共8个整数点，故②错误； 对于③：曲线围成的图形的面积为，故③错误； 对于④：曲线C上任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和， 即为，故④错误； 对于⑤：因为点到直线的距离， 所以，当d最小时，易得点P在曲线C的第一象限图象上， 且最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以， 所以，故⑤正确. 故答案为：①⑤ 三、解答题：本题共6小题，共85分． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：矩形中，连接交于点，则为的中点. 连接，因为是的中点，所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，底面，所以. 所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以. 令，则.所以平面的一个法向量为. 设点到平面的距离为， 则. 所以点到平面的距离为. 17. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择①，，，选择②，， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及倍角公式求得，从而求得； （2）选条件①：由正弦定理及余弦定理解得，代入面积公式求解.选条件②：由余弦定理求出值，再利用三角形面积公式即可；选条件③：由余弦定理及基本不等式得到矛盾. 【小问1详解】 由正弦定理得， 代入得， 所以， 因为，所以 所以，所以，. 【小问2详解】 选条件①： 因为， 由正弦定理得，由余弦定理得， 解得，所以． 由解得，解是唯一的. 所以，. 选择条件②：由及余弦定理得， 即，解得或（负舍）， 此时有一解，所以， 所以，. 选条件③：由及余弦定理得， 所以，故. 这与矛盾，故不成立. 所以条件③不满足. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 直角梯形中，， 所以四边形为矩形，所以. ，，所以. 由正弦定理，得，所以. 中，. 所以，所以. 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）建立恰当的空间直角坐标系，由二面角的向量求法求解； （3）设，根据线面角的向量求法，求得参数的值，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以。 令，则.所以面的一个法向量为； 设平面的法向量为， ，所以. 令，则.所以面的一个法向量为. 所以. 由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，则. 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为. 所以 直线与平面所成的角的正弦值为，所以， 化简得，解得. 所以. 【点睛】 19. 设椭圆的右焦点为，过的直线l与交于两点，点的坐标为. （1）当l与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【答案】（1）的方程为或； （2）［方法一］： 当l与轴重合时，. 当l与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当l与轴不重合也不垂直时，设l的方程为，， 则，直线，的斜率之和为. 由，得. 将代入，得. 所以. 则. 从而，故，的倾斜角互补，所以. 综上，. ［方法二］： 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为， 交椭圆于，． 由，得． 由韦达定理得． 点A关于x轴的对称点， 则直线的方程为． 令，， 则直线过点M，． ［方法三］： 设直线l的参数方程为（t为参数）．（*） 将（*）式代入椭圆方程中，整理得． 则，． 又， 则 ， 即．所以． ［方法四］： 当直线l与x轴重合时，． 当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线的垂线， 垂足分别为C，D，则有轴． 由椭圆的第二定义，有，，得，即． 由轴，有，即， 于是，且． 可得，即有． ［方法五］： 椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得. 设，得到． 所以，． 由角平分线定理的逆定理可知． ［方法六］： 设点O（也可选点F）到直线的距离分别为， 根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证． 当直线l的斜率为0时，易得． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为． 由，得恒成立， 由韦达定理得．． 直线的方程为：． 因为点A在直线l上，所以，故． 同理，则． 因为，所以，即． 综上，． ［方法七］： 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由，得． 由韦达定理得． 所以， 故，的倾斜角互补，所以. ［方法八］： 设，， 所以，由， 作差可得 ， 所以，又，所以， 故， 而，的倾斜角互补，所以. 当时，l与轴垂直，为的垂直平分线， 所以，故． 【解析】 【分析】（1）根据l与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）方法一：分直线l与轴重合、l与轴垂直、l与轴不重合也不垂直三种情况证明；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点关于轴的对称点在直线上，证直线过点即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数即可；方法四：根据点M是椭圆的右准线与x轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明即可；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，证明即可；方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用，进行证明；方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样，证明即可；方法八：利用定比点差法，进行证明； 【小问1详解】 由已知得，l的方程为，又点的坐标为， 由已知可得，点的坐标为或， 所以的方程为或. 【小问2详解】 略 20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． 【答案】（1） （2） 由题意可知直线的斜率存在，设其方程为． 则，直线的方程为， 由，得， 由，得， 设，则， 直线的方程为， 联立直线和得， 解得， 同理可得， 所以， 因为 ， 所以，即点和点关于原点对称， 所以． . 【解析】 【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得； （2）设直线为，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助、两点坐标可表示出、，计算可得，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 【答案】（1），，， （2）由题意， 假设不存在使得成立， 根据数列定义可知，， 所以，则， 即， 所以，所以，这与已知矛盾， 故若此数列中存在使得， 则存在使得成立． （3）由题意， 必要性： ，，， 则． 因为为单调递增数列， 所以对所有的，或， 否则． 因此，所有的同号或为，即， 所以为单调递增数列． 充分性： 因为为单调递增数列，，且， 所以只能，所以同号或为， 所以对所有的，或， 所以． 所以，即为单调递增数列． 【解析】 【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列； （2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论； （3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意， 各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为： ，，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二数学 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 10. 已知数列满足，则下列说法正确的是（　　） ①当时，； ②当时，数列是常数列； ③当时，； ④当时，数列单调递减； A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④ 第二部分 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 点到直线距离的最大值为___________. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________． 13. 若双曲线的离心率为，则实数__________． 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则__；__． 15. 曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线关于坐标轴和直线均对称； ②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③曲线围成的图形的面积是； ④曲线上的任意两点间的距离不超过4； ⑤若是曲线上任意一点，则的最小值是2． 其中正确的结论序号是___________． 三、解答题：本题共6小题，共85分． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：∥平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 19. 设椭圆的右焦点为，过的直线l与交于两点，点的坐标为. （1）当l与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 20. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． 21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $