精品解析：广东省深圳理工附中2025-2026学年高三上学期学业质量监测数学试题

2025-2026学年广东省深圳理工附中高三（上）质检数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 4. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为2，则的值为 ______． 13. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求的值； （2）若的周长为18，求的面积. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足． （1）求证：平面； （2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. （1）若，，，，，求； （2）证明： （3）若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省深圳理工附中高三（上）质检数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 集合，， ∴是方程的解，即 ∴ ∴，故选C 2. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 3. 诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】C 【解析】 【分析】由极差、中位数、平均数和标准差的概念判断即可. 【详解】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 得到6个有效评分， 6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变， 而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化， 因此一定不变的数字特征是中位数. 故选：C. 4. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 6. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积. 【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面， 则，由，得， 所以该正四棱锥的体积为. 故选：A. 7. 若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可. 【详解】， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 8. 已知函数有两个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，通过，讨论导数正负，确定函数单调性，再结合零点存在性定理可求解. 【详解】函数的定义域为，，， 当时，，单调递减，至多有一个零点，不符题意； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以， 设，易知， 又，则在单调递增， 所以时， 因为时，，时，， 根据零点存在定理，有且仅有两个零点， 所以的取值范围是． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 10. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由偶函数的定义判断奇偶性，由给定的区间，去掉绝对值，化简选项中的函数式，在由正弦函数的单调性判断区间是否符合函数的单调递增区间，即可得到答案. 【详解】对于A：，为偶函数， 当时，，， 的单调递减区间为， 的递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B：，为偶函数， 当时，，， 的单调递增区间为， 的单调递减区间为， 而， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C：，为偶函数， 当时，， 的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AC. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为2，则的值为 ______． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，，根据双曲线离心率，得． 考点：双曲线的离心率. 13. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________. 【答案】4. 【解析】 【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果. 【详解】因，所以，即， 所以． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值. 【详解】 设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点， 易知平分，平分，易知， 取中点为，则在的平分线上， 同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 易知面，故，同理， 于是为平面与平面的夹角的平面角， 设正四面体棱长为，则，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且. （1）求的值； （2）若的周长为18，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解; （2）由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 因为，，所以 因为，所以， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以，解得. 因为的周长为18，所以，解得， 则. 故的面积为. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，上的点E满足． （1）求证：平面； （2）求平面CBE与平面ABE夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平面，可得，结合已知可证平面； （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面，利用向量法可求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，解得， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 19. 设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. （1）若，，，，，求； （2）证明： （3）若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 【答案】（1）5 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）由组合数可证，不妨假设，结合，可证； （3）由条件确定，推证，取可取为奇数，且，为偶数，且，即可求证； 【小问1详解】 由题可知，，，，，. 所以，； 【小问2详解】 不妨假设， 一方面，从中任选两数有中选法，所以， 另一方面，因为，所以S中至少有个元素， 又因为，即，至少还有个元素， 所以； 综上：. 【小问3详解】 记， 则由（2）知，，结合知， ，而，，，，所以， ，而，，，，，， 所以， ，其中，而，，，， 所以，所以任意都有， 上式又等价于， 故可取为奇数，且，为偶数，且， 满足，，，. 其中元素从小到大排列均构成公比为的等比数列.故命题得证. 【点睛】关键点点睛：第三问：确定，得到，说明任意都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $