第02讲 常用三角公式（寒假复习讲义，5知识+16大题型精讲+过关测）高一数学沪教版

第02讲 常用三角公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 （制作说明：学课本，重在教材知识的预习和剖析，基础知识尽量全梳理，里面内容干货多多益善，可以包括易错辨析、概念比较、重点记忆等内容） 知识点1 ：两角和差的正余弦正切公式 一、核心公式 公式名称 表达式 成立条件 两角和正弦 两角差正弦 两角和余弦 两角差余弦 两角和正切 两角差正切 二、预习级证明（简易推导） 1.两角差余弦公式（核心推导基础） 利用单位圆和两点间距离公式推导：在平面直角坐标系中作单位圆（半径为1，圆心在原点），设角、的终边与单位圆的交点分别为和，根据三角函数的定义，可直接得出两点坐标：，. 接下来，将由和组成的角（即）绕原点旋转，使点与轴正半轴上的点重合，此时点旋转后的对应点为，由于旋转不改变线段长度，因此. 根据两点间距离公式，分别计算和的长度平方（平方后可去掉根号，简化计算）：①；②. 2.两角和余弦公式（由差角公式推导） 令，代入差角余弦公式：. 由诱导公式，，化简得，即（替换为）. 3.两角和差正弦公式（由诱导公式推导） 由诱导公式，则. 代入差角余弦公式：，再由诱导公式，，得. 同理，. 4.两角和差正切公式（由正余弦公式推导） 由，得. 分子分母同除以（且），化简得. 同理，. 三、易错点提醒 正弦和差：异名相乘，符号与角的连接符号一致（如中“+”对应展开式“+”）； 余弦和差：同名相乘，符号与角的连接符号相反（如中“+”对应展开式“-”）； 正切和差：分母易颠倒，可记口诀“和切分子和，分母1减积；差切分子差，分母1加积”. 四、初步应用结论（预习必备） 特殊角组合求值（直接套用公式）： ； . 知识点2：二倍角公式 一、核心公式 函数 核心公式 常用变形（升幂/降幂） 成立条件 正弦 余弦 1.升幂公式：，；2.降幂公式：， 正切 （无根号，常用） 且 二、预习级证明（由两角和公式推导） 二倍角公式是两角和公式当时的特例，推导如下： 正弦二倍角：； 余弦二倍角：；再结合同角三角函数基本关系，替换得和两种形式； 正切二倍角：. 三、易错点提醒 正切二倍角公式成立条件易遗漏：需保证（避免）和（避免无意义）； 余弦二倍角三种形式的选择：化简求值时，若含或，优先用降幂形式；若需升幂，优先用或. 四、初步应用结论（预习必备） ，由降幂公式：，故（因在第一象限，取正）； 齐次式求值基础：若，则（分子分母同除以推导）. 知识点3：半角公式 一、核心公式（符号由所在象限决定） （无根号，常用） 二、预习级证明（由二倍角公式逆推） 令，则，将二倍角公式逆推可得半角公式： 由余弦二倍角升幂公式，变形得，开方得（替换为，即）； 同理，由，逆推得； 正切半角无根号形式：，分子分母同乘，化简得；同乘，化简得. 三、易错点提醒 符号判断是关键：半角公式的“”由所在象限决定，需先判断的范围，再确定的象限，进而确定符号； 无根号形式无需判断符号：和的符号由分子分母共同决定，可直接使用，无需额外加“”. 四、初步应用结论（预习必备） 特殊角半角求值：. 知识点4：辅助角公式 一、核心公式 一般形式：； 关键参数：（振幅，恒正），，，（的象限由共同决定）； 常用特例： 1.； 2.； 3.. 二、预习级证明（利用两角和正弦公式展开验证） 假设，将右边展开：. 对比左右两边同类项系数：，两式平方相加得，因，故（恒正，取正根）. 两式相除得，因此可由的符号和的值确定，证明成立. 三、易错点提醒 恒为正数：不可因或为负而取为负，本身是非负数，且振幅需为正； 的象限判断：不可仅由的正负判断，需结合（的符号）和（的符号）共同确定（如时，在第二象限）. 四、初步应用结论（预习必备） 函数化简基础：将化为单一三角函数形式，得，可直接判断其最大值为，周期为. 知识点5：和差化积公式 一、核心公式（不要求记忆，需会推导与应用） 1. 2. 3. 4. 二、预习级证明（由两角和差公式推导） 令，，则，，代入两角和差公式推导： 以为例：. 将，代回，得，其余公式推导同理. 三、易错点提醒 公式符号：的结果带负号，易遗漏，可记“余弦差，负号先”； 适用场景：仅用于将两个三角函数的和差形式转化为积的形式，化简时需结合其他公式综合应用，不可孤立使用. 【题型1 已知角的正弦余弦正切求和差角的余弦】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 例2．（23-24高一下·上海静安·期中）若，，则 . 变式1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，是第三象限角，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 【题型2 用余弦和差角公式化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（2025·湖北武汉·二模）已知，，则 ． 变式2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【题型3 余弦和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一下·上海静安·期末）化简：= . 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业） . 变式2．（23-24高一下·上海·假期作业）计算： . 【题型4 已知角的正弦余弦正切求和差角的正弦】 例1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 例2．（23-24高一下·上海黄浦·月考）已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为 . 变式1．（23-24高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 变式2．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知、，，，则 ． 【题型5 用正弦的和差角公式化简求值】 例1．（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则 . 例2．（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 变式1．（24-25高三上·全国·月考）已知，，则 ． 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业），，则 . 【题型6 正弦和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）化简 . 变式1．（23-24高一下·上海·假期作业）求值： . 变式2．（23-24高二上·海南海口·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【题型7 由角的正弦余弦正切求和差角的正切】 例1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足，则 ． 变式1．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 变式2．（24-25高一下·上海·月考）若，，则 . 【题型8 由正切和差角公式化简求值】 例1．（24-25高二下·江西宜春·开学考试）已知，则 . 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，其中及均为锐角，求的值． 变式1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）已知tanα，tanβ是方程的两个实数根，求的值． 【题型9 正切和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知正实数a，b满足，则 ． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业） . 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2). 【题型10 求特殊角的正弦余弦正切值】 例1．（24-25高一下·全国·课堂例题）求角的余弦值． 例2．（24-25高一下·广东江门·期中）下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式2．（24-25高一上·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【题型11 正弦二倍角公式】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则 ． 例2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 变式1．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海·月考）若，，则 ． 【题型12 余弦二倍角公式】 例1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则 ． 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则 ． 变式1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则 . 【题型13 正切二倍角公式】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求，和的值． 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【题型14 辅助角公式】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 例2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 变式1．（24-25高一上·上海·期末）当， ． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【题型15 两角和差中角的变换与拼凑】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 例2．（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 变式1．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知，则 . 【题型16 二倍角中的角的变换与拼凑】 例1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则 变式1．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 变式2．（24-25高三下·安徽·月考）已知，则 . 1.主线脉络：从本源到应用的推导衍生链 「核心本源」：两角差的余弦公式（唯一推导源头，基于单位圆+两点间距离公式） 代换+诱导公式转化 「第一衍生层」：两角和差的正余弦、正切公式（连接本源与后续公式的核心桥梁） 令和差公式中（特例转化） 「第二衍生层」：二倍角公式（含升幂/降幂变形，如，是化简求值的高频工具） 令（逆代换推导） 「第三衍生层」：半角公式（重点理解逆推逻辑，正切无根号形式优先掌握） 基础公式逆向/综合应用 「综合应用层」：辅助角公式（）、和差化积公式（侧重推导方法，不强制记忆） 2.辅助工具串联（贯穿全程的核心依据） 两类工具是公式推导与解题应用的关键，需熟练掌握： 同角三角函数基本关系：（公式变形、化简求值的核心依据）； 核心诱导公式：、、（实现正余弦公式转化的关键桥梁）. 二、核心知识点提炼（必记+理解） 1.必记核心知识点 本源核心：两角差的余弦公式； 衍生重点：两角和差公式、二倍角公式（含升幂/降幂变形）、辅助角公式（的计算与的象限判断）； 工具核心：同角三角函数基本关系、3个核心诱导公式. 2.理解型知识点 半角公式：记住“逆推自二倍角公式”，符号由所在象限决定； 和差化积公式：掌握“、”的代换推导法. 一、填空题 1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，则的值为 . 2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知则 . 3．（24-25高二下·上海·期末）已知，则 ． 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则 5．（25-26高三上·上海·期中）若角的终边经过，则 ． 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知都是锐角，，，则 . 8．（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则 . 9．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 . 10．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简 . 11．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，，则 ． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 . 13．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，且，， （1） ；（2） . 14．（2026高三上·上海·专题练习）若，且为第三象限角，则等于 15．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ． 二、解答题 16．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 17．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用三角公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 （制作说明：学课本，重在教材知识的预习和剖析，基础知识尽量全梳理，里面内容干货多多益善，可以包括易错辨析、概念比较、重点记忆等内容） 知识点1 ：两角和差的正余弦正切公式 一、核心公式 公式名称 表达式 成立条件 两角和正弦 两角差正弦 两角和余弦 两角差余弦 两角和正切 两角差正切 二、预习级证明（简易推导） 1.两角差余弦公式（核心推导基础） 利用单位圆和两点间距离公式推导：在平面直角坐标系中作单位圆（半径为1，圆心在原点），设角、的终边与单位圆的交点分别为和，根据三角函数的定义，可直接得出两点坐标：，. 接下来，将由和组成的角（即）绕原点旋转，使点与轴正半轴上的点重合，此时点旋转后的对应点为，由于旋转不改变线段长度，因此. 根据两点间距离公式，分别计算和的长度平方（平方后可去掉根号，简化计算）：①；②. 2.两角和余弦公式（由差角公式推导） 令，代入差角余弦公式：. 由诱导公式，，化简得，即（替换为）. 3.两角和差正弦公式（由诱导公式推导） 由诱导公式，则. 代入差角余弦公式：，再由诱导公式，，得. 同理，. 4.两角和差正切公式（由正余弦公式推导） 由，得. 分子分母同除以（且），化简得. 同理，. 三、易错点提醒 正弦和差：异名相乘，符号与角的连接符号一致（如中“+”对应展开式“+”）； 余弦和差：同名相乘，符号与角的连接符号相反（如中“+”对应展开式“-”）； 正切和差：分母易颠倒，可记口诀“和切分子和，分母1减积；差切分子差，分母1加积”. 四、初步应用结论（预习必备） 特殊角组合求值（直接套用公式）： ； . 知识点2：二倍角公式 一、核心公式 函数 核心公式 常用变形（升幂/降幂） 成立条件 正弦 余弦 1.升幂公式：，；2.降幂公式：， 正切 （无根号，常用） 且 二、预习级证明（由两角和公式推导） 二倍角公式是两角和公式当时的特例，推导如下： 正弦二倍角：； 余弦二倍角：；再结合同角三角函数基本关系，替换得和两种形式； 正切二倍角：. 三、易错点提醒 正切二倍角公式成立条件易遗漏：需保证（避免）和（避免无意义）； 余弦二倍角三种形式的选择：化简求值时，若含或，优先用降幂形式；若需升幂，优先用或. 四、初步应用结论（预习必备） ，由降幂公式：，故（因在第一象限，取正）； 齐次式求值基础：若，则（分子分母同除以推导）. 知识点3：半角公式 一、核心公式（符号由所在象限决定） （无根号，常用） 二、预习级证明（由二倍角公式逆推） 令，则，将二倍角公式逆推可得半角公式： 由余弦二倍角升幂公式，变形得，开方得（替换为，即）； 同理，由，逆推得； 正切半角无根号形式：，分子分母同乘，化简得；同乘，化简得. 三、易错点提醒 符号判断是关键：半角公式的“”由所在象限决定，需先判断的范围，再确定的象限，进而确定符号； 无根号形式无需判断符号：和的符号由分子分母共同决定，可直接使用，无需额外加“”. 四、初步应用结论（预习必备） 特殊角半角求值：. 知识点4：辅助角公式 一、核心公式 一般形式：； 关键参数：（振幅，恒正），，，（的象限由共同决定）； 常用特例： 1.； 2.； 3.. 二、预习级证明（利用两角和正弦公式展开验证） 假设，将右边展开：. 对比左右两边同类项系数：，两式平方相加得，因，故（恒正，取正根）. 两式相除得，因此可由的符号和的值确定，证明成立. 三、易错点提醒 恒为正数：不可因或为负而取为负，本身是非负数，且振幅需为正； 的象限判断：不可仅由的正负判断，需结合（的符号）和（的符号）共同确定（如时，在第二象限）. 四、初步应用结论（预习必备） 函数化简基础：将化为单一三角函数形式，得，可直接判断其最大值为，周期为. 知识点5：和差化积公式 一、核心公式（不要求记忆，需会推导与应用） 1. 2. 3. 4. 二、预习级证明（由两角和差公式推导） 令，，则，，代入两角和差公式推导： 以为例：. 将，代回，得，其余公式推导同理. 三、易错点提醒 公式符号：的结果带负号，易遗漏，可记“余弦差，负号先”； 适用场景：仅用于将两个三角函数的和差形式转化为积的形式，化简时需结合其他公式综合应用，不可孤立使用. 【题型1 已知角的正弦余弦正切求和差角的余弦】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角形的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故答案为：. 例2．（23-24高一下·上海静安·期中）若，，则 . 【答案】 【分析】由平方和关系，两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 变式1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，是第三象限角，则 ． 【答案】 【分析】根据平方关系先求得，，再根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 由，是第三象限角，则， 所以. 故答案为；. 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 【题型2 用余弦和差角公式化简求值】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值. 【详解】由，可得①， 由，可得②， ①+②得，， 所以，所以. 故选：B. 变式1．（2025·湖北武汉·二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 【题型3 余弦和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一下·上海静安·期末）化简：= . 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. 【详解】 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用两角和的余弦公式； （2）逆用两角差的余弦公式即可求值． 【详解】（1）原式； （2）原式． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】0 【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可. 【详解】 . 故答案为：0. 变式2．（23-24高一下·上海·假期作业）计算： . 【答案】/ 【分析】由两角和的余弦公式即可得. 【详解】. 故答案为：. 【题型4 已知角的正弦余弦正切求和差角的正弦】 例1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 例2．（23-24高一下·上海黄浦·月考）已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为 . 【答案】 【分析】设的终边经过点，的终边经过点，，.根据三角函数的定义求出的值，根据两角和的正弦公式，求出的值，然后根据三角函数的定义，即可得出答案. 【详解】设的终边经过点，的终边经过点，则，设， 根据三角函数的定义可得，，， 所以， . 又， 所以，根据三角函数的定义可知，，则. 故答案为：. 变式1．（23-24高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得 ，然后算出的值； （2）结合，，可得，，即可求出的值. 【详解】（1）∵为锐角，，且，∴； ∵为锐角，，且，∴， ∴， （2）因为为锐角，，所以， ，所以，， 所以，∴； 变式2．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知、，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用同角三角函数基本关系得到，，再通过两角差的正弦公式计算可得答案. 【详解】 、，，， 则， 故答案为：. 【题型5 用正弦的和差角公式化简求值】 例1．（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据两角和与差的正弦函数公式，得到展开式，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 两式相减，可得，所以. 故答案为：. 例2．（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【答案】2 【分析】由两角和与差的正弦公式展开已知式，然后由商数关系求解． 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：2. 变式1．（24-25高三上·全国·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可. 【详解】由得：, 由得：, 所以，, 所以. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业），，则 . 【答案】/ 【分析】由两角和与差的正弦公式展开求出，即可求解． 【详解】解:由，得， 解得， 则， 故答案为： 【题型6 正弦和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）化简 . 【答案】 【分析】先根据两角和差正弦公式逆用,再应用诱导公式化简即可. 【详解】由两角和差公式可得， 由诱导公式可得. 故答案为：. 例2．（23-24高一下·上海·期中）化简： . 【答案】/ 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 变式1．（23-24高一下·上海·假期作业）求值： . 【答案】/ 【分析】由两角和的正弦公式即可得. 【详解】. 故答案为：. 变式2．（23-24高二上·海南海口·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得. 【详解】 . 故选：A 【题型7 由角的正弦余弦正切求和差角的正切】 例1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】由两角差的正切公式计算． 【详解】由已知． 故答案为：． 例2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用和角的正切公式计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 变式1．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 变式2．（24-25高一下·上海·月考）若，，则 . 【答案】 【分析】 利用两角差的正切公式即可得到. 【详解】 由两角差的正切公式. 故答案为：. 【题型8 由正切和差角公式化简求值】 例1．（24-25高二下·江西宜春·开学考试）已知，则 . 【答案】 【分析】利用正切函数的和差公式求得，再利用正余弦函数的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故答案为：. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，其中及均为锐角，求的值． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式即可求解． 【详解】由两角和的正切公式知， 又，， ， ． 变式1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）已知tanα，tanβ是方程的两个实数根，求的值． 【答案】3 【分析】由韦达定理求出，，然后由两角和的正切公式求得，将要求的式子转化为齐二次式求解即可. 【详解】由韦达定理得， 所以． 原式 ． 【题型9 正切和差角公式的逆用】 例1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知正实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】变形得到，设，根据正切和角公式得到，），故，得到答案. 【详解】原式可变形为：， 令，则有， 由此可， 所以，（）， 故， 即． 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】1 【分析】运用余切与正切的关系，将其化为正切，后用两角和的正切公式化简即可. 【详解】， 故答案为：1 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 ； 1； ； . 【分析】（1）直接逆用两角差的正切公式； （2）利用变形，后逆用两角差的正切公式； （3）余切化为正切，后逆用两角差的正切公式；； （4）直接逆用两角和的正切公式 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；1；；. 变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正切公式及其逆用公式计算即可； （2）由两角和的正切公式计算即可. 【详解】（1） . （2） . 【题型10 求特殊角的正弦余弦正切值】 例1．（24-25高一下·全国·课堂例题）求角的余弦值． 【答案】；；. 【分析】结合两角差的余弦公式和特殊角的函数值运算求解． 【详解】 ； ； ． 例2．（24-25高一下·广东江门·期中）下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 变式1．（23-24高一·全国·随堂练习）求下列函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用余弦两角差公式进行求解即可； （2）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用诱导公式，结合余弦两角和公式进行求解即可； （4）利用诱导公式，结合（1）的结论进行求解即可； （5）利用正切两角差的公式进行求解即可； （6）利用诱导公式，结合正切两角和公式进行求解即可 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） （5） （6） 变式2．（24-25高一上·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及余弦差公式求值. 【详解】， 故选：A． 【题型11 正弦二倍角公式】 例1．（24-25高一下·上海·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则 ． 【答案】/ 【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第三象限内的点， 所以，且， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 例2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 变式1．（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ． 【答案】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海·月考）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角的平方关系及二倍角公式可先求出，根据角的范围确定符号即可求解. 【详解】， . ，，，. 故答案为：. 【题型12 余弦二倍角公式】 例1．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】由诱导公式得，再根据二倍角公式代入求值即可． 【详解】， ， 故答案为：． 例2．（24-25高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 变式1．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海杨浦·期中）若，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【题型13 正切二倍角公式】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】（1）由韦达定理得， 所以； （2）由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求，和的值． 【答案】，，． 【分析】由已知可求得，进而可求、和的值． 【详解】，， ． ， ， ． 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（    ） A． B． C． D．–3 【答案】C 【分析】利用诱导公式求出，根据三角函数的基本关系求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又是第二象限的角，所以， 所以， 所以. 故选：C 【题型14 辅助角公式】 例1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 例2．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海·期末）当， ． 【答案】或， 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)其中 【分析】（1）利用辅助角公式：，易将其化为正弦型函数的形式； （2）利用辅助角公式：进行求解． 【详解】（1） ； （2） （其中，） 【题型15 两角和差中角的变换与拼凑】 例1．（24-25高一下·上海·月考）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角平方关系及正弦二倍角公式即可求解； （2）由展开求解即可； 【详解】（1）因为，， 由，可得：， 所以； （2）因为，， 由， 所以， 所以 ； 例2．（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先确定的取值范围，再根据同角三角函数求，再利用二倍角公式求和，即可求解； （2）将等式转化为表示的三角函数，即可求解方程. 【详解】（1），， ，， ， （2） ， ∴原式可化为 解得或， 故或， 即或. 变式1．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数公式，和两角差的正弦公式，求出角的正弦值. 【详解】因为，所以， 由同角三角函数关系可得， 同理可得， 由两角差的正弦公式得， 代入得. 故答案为：. 【题型16 二倍角中的角的变换与拼凑】 例1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以 ． 故选:A． 例2．（24-25高一下·上海松江·月考）已知，则 【答案】/ 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，所以 ， 故答案为：. 变式1．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 【答案】 【分析】利用诱导公式得到，从而利用诱导公式和倍角公式得到答案. 【详解】， 故， . 故答案为： 变式2．（24-25高三下·安徽·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】利用正弦函数的和角公式以及辅助角公式，整理化简等式，再利用诱导公式以及余弦的二倍角公式，可得答案. 【详解】因为，即， 所以. 故答案为： 1.主线脉络：从本源到应用的推导衍生链 「核心本源」：两角差的余弦公式（唯一推导源头，基于单位圆+两点间距离公式） 代换+诱导公式转化 「第一衍生层」：两角和差的正余弦、正切公式（连接本源与后续公式的核心桥梁） 令和差公式中（特例转化） 「第二衍生层」：二倍角公式（含升幂/降幂变形，如，是化简求值的高频工具） 令（逆代换推导） 「第三衍生层」：半角公式（重点理解逆推逻辑，正切无根号形式优先掌握） 基础公式逆向/综合应用 「综合应用层」：辅助角公式（）、和差化积公式（侧重推导方法，不强制记忆） 2.辅助工具串联（贯穿全程的核心依据） 两类工具是公式推导与解题应用的关键，需熟练掌握： 同角三角函数基本关系：（公式变形、化简求值的核心依据）； 核心诱导公式：、、（实现正余弦公式转化的关键桥梁）. 二、核心知识点提炼（必记+理解） 1.必记核心知识点 本源核心：两角差的余弦公式； 衍生重点：两角和差公式、二倍角公式（含升幂/降幂变形）、辅助角公式（的计算与的象限判断）； 工具核心：同角三角函数基本关系、3个核心诱导公式. 2.理解型知识点 半角公式：记住“逆推自二倍角公式”，符号由所在象限决定； 和差化积公式：掌握“、”的代换推导法. 一、填空题 1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果． 【详解】由，则 故答案为： 2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知则 . 【答案】/ 【分析】先利用辅助角公式化简原函数，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由辅助角公式得 ， 令， 则由同角三角函数的基本关系得. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角和的正弦公式结合辅助角公式可得出的值. 【详解】因为 ，故. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，可得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为， ， 所以， 所以. 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·期中）若角的终边经过，则 ． 【答案】/ 【分析】由题设结合三角函数定义求出和，再利用诱导公式和二倍角公式即可计算得解. 【详解】角的终边经过，，， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知都是锐角，，，则 . 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 8．（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则 . 【答案】 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 9．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】应用诱导公式结合同角三角函数关系，得出，最后结合两角和正切及二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为，， 所以，所以 则． 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】首先排除和同时为零的情况，再根据已知，可得，再利用正切的二倍角公式可计算出的值. 【详解】因为，所以和不能同时为零； 由，所以， ，代入得：. 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，且，， （1） ；（2） . 【答案】 【分析】根据条件可得、，利用差角正切公式求得，即有，再应用和角正切公式求得，结合求角. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得， 所以，故， 因为，所以，故， 因为， 所以. 故答案为：，. 14．（2026高三上·上海·专题练习）若，且为第三象限角，则等于 【答案】7 【分析】先求出，再由两角和的正切公式求解． 【详解】因为，且为第三象限角，所以 所以， 故答案为：7 15．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先将的分子分母都除以，求得，再利用两角和差的正切公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. 二、解答题 16．（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 17．（24-25高一下·上海闵行·月考）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再由利用和角公式展开，利用同角的三角函数式消去，化成关于的方程，求得的值，再利用和角公式即可； （2）方法一：利用拆角变换得到，展开再将相关结论代入计算即可；方法二：由（1）先求出的值，利用回代计算即得的值. 【详解】（1）因，，则， 由，可得， 两边取平方，可得， 整理得：，解得或（不合题意，舍去）， 故， 于是，； （2）方法一： . 方法二：由（1）已得，则. 18．（24-25高一下·上海·期中）（1）已知 ，求的值； （2）已知.求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 又，所以. （2）因为， 所以，， 则. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $