专题09正弦定理（5种题型）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（沪教版2020）

学科网（北京）股份有限公司 专题09正弦定理（5种题型） 思维导图 核心考点聚焦 题型一：已知三角形两角及一边解三角形 题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形 题型三：判断三角形形状的判断 题型四：求三角形面积 题型五：正弦定理的实际应用 如图，在半径为的圆中，作直径，在圆周上任取异于、两点的一点点，连接、，在中将角、及所对边的边长分别记作、及，则，并且. 在中，， ，. 故可得（为外接圆半径） 以上是初三我们学习的直角三角形的求解问题，但在我们高中阶段所遇到的三（xiao）角（guai）形（shou）往往不再是直角三角形，而是“进化”为斜三（da）角（guai）形（shou）. 【Attention】斜三角形=锐角三角形+钝角三角形. 在三角形的三个角和三条边这6个元素中，经常会遇到已知其中三个元素（至少有一个元素为边长）求其他元素的问题，这称为解三角形. 为此，需要知道边和角之间的数量关系，从而有了今天我们要学习的正弦定理. 如图，在斜（钝角）中， 同理可得 由此可知，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 . 将上式同时除以，就得到，即. 这样，我们就得到了正弦定理：在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比值相等，即 （为外接圆半径） 换言之 ，，. 题型一：已知三角形两角及一边解三角形 【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。 【变式】在中，已知，，，解这个三角形. 题型二：已知三角形两边及一边的对角解三角形 【例2】在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形； 【变式】在中，已知，，，解这个三角形. 题型三：判断三角形形状的判断 【例3】在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状。 【变式1】在中，已知，判断的形状. 【变式2】在中，已知，，判断的形状. 【变式3】. 在△ABC中，若，试判断△ABC的形状. 题型四：求三角形面积 【例5】 已知△ABC的外接圆半径为2，若，设AB的边长为，求△ABC的面积. 【变式1】. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积 . 【变式2】. 在△ABC中，∠A＝60°，. （1）求的值；（2）若，求△ABC的面积. 题型五：正弦定理的实际应用 【例5】. 2020年新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现，早隔离. 某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界用固定髙度的板材围城一个 封闭隔离区，经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°. （1）若∠ADC＝105°，求BC的长；（结果精确到米） （2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米） 【变式】. 在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100米，测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔的高度为 米（精确到0.1米）. 一、填空题 1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝ 2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝ 3、在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是 4、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是 三角形 5、已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC边长为________． 6、在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 7、在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ . 9、下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解； ②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解； ③a＝15，b＝2，A＝90°，无解； ④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解． 10、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为 11、在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是 三角形 12、在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC是________三角形． 二、选择题 13、在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A