专题03 圆锥曲线解答题8大常考题型（高效培优期末专项训练）高二数学上学期北师大版

专题03 圆锥曲线解答题常考题型 考点01 圆锥曲线求弦长或最值 1 考点02 圆锥曲线中求三角形或四边形的面积 5 考点03 圆锥曲线中求三角形或四边形面积的最值 7 考点04 圆锥曲线中直线过定点问题 9 考点05 圆锥曲线中的定值问题 12 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 17 考点07 圆锥曲线中的探索性问题 20 考点08 圆锥曲线中的和差积问题 21 考点01 圆锥曲线求弦长或最值 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知点A，B为椭圆的上、下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 4．（24-25高二下·云南红河·期末）已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 5．（25-26高二上·陕西·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 考点02 圆锥曲线中求三角形或四边形的面积 6．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 7．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 8．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 9．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 10．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 考点03 圆锥曲线中求三角形或四边形面积的最值 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 12．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，. (1)求抛物线M的方程； (2)当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线； (3)设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，Q（点P，Q不与O重合），记面积为，面积为，求的最大值. 13．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 14．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 15．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 考点04 圆锥曲线中直线过定点问题 16．（24-25高三下·广西·开学考试）已知椭圆上一动点P到原点O距离的最小值为，最大值为椭圆E的左顶点为A，过A的两条直线，关于直线对称，，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，，与y轴分别交于为S，T. (1)求椭圆E的标准方程; (2)求的值; (3)直线MN是否过定点?如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由. 17．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 19．（24-25高二上·海南·期末）已知点在圆心为的圆上运动，点． (1)求的取值范围． (2)若动点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （i）求的方程： （ii）过点作两条相互垂直的直线，分别与交于点，证明：直线过定点． 20．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 考点05 圆锥曲线中的定值问题 21．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 22．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 23．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 24．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 25．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为．若，试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由. 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 26．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 27．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 28．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 29．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 30．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 考点07 圆锥曲线中的探索性问题 31．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 32．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线 ，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 33．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 35．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 考点08 圆锥曲线中的和差积问题 36．（24-25高二下·山西·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 37．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线过点与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，若，求直线的方程． 38．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 39．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 40．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； (3)斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线解答题常考题型 考点01 圆锥曲线求弦长或最值 1 考点02 圆锥曲线中求三角形或四边形的面积 5 考点03 圆锥曲线中求三角形或四边形面积的最值 7 考点04 圆锥曲线中直线过定点问题 9 考点05 圆锥曲线中的定值问题 12 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 17 考点07 圆锥曲线中的探索性问题 20 考点08 圆锥曲线中的和差积问题 21 考点01 圆锥曲线求弦长或最值 1．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【详解】（1）解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. （2）由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 2．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知点A，B为椭圆的上、下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)，或者 【分析】（1）解法一：将直线以及直线的方程求出来，消去并整理即可证明；解法二：将直线以及直线的方程求出来，联立方程求出点的坐标，验证是否成立即可； （2）解法一：求出直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理可得及的值，由弦长公式分别求出的长，由题意可求出，再由弦长公式可计算的值；解法二：假设直线的参数方程，将其代入椭圆得到韦达定理，则，进而可求，进而可计算的值. 【详解】（1）解法一：由题可知 （i）若，则，此时，经检查符合椭圆的方程，所以点在上. （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为， 由可得 ①②，消去，得， 即，所以点在上. 解法二：由题可知 （i）若，则，经检查符合椭圆的方程，所以点在上. （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为（*）， 由消去，得，代入（*）式得， 所以. 因为， 符合椭圆的方程，所以点在上. （2）解法一： 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 由方程组消去，得. 由得，解得. 设，，则，. 则，， 所以. 又，所以，解得，或者. 由， 又， 所以，或者. 解法二： 由于直线的斜率， 设直线的方程为（为参数）， 代入椭圆方程，得，即， 由，，得， 解得，或者. 由， 又， 所以， 所以，或者. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设设直线的方程为，，根据题意，故 ，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，可得，，将其带入弦长公式可解，故而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，故，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为. 4．（24-25高二下·云南红河·期末）已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. 【详解】（1）因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以，解得， 所以的方程为. （2）由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 5．（25-26高二上·陕西·期中）已知是抛物线的焦点，为上一个动点. (1)求； (2)若为坐标原点，，求； (3)已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之差为，，均经过，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) (3)（或） 【分析】（1）根据抛物线的性质可求得的值； （2）过点作，垂足为，设可推得，利用抛物线的定义求出即可； （3）设的倾斜角为，斜率，则的倾斜角为，利用和角的正切公式推得其斜率，联立与抛物线方程，分别求出弦长与，利用题设条件求得或，检验后即可求得的方程. 【详解】（1）由抛物线的性质可得，得； （2）抛物线的准线方程为. 过点作，垂足为， 设，因，则，得， 则点的纵坐标为，由抛物线定义得， 解得，所以； （3）设的倾斜角为，易得，斜率， 则的倾斜角为， 斜率. 设点，， 由得，得， 所以 以代可得. 由，得， 得或， 当时，，，又，所以不符合题意. 故的方程为，即（或）. 考点02 圆锥曲线中求三角形或四边形的面积 6．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意可得、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率； （2）根据截距式设得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据相切判别式得，，再联立直线与的方程得坐标，即可根据面积比例关系求解. 【详解】（1）依题意可得，所以，则， 所以椭圆的方程为，离心率； （2）如图所示： 由题可知，直线的斜率存在且为负数，设直线：. 则有，，所以直线的方程为， 将与椭圆方程联立，消去并整理得，，由题意直线与椭圆相切于点，则，即，所以 ，， 即点的坐标为， 所以直线的方程为，将其与直线的方程联立，解得，，即点的坐标为，由题意得，整理得.又，且，解得，，即满足题意的直线的方程为. 7．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，再由向量数量积的坐标运算得 ，结合已知求参数，即可得； （2）讨论直线的斜率，设为，联立椭圆并应用韦达定理得，四边形面积，进而求出参数值，即可得. 【详解】（1）设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 8．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 9．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依据给定条件和双曲线中基本量的关系求解基本量，得到标准方程即可. （2）依据题意设出直线方程，再结合题意用单一变量表示出三角形面积，建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）由题意可得，， 点到渐近线的距离，且， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 如图，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 由解得，则 所以， 所以的面积， ， 由的面积为3，得，整理得， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 10．（24-25高二上·河南信阳·期末）直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． (1)求抛物线的方程； (2)若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得出，所以抛物线的方程为. （2），设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为.    考点03 圆锥曲线中求三角形或四边形面积的最值 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 12．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线：上一点到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，. (1)求抛物线M的方程； (2)当，，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N三点共线； (3)设O为坐标原点，当，时，直线，分别交抛物线M于P，Q（点P，Q不与O重合），记面积为，面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线定义列出方程，求出值，即得抛物线方程； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，求得，的坐标，计算推出即得证； （3）设直线：，，，，，依题分别求出的表达式，代入的解析式，整理成二次函数型，求其最值即得. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， 所以抛物线的方程为：. （2）设点，，则， 因，直线斜率不可能为0，可设的方程为， 联立抛物线方程得：，故，. 又，， 由 所以， 故T，A，N三点共线. （3） 如图，当，时，由，可设直线：， ，，，， 由得， 由圆的对称性可知，且， 因直线的方程为，代入抛物线方程得，或， 所以，同理. ， 当时，取得最大值为. 13．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）15. 【分析】（1）根据焦点和离心率列方程，解方程得到，然后写双曲线方程即可； （2）（i）设直线的方程，与双曲线方程联立，然后写直线的方程，利用韦达定理得到当时，，从而得证； （ii）利用三角形面积公式和韦达定理得到，然后利用换元法和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）设的半焦距为，由知.             又离心率，所以，从而.             所以的方程为. （2）    （i）设，点，，. 由可得， 因为与在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，.             直线， 令，得，             又， 所以直线恒过点.             （ii）如图，设， 则.             设，则， 在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为15. 14．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 15．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. (1)求椭圆的焦距与的周长； (2)若，求点到轴的距离； (3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】(1)焦距为2，的周长8； (2)； (3). 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. （2）由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 考点04 圆锥曲线中直线过定点问题 16．（24-25高三下·广西·开学考试）已知椭圆上一动点P到原点O距离的最小值为，最大值为椭圆E的左顶点为A，过A的两条直线，关于直线对称，，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，，与y轴分别交于为S，T. (1)求椭圆E的标准方程; (2)求的值; (3)直线MN是否过定点?如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)动直线MN恒过x轴上的定点 【分析】（1）设，表示出，再利用椭圆的性质求出即可； （2）由点斜式设出，的方程，得到，，利用点关于直线对称的关系求解即可； （3）直曲联立，利用韦达定理表示出，化简方程可得直线过定点. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，则，， 所以椭圆E的标准方程为； （2）由（1）知，设，， 则点S的纵坐标为，点T的纵坐标， 设点是直线上异于点A的任意一点， 点是点C关于直线的对称点， 由得① 由得② 联立①②解得，代入直线可得， 又由点在直线上，有， 所以有，从而由，可得， 则； （3）设，， 设直线，由， 消y得， 设，，所以， ，， 由（2）知，即， 即， 即 化简得，解得或舍去， 所以动直线恒过x轴上的定点 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能直曲联立，利用韦达定理表示出，得到直线所过定点. 17．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点，坐标为 【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可； （2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则 ， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 19．（24-25高二上·海南·期末）已知点在圆心为的圆上运动，点． (1)求的取值范围． (2)若动点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （i）求的方程： （ii）过点作两条相互垂直的直线，分别与交于点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据点和圆的位置关系结合半径得出距离的范围； （2）（i）应用双曲线定义得出双曲线方程；（ii）方法一：设的方程联立方程组结合对称性得出定点；方法二：设直线应用向量转化垂直关系结合韦达定理计算得出即可得出定点. 【详解】（1）由题知圆的圆心为，半径． ，点在圆外， 由，得， 即的取值范围是． （2）（i）在线段的延长线上，， ， 点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 的方程为． （ii）方法一：由题意，设的方程分别为， 的渐近线方程为，可得． 由得 解得 用替换，得 由对称性，知直线过的定点一定在轴上， 当或时，可得直线的方程为，过点． 当时，， 直线过点． 综上，直线过定点． 方法二：当直线的斜率存在时，设直线 由得 则  ① ，即， 整理得或． 经检验，不满足①，满足①． 直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，若其过点，则方程为， 由得，则，满足题意 综上，直线过定点． 【点睛】关键点点睛:求解定点的关键是应用双曲线的对称性确定直线过的定点一定在轴上或应用向量关系转化垂直进而得出减少未知量求解. 20．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 考点05 圆锥曲线中的定值问题 21．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 22．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 23．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由 及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 24．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 25．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为．若，试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据点到直线的距离和离心率可得基本量，故可得标准方程； （2）根据面积关系结合面积公式可得平分，即，联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有， 由以的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，所以的方程是. （2） 因为，则， 因此，而，有， 于是平分，直线的斜率互为相反数，即， 设， 由得，， 即有，且， 而，则， 即 于是， 故， 化简得：， 又因为在椭圆上，即，即， 从而，即， 又因为不在直线上，即， 所以有,即，所以为定值，且． 考点06 圆锥曲线中的定直线问题 26．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出椭圆方程； （2）（i）根据题意设直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理计算的面积可解得的值，即可得直线方程； （ii）分别写出直线与直线的方程，联立方程组，利用韦达定理化简可得，由此可证明交点在定直线上. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 27．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; (3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用斜率两点式及，求轨迹方程； （2）根据椭圆的定义有求最值； （3）设直线l的方程为，、，联立轨迹方程，得到韦达公式，写出直线AC、BD的方程，进而整理化简得到，即可证结论. 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为； （3）设直线l的方程为，、， 由，得， 所以，，所以①， 由，得或 易知直线AC的方程为②，直线BD的方程为③， 联立②③，消去y，得，④， 联立①④，消去，则，解得， 即点G在定直线上，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线l的方程为，联立曲线方程，应用韦达定理、直线AC、BD的方程化简整理得为关键. 28．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点. (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求证； (3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得的值，进而可求得双曲线方程. （2）设的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得，进而计算可求得的最小值. （3）直线的方程为，直线的方程为，联立方程线可求得交点的纵坐标为定值，可得结论. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为，， 联立，消去，可得， 则，且， 所以， 所以， 所以; （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点P在定直线上. 29．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    30．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 考点07 圆锥曲线中的探索性问题 31．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则 ，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 32．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线 ，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得 ，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【详解】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为 ，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 33．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） (1)求证：点E恒在一条定直线L上； (2)若两直线与L交于点N，，求的值； (3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 (3)存在 【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以，                           所以点E恒在定直线上． （2）法一：设，因为，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . （3）设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 34．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案； （2）设直线方程并联立迹的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积的表达式，利用导数可求得其最值，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 35．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由 求解；           （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【详解】（1）因为过点，且离心率， 所以，且，           即解得，，           所以的方程为. （2） 如图，， 显然直线的斜率存在，设直线.           联立得，消去并整理，得，           所以，得. 设，，则，.（*）           因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ，       ，     将（*）代入，得为定值. （3）设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得.           由（2）可知，           所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 考点08 圆锥曲线中的和差积问题 36．（24-25高二下·山西·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程，写出焦点，根据焦点坐标和椭圆上一点，求出椭圆标准方程即可； （2）根据圆锥曲线和直线的位置关系，设出坐标，联立方程组，根据韦达定理，表示出线段的长度，根据方程组有解情况下判别式的范围，求出参数范围，求得线段最小值； （3）根据圆锥曲线和直线的位置关系，解决直线过定点的方法，联立方程组，根据韦达定理，证明直线过定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 37．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知圆过点，且过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线过点与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，结合离心率即可求出即可； （2）直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理有，由即可求出. 【详解】（1）圆过点． 又圆过点，解得． 解得， 椭圆的方程为． （2） 由（1）可知．由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由题意可知，则． 设． 由消去，整理得， 则． 直线BP，BQ的斜率分别为， ． ，解得， 故直线的方程为，即． 38．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为，．且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，再由点在椭圆上即可求解； （2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，由，求得，即可求解； 【详解】（1）由题意，得， 所以离心率． 椭圆的方程为．因为椭圆经过点， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为． （2） 易知，设，，直线的方程为，且． 联立，消去得． 由，得． 所以，． 因为， 所以． 化简得． 所以，又， 化简得，解得，即直线恒过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 39．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 40．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； (3)斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）由抛物线的定义求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）求出点的坐标，进而可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据斜率公式以及可得出关于、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点， 易知点，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，解得或， 则点、， 所以，. （3）若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 因为， 可得，则， 所以，直线的方程为， 由可得， 因此，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $